2023學(xué)年完整公開課版任意角市賽

第5章三角函數(shù)511任意角角的定義【導(dǎo)入】現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超出0°~360°范圍的角例如體操中的“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”等動作這里不僅角度超出了0°~360°，并且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同【探究】如圖是兩個咬合的齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖，可以看出兩個齒輪旋轉(zhuǎn)的方向剛好相反，聯(lián)想到角的旋轉(zhuǎn)定義一個角的大小取決于繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的的射線旋轉(zhuǎn)的角度，我們知道，要準(zhǔn)確描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，這就需要我們對角的概念加以推廣角的分類【定義】我們規(guī)定，一條射線繞其端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角如果一條射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，那么它就形成了一個零角零角的始邊和終邊重合，如果是零角，那么

左圖中的角是一個正角，它等于730°右圖中，正角，負(fù)角，，正常情況下，如果以零時為起始位置，那么鐘表的時針與分針在旋轉(zhuǎn)時形成的角總是負(fù)角730°

為了簡單起見，在不引起混淆的情況下，角或∠可以簡記為

相等角、角的加減【1】設(shè)∠α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，∠β由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β設(shè)α，β是任意角，我們規(guī)定：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應(yīng)的角是αβ類似于實(shí)數(shù)t的相反數(shù)是-t，我們引入角α的相反角的概念如圖：我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角角α的相反角記為-α，則α-β=α-βαβαβαα-α-αOA于是角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法相等角、角的加減【總結(jié)】（1）角的概念推廣后，角度的范圍不再局限于0°~360°（2）確定任意角的度數(shù)既要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向，如順時針旋轉(zhuǎn)30°和逆時針旋轉(zhuǎn)30°縮成的角是不同的，它們互為相反角（3）用圖像表示角時，箭頭的方向體現(xiàn)角的正負(fù)，因此箭頭不能少（4）角的概念推廣后，角的加減可以類比正負(fù)數(shù)的加減規(guī)則象限角與軸上角:【定義】我們通常在坐標(biāo)系內(nèi)討論角為了方便，我們把角的頂點(diǎn)固定在原點(diǎn)，角的終邊始終與軸的非負(fù)半軸重合那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角如下圖左邊的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角αβ如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么它就不屬于任何一個象限，此時我們稱這個角為軸上角如上邊右圖的角γγ30°-120°象限角與軸線角【問題】銳角，第一象限角，小于90°的角，它們之間的區(qū)別是什么？α=390°【答】①第一象限角不一定是銳角，如圖左②銳角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如圖中30°75°③小于90°的角還包括零角和負(fù)角，如圖右α=0°β=-130°【問題】把角放在坐標(biāo)系中之后，給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應(yīng)，反過來，對于直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？終邊相同的角30°OB【答】不難發(fā)現(xiàn)，OB除了可以表示30°的角之外，還可以表示390°，-330°等角與30°終邊相同的這些角都可以表示成30°角與個∈周角的和390°=30°360°=1，-330°=30°-360°=-1一般地，所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個集合S={β|β=α·360°，∈}即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和那么終邊相同的角有什么關(guān)系？否【總結(jié)】對于S={β|β=α·360°，∈}的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：終邊相同的角【1】α是任意角【2】∈有三層含義：①特殊性：每取一個整數(shù)值，就對應(yīng)一個具體的角②一般性：表示所有與角α終邊相同的角包括角α本身③從集合意義上看，表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，取正整數(shù)時，逆時針旋轉(zhuǎn)；取負(fù)整數(shù)時，順時針旋轉(zhuǎn)；=0時，沒有旋轉(zhuǎn)【3】集合中的·360°與α之間用連接，如·360°-30°應(yīng)看成·360°-30°，表示與-30°角終邊相同的角例1在0°~360°范圍內(nèi)，找出與-950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角軸上的角的集合【整理】軸線角的集合表示終邊相同的角{α|α=·360°，∈}{α|α=·360°180°，∈}{α|α=·360°90°，∈}{α|α=·360°270°，∈}{α|α=·180°，∈}{α|α=·180°90°，∈}{α|α=·90°，∈}=上的角的集合S拓展一：分別寫出圖中終邊落在兩個陰影部分的角α的集合【解】①在0°~360°范圍來看，陰影部分的角α的范圍是30°≤α≤105°，所以在坐標(biāo)系中角α的范圍是

30°75°①②{α|·360°30°≤α≤·360°105°,∈}②在0°~360°范圍來看，陰影部分的角α的范圍是210°≤α≤285°，所以在坐標(biāo)系中角α的范圍是{α|·360°210°≤α≤·360°285°,∈}拓展二：若α是第二象限角，請確定2α的終邊所在的位置【解】①因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵?/p>

·360°90°＜α＜·360°180°,∈所以2·360°180°＜2α＜2·360°360°,∈如圖，即2α的終邊位于第三或者第四象限，或者位于y軸的負(fù)半軸上拓展三：若α是第二象限角，請確定的終邊所在的位置【解】①因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所?/p>

①·360°90°＜α＜·360°180°,∈所以