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#/6x<x<Pa<x<x下面只就區(qū)間0上討論，對(duì)于0的討論完全—樣。其中M=max{x2|屮(x)I+Ix1}x日a,P]因?yàn)閣(x)-%(x)|<J(g其中M=max{x2|屮(x)I+Ix1}x日a,P]x0所J屮(x)-91(x)|<I(g2|屮(g)-9o(g)I)dg<lIM(g-xo)dgxox0ML(x-x)2,0其中L=其中L=max{x2},設(shè)對(duì)正整數(shù)nx日a,p]MLn-1有N(x)-9n-1(x)|<-nr(x-xo)n'則有xI屮(x)-0(x)I<I(g2nx0I屮(g)—0(g)l)dg<LfML^(gn-1n!x0-x)“dg0MLn=(x-x)n+1,(n+1)!o故由歸納法，對(duì)一切正整數(shù)k，有MLk-1MLk-11屮(x)Y-i(x)I<占x-xo)k<有(p-a"k-g—o而上不等式的右邊是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，故當(dāng)時(shí)，它因而函數(shù)序列｛(Pn(x)｝在x0<x<P上—致收斂于"(x).根據(jù)極限的唯—性，即得屮(x)三9(x)x<x<P,0設(shè)都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且是二階線性方程的一個(gè)基本解組.試證明：和都只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在—點(diǎn)同時(shí)為零);和沒(méi)有共同的零點(diǎn);和沒(méi)有共同的零點(diǎn).證明：和的伏朗斯基行列式為因和是基本解組,故.若存在,使得,則由行列式性質(zhì)可得,矛盾.即最多只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn).同理對(duì)有同樣的性質(zhì)，故(i)得證.若存在，使得，則由行列式性質(zhì)可得，矛盾.即與無(wú)共同零點(diǎn).故(ii)得證.若存在,使得,則同樣由行列式性質(zhì)可得,矛盾.即與無(wú)共同零點(diǎn).故(iii)得證.申(t)——=ax9(t)=耳申(t)=expA(t-1o)n試證：如果是dt滿足初始條件o的解，那么o①(t)=expAtdX=AX9(t)C0仃丿=exPAt-C.證明：因?yàn)槭莇t的基本解矩陣，是其解，所以存在常向量使得：t=t令t=t令o，則：耳=expAtCo所以C=(expAt)-5o0(t)=ex

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