2023-2024學(xué)年福建省廈門重點(diǎn)中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省廈門重點(diǎn)中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、選擇題1.直線x+3y+1=0的傾斜角是A.π6 B.π3 C.2π32.已知橢圓C：x2a2+y24=1A.13 B.12 C.23.已知雙曲線x24?y2b2A.23 B.3 C.4.若直線x?y+1=0與圓x2+y2?2x+1?a=0相切，則A.2 B.1 C.2 D.5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5=3A.16 B.8 C.4 D.26.拋物線y2=2px上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為9，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(

)A.4 B.9 C.10 D.187.橢圓x225+y216=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，A.1633 B.32338.已知A，B，C是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上的三個(gè)點(diǎn)，AB經(jīng)過原點(diǎn)O，AC經(jīng)過右焦點(diǎn)A.102 B.53 C.二、填空題9.已知圓C的圓心在直線x?2y?3=0上，且過點(diǎn)A(2,?3)、B(?2,?5)，則圓C的一般方程為

．10.已知點(diǎn)A(2,2)，B(?1,1)，若直線l：kx?y?k=0與線段AB(含端點(diǎn))相交，則k的取值范圍為______．三、解答題11.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a6=0，a3+a7=6．

(1)求數(shù)列12.圓C的圓心為C(2,0)，且過點(diǎn)A(32,32).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l：kx+y+1=0與圓C交M，N13.已知△ABC頂點(diǎn)A(3,0)、B(?1,?3)、C(1,1)．

(1)求直線BC的方程及其在y軸上的截距；

(2)求邊BC的垂直平分線l的方程

(3)求△ABC的面積．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，過橢圓由焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，弦AB長4．

(1)15.已知a=(2,1)，b=(x,1)，且a+b與2a?A.10 B.?10 C.2 D.?216.已知向量a=(cos120°,sin120°)，b=(1,0)，則a在b上的投影向量為(

)A.?32b B.?1217.已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°.以DA.π2 B.22π C.18.已知O為△ABC的外心，AB=4，AC=6，AO=16AB+4A.12 B.123 C.6 19.用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺(tái)，經(jīng)過正四棱臺(tái)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做該正四棱臺(tái)的對角面.若正四棱臺(tái)的體積為28，上、下底面邊長分別為2，4，則該棱臺(tái)的對角面面積為______．20.在三棱錐P?AOB中，PB=2OA=4，PA⊥平面AOB，OA⊥OB，∠POA=45°，則OA與BP所成的角為______．21.在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，AF與DE交于點(diǎn)M．

(1)設(shè)AB=a，AD=b，請用a，b表示AF和DE；

(2)求ME與22.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B=2，O為A1B的中點(diǎn)，E，F(xiàn)在A1C上，2EF=3A1E=3FC．

(1)試在直線A1B上確定點(diǎn)P，使得對于FC1上任一點(diǎn)D，恒有PD/?/平面AOE；(用文字描述點(diǎn)P位置的確定過程，并在圖形上體現(xiàn)，但不要求寫出證明過程)

(2)已知Q在直線A1A上，滿足對于F答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查直線的傾斜角、直線的斜率，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．

設(shè)出直線的傾斜角，求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角正切值的關(guān)系，求出傾斜角．【解答】

解：設(shè)直線的傾斜角為α，

由題意直線的斜率為?33，即tanα=?33，

所以2.【答案】C

【解析】解：由已知可得b2=4，c=2，

則a2=b2+c2=8，

所以a=22，

則離心率e=c3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

利用雙曲線方程以及漸近線方程求解b即可．

【解答】

解：雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的漸近線方程：bx±2y=0，

因?yàn)殡p曲線x24?y2b4.【答案】A

【解析】解：因?yàn)橹本€x?y+1=0與圓x2+y2?2x+1?a=0相切，

又圓x2+y2?2x+1?a=0可化為(x?1)2+y2=a，5.【答案】B

【解析】解：設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，

則a1+a1q+a1q2+a1q3=15a16.【答案】C

【解析】解：拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為(p2,0)，準(zhǔn)線為x=?p2，

即有拋物線的焦半徑為|PF|=x+p2，

由題意可得4+p2=9，解得p=10，

則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及焦點(diǎn)三角形問題，往往是考查橢圓定義與余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．

由橢圓方程求得a，b，c的值，然后利用橢圓定義及余弦定理求得|PF1||PF2|，代入三角形面積公式求解．

【解答】

解：由橢圓x225+y216=1，得a=5，b=4，c=3，

在△F1PF2中，∵∠F1PF2=60°8.【答案】C

【解析】解：設(shè)左焦點(diǎn)為F′，|AF|=m，連接AF′，CF’，

則|FC|=2m，|AF′|=2a+m，|CF′|=2a+2m，|FF′|=2c，

∵BF⊥AC，且經(jīng)過原點(diǎn)O，

∴四邊形FAF′B′為矩形，

在Rt△AF′C中，|AF′|2+|AC|2=|F′C|2，即(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2，解得m=2a3，

在Rt△AF′F中，|AF′|2+|AF|2=|FF′|2，即(2a+2a3)2+(2a3)9.【答案】x2【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)A(2,?3)、B(?2,?5)，

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D(0,?4)，直線AB的斜率為k=?5+3?2?2=12，

