2021年上半年國(guó)家教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力真題卷(初中)

2021年上半年國(guó)家教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力（初級(jí)中學(xué)）注意事項(xiàng)：1．考試時(shí)間為120分鐘，滿(mǎn)分為150分。2．請(qǐng)按規(guī)定在答題卡上填涂、作答。在試卷上作答無(wú)效，不予評(píng)分。一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1． 單選題在空間直角坐標(biāo)系下，直線(xiàn)x－23＝y(tǒng)－114＝z＋11A．相交且垂直 B．相交不垂直C．平行 D．直線(xiàn)在平面上2． 使得函數(shù)f（x）＝一致連續(xù)的x取值范圍是（）。A．（0．1） B．（0．1]C．∪ D．（－∞，＋∞）3． 方程x4－3x3＋6x－4＝0的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）。A．0 B．1C．2 D．34． 設(shè)函數(shù)y＝f（x）在x0的自變量的該變量為△x，相應(yīng)的函數(shù)改變量為△y，0（△x）表示△x的高階無(wú)窮小。若函數(shù)y＝f（x）在x0可微，則下列表述不正確的是（）。A．△y＝f′（x0）dx B．dy＝f′（x0）dxC．△y＝f′（x0）△x＋0（△x） D．△y＝dy＋0（△x）5． 拋擲兩粒正方體骰子（每個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，…，6），假定每個(gè)面朝上的可能性相同，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率為（）。A． B．C． D．6． 對(duì)于mxn矩陣A，存在nxs矩陣B（B≠0）使得AB＝0成立的充要條件是矩陣A的秩rank（A）滿(mǎn)足（）。A．rank（A）＜n B．rank（A）≤nC．rank（A）＜n D．rank（A）≥n7． 一個(gè)五邊形與其經(jīng)過(guò)位似變換后的對(duì)應(yīng)圖形之間不滿(mǎn)足下列關(guān)系的是（）。A．對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例B．對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)共點(diǎn)C．對(duì)應(yīng)角不相等D．面積的比等于對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比的平方8． 試題“設(shè)時(shí)，T的值”。主要考查學(xué)生的（）。A．空間觀念 B．運(yùn)算能力C．?dāng)?shù)據(jù)分析觀念 D．應(yīng)用意識(shí)二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）9． 已知平面上一橢圓，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，0<b<a，求該橢圓繞著長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。10．設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（min）的概率密度為fx(x)＝12e－x2，x>00，其他。用變量Y表示顧客對(duì)銀行服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)值若顧客等待時(shí)間不超過(guò)5（min），則評(píng)價(jià)值為求X的分布函數(shù)。求Y的分布律。11．已知方程組a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2請(qǐng)回答下列問(wèn)題：行列式②的幾何意義是什么？上述結(jié)論的幾何意義是什么？12．某教師在引領(lǐng)學(xué)生探“圓周角定理”時(shí)，首先進(jìn)行畫(huà)圖、測(cè)量等探究活動(dòng)，獲得對(duì)圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想；進(jìn)一步尋找證明猜想的思路并進(jìn)行嚴(yán)格的證明；最后，教師又通過(guò)幾何軟件對(duì)兩類(lèi)角的大小關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。從推理的角度，請(qǐng)談?wù)勀銓?duì)教師這樣處理的看法。13．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，為了鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，深入理解問(wèn)題，教師常常在呈現(xiàn)任務(wù)后，不是立刻講解，而是留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，這種教學(xué)方式可稱(chēng)之為“課堂留白”請(qǐng)你談?wù)務(wù)n堂留白的必要性及其意義。三、解答題（10分）14．已知非齊次線(xiàn)性方程組xa為何值時(shí)，其對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組解空間的維數(shù)為2？對(duì)于（1）中確定的a值，求該非齊次線(xiàn)性方程組的通解。四、論述題（15分）15．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)的基本能力。學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)為哪些方面？請(qǐng)以整式運(yùn)算為例予以說(shuō)明。五、案例分析題（20分）16．（材料）“三角形的內(nèi)角和定理”的教學(xué)案例片段。