拋物線的簡單幾何性質(zhì)市賽一等獎

§242拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）X定義：在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線ll不經(jīng)過點F的距離相等的點的軌跡叫拋物線拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線方程焦點坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2pp>02=2pyp>0y2=2pp>0x2=-2py(p>0)一、溫故知新范圍1、由拋物線y2=2p（p>0）有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2p（p>0）的幾何性質(zhì)拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)?shù)闹翟龃髸r，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。對稱性2、關(guān)于x軸對稱即點,-y也在拋物線上,故拋物線y2=2pp>0關(guān)于軸對稱則-y2=2p若點,y在拋物線上,即滿足y2=2p，頂點3、定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2pp>0的頂點（0，0）注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。離心率4、P(x,y)拋物線上的點與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2pp>0的離心率為e=1下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點準(zhǔn)線范圍頂點對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2p（p>0）y2=-2p（p>0）2=2py（p>0）2=-2py（p>0）≥0y∈R≤0y∈Ry≥0∈Ry≤0∈R0,0軸y軸1特點：1拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準(zhǔn)線;4拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響P(x,y)P越大,開口越開闊補充（1）通徑：通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=0p/2xOyFP通徑的長度：2PP越大,開口越開闊（2）焦半徑：連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。

因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因為點M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：三、典例精析坐標(biāo)軸當(dāng)焦點在y軸上,開口方向不定時,設(shè)為y2=2mm≠02=2mym≠0,可避免討論例１：已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點位置。xyO(40,30)解:所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反射鏡的頂點與原點重合,x軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2p由條件可得A40,30,代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=x,焦點為(,0)練習(xí)：1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸，焦點在直線3-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是2、已知點A（-2，3）與拋物線的焦點的距離是5，則P=。4例3、斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長。四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大1、范圍：2、對稱性：3、頂點：4、離心率：5、通徑：24l例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米水下降1米后，水面寬多少？xoAy若在水面