數(shù)列求和省賽一等獎(jiǎng)

§64數(shù)列求和基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)項(xiàng)和公式知識(shí)梳理項(xiàng)和公式21＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ 32＋4＋6＋8＋…＋2n＝ 項(xiàng)和公式nn＋1n2數(shù)列求和的常用方法1公式法等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的可直接使用公式求和2分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解3裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)知識(shí)拓展4倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣5錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣6并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，＝－1nfn類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050判斷下列結(jié)論是否正確請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”思考辨析3求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得 √√×5推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝445 √×

12017·陽泉質(zhì)檢已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，并滿足an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，則S7等于A7B12C14D21考點(diǎn)自測答案解析由an＋2＝2an＋1－an知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，由a5＝4－a3，得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14

A2016 B2017C2018 D2019答案解析Sn＝a1＋a2＋…＋an

3數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－1n－1·4n－3，則它的前100項(xiàng)之和S100等于A200B－200C400D－400答案解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝____________答案解析2n＋1－2＋n2答案解析1008因?yàn)閿?shù)列an＝ncos呈周期性變化，觀察此數(shù)列規(guī)律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.∴S2017＝S2016＋a2017＝1008.題型分類深度剖析題型一分組轉(zhuǎn)化法求和解答當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.2設(shè)bn＝2＋－1nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和解答由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝

＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.引申探究本例2中，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn解答由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]思維升華分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型1若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2·3n－1＋－1n·ln2－ln3＋－1nnln3，求其前n項(xiàng)和Sn解答第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列1求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；2若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋－1nlnan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和SnSn＝21＋3＋…＋3n－1＋·ln2－ln3＋ln3，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，題型二錯(cuò)位相減法求和例22016·山東已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋11求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；解答由題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，滿足上式，所以an＝6n＋5.解答又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×，2Tn＝3×兩式作差，得－Tn＝3×所以Tn＝3n·2n＋2思維升華錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)1要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；2在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；3在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解跟蹤訓(xùn)練2設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝1001求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；解答解答由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，①－②可得題型三裂項(xiàng)相消法求和例32015·課標(biāo)全國ⅠSn為數(shù)列{an}>0，＋2an＝4Sn＋31求{an}的通項(xiàng)公式；解答所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1解答由an＝2n＋1可知設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則答案解析則f＝思維升華解答an＝Sn－Sn－1n≥2，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn， ①由題意得Sn－1·Sn≠0，解答四審結(jié)構(gòu)定方案審題路線圖系列審題路線圖規(guī)范解答返回②－①，得∴Tn<4. [12分]返回課時(shí)作業(yè)√12345678910111213答案解析1234567891011121322016·西安模擬設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝2016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0n∈N*，則S2016等于A0 B2016C2015 D2014√答案解析∵an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，∴an＋2anq＋anq2＝0，q為等比數(shù)列{an}的公比，即q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1.∴an＝(－1)n－1·2016，∴S2016＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2015＋a2016)＝0.123456789101112133等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為A120 B70C75 D100√答案解析123456789101112134在數(shù)列{an}中，若an＋1＋－1nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于A76 B78C80 D82√答案解析由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故選B.12345678910111213若n為偶數(shù)，則an＝fn＋fn＋1＝n2－n＋12＝－2n＋1，所以an是首項(xiàng)為a2＝－5，公差為－4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則an＝fn＋fn＋1＝－n2＋n＋12＝2n＋1，所以an是首項(xiàng)為a1＝3，公差為4的等差數(shù)列所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝a1＋a3＋…＋a99＋a2＋a4＋…＋a100＝50×3＋×4＋50×－5＋×－4＝－100n＝n2cosnπ，且an＝fn＋fn＋1，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于A－100 B0C100 D10200√答案解析123456789101112136設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－7，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|等于A153 B210C135 D120√答案解析∴從第4項(xiàng)開始大于0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋

＝153.12345678910111213答案解析120123456789101112138在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S10＝36，前18項(xiàng)和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項(xiàng)和T18的值是______60由a1＞0，a10·a11＜0可知d＜0，a10＞0，a11＜0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.答案解析12345678910111213答案解析12345678910111213Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an12345678910111213答案解析2n2＋6n12345678910111213∴an＝4n＋12當(dāng)n＝1時(shí)，a1適合an1234567891011121311已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數(shù)列1求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解答∵{an－1}是等比數(shù)列且a1－1＝2，∴an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.123456789101112132若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn解答12345678910111213bn＝nan＝n·2n＋n