教師請(qǐng)學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過(guò)的三角形內(nèi)角和是多少度？并讓學(xué)生用提前準(zhǔn)備好的三角形紙片進(jìn)行剪拼并演示。下面是部分學(xué)生演示的圖形（如圖1、2）：在圖1中，三角形的三個(gè)內(nèi)角拼在一起后，B、C、D在一條直線(xiàn)上，看似構(gòu)成一個(gè)平角教師質(zhì)疑，看上去是平角就是平角了嗎？學(xué)生的回答是“不一定”。接著，教師利用圖1啟發(fā)學(xué)生思考：①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直線(xiàn)上(即組成平角)，可以換個(gè)角度，先構(gòu)造一個(gè)平角，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖1思考如何作輔助線(xiàn)構(gòu)造平角。學(xué)生想到了作BC的延長(zhǎng)線(xiàn)BD，如圖3所示。②圖1中，∠1與∠A是什么關(guān)系？啟發(fā)學(xué)生在∠ACD內(nèi)作∠1＝∠A，或過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，如圖4所示。③現(xiàn)在只要證明什么？(證明∠2=∠B)問(wèn)題：（1）該教師讓學(xué)生回憶井用拼圖的方法感知三角形的內(nèi)角和，請(qǐng)簡(jiǎn)述其教學(xué)意圖。（2）利用圖2設(shè)計(jì)問(wèn)題串，使得這些問(wèn)題能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和定理的證法。（3）請(qǐng)?jiān)俳o出其他2種三角形紙片的拼法，并畫(huà)圖表示。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題（30分）17．（材料）平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）是初中乘法公式的內(nèi)容之一。某教師教學(xué)時(shí)，將引導(dǎo)學(xué)生歸納猜想平方差公式作為教學(xué)過(guò)程的環(huán)節(jié)之一，設(shè)計(jì)思路如下：假定b＝1。問(wèn)題簡(jiǎn)化為a2－1＝？當(dāng)a＝2，22－1＝3＝（2＋1）（2－1）①當(dāng)a＝3，32－1＝8＝（3＋1）（3－1）②當(dāng)a＝4，42－1＝15＝（4＋1）（4－1）③觀察上面式子：猜想：a2－12＝（a＋1）（a－1）。取b＝2，3，4，…，仿照上面，猜測(cè)等式左右兩邊的數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而猜想一般規(guī)律：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。（證明過(guò)程略）問(wèn)題：教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)述該教師該環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)意圖；教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)述平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的地位；教學(xué)設(shè)計(jì)請(qǐng)給出平方差公式的教學(xué)目標(biāo)，并設(shè)計(jì)教學(xué)流程；教學(xué)設(shè)計(jì)請(qǐng)通過(guò)圖示給出平方差公式的幾何背景。數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力（初級(jí)中學(xué)）一、單選題1． 【答案】D【解析】本題考查空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系。由題可知，直線(xiàn)的方向向量為n＝（3，4，1），平面的法向量為m＝（3，－2，－1）。因?yàn)閚?m＝3×3＋4×（－2）＋1×（－1）＝設(shè)直線(xiàn)方程為，x－23代入平面方程中，可得直線(xiàn)在平面上。故正確答案為D。2． 【答案】C【解析】本題考查閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)一致連續(xù)性定理，如果函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上一致連續(xù)?？芍沟煤瘮?shù)f（x）＝一致連續(xù)的x的取值范圍[－1，－1故正確答案為C。3． 【答案】C【解析】本題考查高次方程的整數(shù)解。對(duì)x4－3x3＋6x－4＝0兩邊同時(shí)除以x2得。整理x2所以(x－2解得x＝±2或x＝1或x＝2。所以方程的整數(shù)解有故正確答案為C。4． 【答案】A【解析】本題考查微分的概念。根據(jù)微分的定義可得：dy＝f′（x0）dx。函數(shù)的增量△y＝dy＋0（△x）＝f′（x0）△x＋0（△x）可知A選項(xiàng)錯(cuò)誤。故正確答案為A。5． 【答案】A【解析】本題考查事件的概率。設(shè)第一次拋擲的骰子點(diǎn)數(shù)為：x，第二次的為y，用（x，y）表示拋擲兩次的結(jié)故正確答案為B。6． 【答案】A【解析】本題考查矩陣的運(yùn)算。必要性，有條件可設(shè)B＝（B1，B2，…，Bs）則AB＝A（B1，B2，…，Bs）＝（AB1，AB2，…，ABs）由題意可知B為非零向量，故B1，B2，…，Bs中至少有一個(gè)非零向量。若AB＝0，則ABj＝0（j＝1，2，…，s）因此A＝0有非零解，故r（A）＜n充分性；若r（A）＜n則方程組Ax＝0有非零解，設(shè)非零解B1，B2，…，Bs即ABj＝0（j＝1，2，…，s）令B＝（B1，B2，…，Bs）則AB＝0（B≠0）。故正確答案為A。7． 【答案】C【解析】本題考查位似圖形的性質(zhì)。