由垂徑定理知，直線CD的斜率為?1k=?2，

所以直線CD的方程為y+4=?2x，即2x+y+4=0，

聯(lián)立2x+y+4=0x?2y?3=0，解得x=?1，y=?2，即C(?1,?2)，

所以圓的半徑為|AC|=(2+1)2+(?3+2)2=10，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+110.【答案】(?∞,?1【解析】解：由kx?y?k=0可得y=k(x?1)，可知直線l為過定點(diǎn)P(1,0)，斜率為k的直線，

可得kPA=2?02?1=2,kPB=1?0?1?1=?12，

若直線l：kx?y?k=0與線段AB(含端點(diǎn))相交，則k≥2或k≤?12，

所以11.【答案】解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

∵a6=0，

∴a3+a7=(a6?3d)+(a6+d)=?2d=6，解得d=?3．

∴an=a6+(n?6)d=?3n+18；

(2)【解析】(1)設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量列出方程，求出公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；

(2)由(1)求出Sn，令Sn<0，求出n>11，結(jié)合n∈N?，得到n12.【答案】解：(1)因?yàn)閳AC的圓心為C(2,0)，且過點(diǎn)A(32,32)，

所以圓C的半徑為r=(2?32)2+(0?32)2=1，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2+y2=1．【解析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得圓C的半徑，再求出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可；

(2)由題意可知圓心C到直線l的距離為d=2213.【答案】解：(1)由于kBC=?3?1?1?1=2，

則由點(diǎn)斜式可得，直線BC的方程為y?1=2(x?1)，即y=2x?1，

其在y軸上的截距為?1；

(2)易知直線l的斜率為?12，

又線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?1)，

則由斜截式可得，直線l的方程為y=?12x?1；

(3)點(diǎn)A到直線BC【解析】(1)求出直線BC的斜率，再由點(diǎn)斜式即可得解，進(jìn)一步可得縱截距；

(2)求出直線l的斜率，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程；

(3)求出點(diǎn)A到直線BC的距離，再由兩點(diǎn)間的距離公式求得|BC|，由此可得△ABC的面積．

本題考查直線方程的求法以及三角形的面積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】解：(1)由題意知e=ca=12，2a=4，又a2=b2+c2，解得：a=2,b=3，所以橢圓方程為：x24+y23=1.(6分)

(2)①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，由題意知|AB|+|CD|=7，不滿足條件；

②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k(x?1)，

則直線CD的方程為y=?1k(x?1)．

將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(3+4k2)x【解析】(1)e=ca=12，2a=4，又a2=b2+c2，解得：a=2,b=3，即可求出橢圓的方程；

(2)分類討論，將直線AB，15.【答案】C

【解析】解：a+b=(2+x,2)，2a?b=(4?x,1)．

∵a+b與2a?b平行，16.【答案】B

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜=(cos120°,sin120°)=(?12,32)，b=(1,0)，

所以a?b=?12，|b|=1，

所以17.【答案】B

【解析】解：如圖所示：由已知，連接BD、B1D1，則BD=B1D1=2，

因?yàn)橹彼睦庵鵋BCD?41B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°，

所以△B1C1D1為等邊三角形．且BB1⊥平面B1C1D1，取B1C1的中點(diǎn)O，連接D1O，則D1O⊥B1C1，

又D1O?平面B1C1D1，所以BB1⊥D1O，

又B1C1∩BB1=B1，所以D1O⊥平面BCC1B1，

故平面BCC1B1截球面的截面圓的圓心是點(diǎn)O，取BB1、CC1的中點(diǎn)E、F，18.【答案】D

【解析】解：取AC中點(diǎn)D，因?yàn)镺是△ABC的外心，則DO⊥AC，

由于AO=AD+DO，

所以AO?AC=(AD+DO)?AC=AD?AC=3×6=18，

又AO=16AB+49AC，

則AO?AC=(19.【答案】9【解析】解：如圖，

設(shè)該正四棱臺(tái)的的高為?，則根據(jù)題意可得：

13×(22+42+2×4)×?=28，解得?=3，

又由已知可得上下底面的對角線長分別為22與42，且高?=3，

∴20.【答案】60°

【解析】解：如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊將△AOB補(bǔ)成矩形OACB，連接CP，

則∠PBC(或其補(bǔ)角)為OA與BP所成的角．

由PA⊥平面AOB，BC?平面AOB，得PA⊥BC，

又AC⊥BC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，

因?yàn)镻C?平面PAC，所以BC⊥PC，

又PB=2OA=4，則cos∠PBC=BCPB=OAPB=24=12，

所以∠PBC=60°，即OA與BP21.【答案】解：如圖：

(1)AF=AB+BF=AB+13BC=a+13b，

DE=DA+AE=?AD+12AB=?b+12a；

(2)建立如圖所示坐標(biāo)系，以B為原點(diǎn)，

則有A(0,2)，F(xiàn)(1,0)，D(3,2)，E(0,1)，【解析】(1)根據(jù)平行四邊形法則和三角形法則，即可用a，b表示AF和DE；

(2)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，運(yùn)用數(shù)量積，即可求出ME與MF夾角的余弦值．

本題考查平面向量及其應(yīng)用，屬于中檔題、22.【答案】解：(1)延長OB至點(diǎn)P，使BP=12OB，點(diǎn)P即所求的點(diǎn)，

圖形如下：

(2)分別延長C1F，A1A，所得交點(diǎn)即點(diǎn)Q，

連接PQ，則二面角P?A1C?Q即二面角B?A1C?A，

因?yàn)锳1AA1Q=C1CA1Q=CNA1N=25，A1OA1P=25，

所以A