正余弦函數(shù)的奇偶性單調(diào)性

正、余弦函數(shù)的性質(zhì)1、，則在上是單增函數(shù)；一、復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)若對于任意，且，都有：單減函數(shù)；2、，則在上是函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在一個區(qū)間上的走向。請認(rèn)真觀察正余弦函數(shù)的圖像，看看其是否具有這類性質(zhì)？先看正弦函數(shù)圖像從的圖像上可以看到函數(shù)具有什么特征？當(dāng)在區(qū)間……上時，曲線逐漸上升，sinα的值由增大到。當(dāng)在區(qū)間上時，曲線逐漸下降，sinα的值由減小到。由正弦函數(shù)的周期性知：正弦函數(shù)在每個閉區(qū)間都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；而在每個閉區(qū)間上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1。我們在來觀察余弦函數(shù)的圖像，看看是否有類似的特征。再來觀察余弦函數(shù)圖像從的圖像上可以看到函數(shù)具有什么特征？當(dāng)在區(qū)間上時，曲線逐漸上升，cosα的值由增大到。曲線逐漸下降，sinα的值由減小到。當(dāng)在區(qū)間上時，由余弦函數(shù)的周期性知：其值從1減小到－1。而在每個閉區(qū)間上都是減函數(shù)，其值從－1增大到1；在每個閉區(qū)間都是增函數(shù)，當(dāng)∈R時，即在整個定義域內(nèi)并不單調(diào)，圖像時而上升，時而下降，存在規(guī)范的單調(diào)區(qū)間。由于它們是周期函數(shù)，因此在考慮函數(shù)增減的問題時，只要研究一個周期即可。分析：比較同名函數(shù)值的大小，往往可以利用函數(shù)的單調(diào)性，但需要考慮它是否在同一單調(diào)區(qū)間上，若是，即可判斷，若不是，需化成同一單調(diào)區(qū)間后再作判斷。例1：不求值，判斷下列各式的符號。解：例2：確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。分析：利用的單調(diào)性來解。解:在上單減。正弦函數(shù)的圖像二、觀察正余弦函數(shù)的圖像余弦函數(shù)的圖像問題：它們的圖像還有什么特征？若從正弦函數(shù)上任取一點，即，其關(guān)于原點的對稱點，即，由誘導(dǎo)公式知這個點也在正弦函數(shù)的圖像上。這說明什么？這說明：將正弦函數(shù)曲線繞原點旋轉(zhuǎn)180度后所得的曲線能夠和原來的曲線重合。即正弦函數(shù)關(guān)于原點對稱。一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個都有,則稱為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)。據(jù)此可知，上述正弦函數(shù)是奇函數(shù)。關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)，且奇函數(shù)的圖像一定關(guān)于原點對稱。正弦函數(shù)是這樣的。那大家思考一下，余弦函數(shù)是否如此呢？點，即，由誘導(dǎo)公式任取一點，即，其關(guān)于y軸的對稱請觀察余弦函數(shù)的圖像回答。分析：設(shè)，從余弦函數(shù)的圖像上知這個點也在余弦函數(shù)的圖像上。這說明什么？這說明若將余弦曲線延著y軸折疊，y軸兩旁的部分能夠互相重合，即余弦曲線關(guān)于y軸對稱。我們通過學(xué)過的知識知道：關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)，且偶函數(shù)的圖像一定關(guān)于y軸對稱。余弦函數(shù)是這樣的。從上面的分析知道，正余弦函數(shù)的奇偶性反映了正余弦函數(shù)的圖像具有的對稱性。一般地，如