兩個(gè)圖形位似，那么任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對(duì)應(yīng)邊都互相平行（或在一條直線(xiàn)上）。位似圖形面積的比等于相似比的平方。位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的交點(diǎn)是位似中心，位似圖形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比。位似圖形高、周長(zhǎng)的比都等于相似比。位似圖形的對(duì)應(yīng)角都相等。故正確答案為C。8． 【答案】B【解析】本題考查數(shù)學(xué)教學(xué)論的基本概念。本題可以先利用平方差公式、完全平方公式和因式分解等將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)后，代入X取值，整個(gè)過(guò)程均是對(duì)運(yùn)算能力的考查。B項(xiàng)正確。故正確答案為B。二、簡(jiǎn)答題9． 【參考答案】本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算。由題意知，無(wú)論長(zhǎng)軸在x軸或y軸旋轉(zhuǎn)體的體積不變；不妨設(shè)長(zhǎng)軸在x軸上，將橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V=20a10．【參考答案】（1）當(dāng)時(shí)，，則X的分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則X的分布函數(shù)，綜上所述，X的分布函數(shù)。（2），則，所以Y的分布律為。11．【參考答案】（1）由解析幾何知：a11x+a12y+a13z=b1是空間內(nèi)的一個(gè)平面π1，而a11，a12，a13是平面π1的法向量，a21（2）π1與π2兩平面相交的充要條件a11：Ranka11a12Ranka11a12a1312．【參考答案】推理是人們思維活動(dòng)的過(guò)程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程。在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的兩種推理是：合情推理和演繹推理。合情推理是學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，這位老師引領(lǐng)學(xué)生探究“圓周角定理”時(shí)，首先進(jìn)行畫(huà)圖、測(cè)量等探究活動(dòng)，獲得對(duì)圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想；就是應(yīng)用了合情推理。合情推理融合了學(xué)生的各種思維和活動(dòng)在中，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力都是非常重要的。演繹推理是從已有的實(shí)（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則（包括邏輯和運(yùn)算）證明結(jié)論。該老師在學(xué)生給出猜想后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步尋找證明猜想的思路并進(jìn)行嚴(yán)格的證明；并通過(guò)幾何軟件對(duì)兩類(lèi)角的大小關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。應(yīng)用演繹推理體現(xiàn)是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。兩種方式相輔相成，更有利于學(xué)生掌握“圓周角定理”。13．【參考答案】課堂的精彩不僅要關(guān)注教師講的多么精彩，更加關(guān)注學(xué)生學(xué)得多么主動(dòng)，教師一個(gè)人講解的課堂不是精彩的課堂，只有當(dāng)學(xué)生通過(guò)自己的主動(dòng)活動(dòng)去建構(gòu)自己對(duì)知識(shí)的理解，從而展現(xiàn)自己的精彩時(shí)，這樣的課堂提精彩的，因?yàn)檎n堂留白是十分有必要的。“課堂留白”的意義：①課堂留白可以激發(fā)學(xué)生的求知欲和潛能；課堂中給學(xué)生留下活動(dòng)的時(shí)間、思維的空間，使學(xué)生有所探索、有所思考，可放飛學(xué)生的思維。學(xué)生在開(kāi)動(dòng)學(xué)生的腦筋、利用所學(xué)知識(shí)解決留白問(wèn)題的同時(shí)順利進(jìn)行知識(shí)遷移、主動(dòng)融合和構(gòu)建知識(shí)體系，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效率。②課堂留白能留給學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，有利于發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)。合理運(yùn)用教學(xué)留白，給學(xué)生留下獨(dú)立思考的時(shí)間，讓學(xué)生積極參與，自主體驗(yàn)，真正成為學(xué)習(xí)的主人。③課堂留白可以促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。④課堂留白激發(fā)學(xué)生的想象力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。在教學(xué)中給學(xué)生留下更多的空間，正如畫(huà)家留白的道理一樣，可以讓學(xué)生有足夠的空間去充分地想想，可以自由自在地展開(kāi)聯(lián)想或創(chuàng)造。三、解答題。14．【參考答案】（1）根據(jù)題意可知，齊次線(xiàn)性方程組的解空間維數(shù)為2，即基礎(chǔ)解系中含有的向量的個(gè)數(shù)為2，根據(jù)基礎(chǔ)解系中含有的向量的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩，即，所以，所以，解得。（2）由（1）知，，所以增廣矩陣B=(A,b)=，得到，所以基礎(chǔ)解系為：令，則，得；令，則，得；特解為：令，則，所以該非齊次線(xiàn)性方程組的通解為四、論述題15．【參考答案】運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果。例如：進(jìn)行整式算式的運(yùn)算，首先要觀察整式的特點(diǎn)，出現(xiàn)高次冪，首先想到因式分解，運(yùn)用平方差公式逆過(guò)程和立方差公式，注意在此公式運(yùn)用過(guò)程中，要掌握公式蘊(yùn)涵的算理，a和b可以代表任意的代數(shù)式。所以，進(jìn)而得到最后的運(yùn)算結(jié)果。五、案例分析題16．【參考答案】（1）從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，利用實(shí)物拼圖的方式引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐建立知識(shí)聯(lián)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體性。這樣的設(shè)計(jì)符合課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，注重了知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，把本節(jié)課的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，處理好了局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)整體性。（2）問(wèn)題1：有同學(xué)把三角形的兩個(gè)底角撕下來(lái)拼到頂角上，你發(fā)現(xiàn)了什么？問(wèn)題2：我們發(fā)現(xiàn)這樣可以把三角形的三個(gè)內(nèi)角湊到一起，可以湊成看似是一個(gè)平角。怎么確定他就是一個(gè)平角呢？問(wèn)題3：根據(jù)圖1，想一想如何作輔助線(xiàn)構(gòu)造平角呢？問(wèn)題4：作出輔助線(xiàn)后，我們根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（3）證明方法一：如圖，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DF//AC，DE//AB，這時(shí)∠A=∠4，又∠4=∠2，即∠A=∠2，由∠C=∠3，∠B=∠1知，我們將∠A、∠B、∠C轉(zhuǎn)移到了∠BDC，由平角的定義，可以證到三角形的內(nèi)角和180°證明方法二：如圖，過(guò)點(diǎn)A作EF∥BC可以得到∠1＝∠B，∠2＝∠C。那么，我們就可以將∠B、∠C拼到∠A一起，形成一個(gè)平角，從而得到結(jié)論。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題17．【參考答案】（1）教師本著以“教師主導(dǎo)，學(xué)生為主”的理念，在教學(xué)之初從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般得出平方差公式。在此之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，組織驗(yàn)證。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)使得學(xué)生不僅得到數(shù)學(xué)結(jié)論，還感受數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程及蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)學(xué)生歸納概括得出猜想和規(guī)律并加以驗(yàn)證可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。（2）平方差公式是在多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，是接下來(lái)學(xué)習(xí)因式分解等內(nèi)容的基礎(chǔ)性，起到承上啟下的作用。在學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過(guò)程，得到平方差公式，利用數(shù)形結(jié)合理解平方差公式，有助于學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本思想，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。（3）教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)生知道平方差公式，理解平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，能夠正確的運(yùn)用平方差公式解決問(wèn)題。過(guò)程與方法目標(biāo)：學(xué)生通過(guò)自主探究和小組討論的學(xué)習(xí)過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，推理能力，體會(huì)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心，體會(huì)數(shù)學(xué)的重要價(jià)值。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入教師活動(dòng)：教師運(yùn)用多媒體展示一系列問(wèn)題。接著引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察和思考，提出問(wèn)題：PPT上的多項(xiàng)式乘積結(jié)果為多少？學(xué)生活動(dòng)：就教師的提問(wèn)展開(kāi)獨(dú)立思考或討論得出結(jié)論。教師活動(dòng)：根據(jù)學(xué)生得出的回答，教師