【ch06】開放系統(tǒng)退相干

高等量子力學(xué)開放系統(tǒng)退相干第六章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項(xiàng)目資助01退相干函數(shù)在其最純的形式中，退相干產(chǎn)生于某些類型的系統(tǒng)一庫(kù)(環(huán)境)相互作用。這些是測(cè)量類型的相互作用，被用于描述開放系統(tǒng)的一個(gè)理想的、間接測(cè)量，而環(huán)境起量子探針的作用(注意：這里不談?wù)撋婕皯B(tài)矢約化的直接的量子測(cè)量，而僅僅考慮某種類型的系統(tǒng)一庫(kù)相互作用，作用的形式是間接測(cè)量形式)。這種相互作用的特征是約化系統(tǒng)影響環(huán)境，這導(dǎo)致某種系統(tǒng)一庫(kù)關(guān)聯(lián)，然而庫(kù)反作用于某個(gè)系統(tǒng)態(tài)是非常小的，可以忽略不計(jì)。結(jié)果在一個(gè)具體表象中的密度矩陣布居的阻尼很小，而相于經(jīng)常被發(fā)現(xiàn)在極短的時(shí)間內(nèi)強(qiáng)烈地衰減。因此，我們從如下哈密頓量入手開始討論。其中相互作用哈密頓量為這個(gè)相互作用哈密頓量挑出了約化系統(tǒng)正交基矢的一個(gè)特殊集合，而

一步假設(shè)，系統(tǒng)哈密頓量Hs對(duì)易于投影算符

,則得到退相干函數(shù)01所以，系統(tǒng)算符An是守恒量。其結(jié)果是平均能量為常數(shù)，即因此，相互作用繪景下的相互作用哈密頓量取如下形式：式中，

。而相互作用繪景下復(fù)合系統(tǒng)的時(shí)間演化算符可以寫為式(6.6)表明，作為對(duì)易關(guān)系式(6.3)的一個(gè)立即的結(jié)果，基矢

不被耦合動(dòng)力學(xué)影響，并且初態(tài)演化為(其中)是一個(gè)任意庫(kù)狀態(tài))退相干函數(shù)01式中式(6.8)的態(tài)是系統(tǒng)一庫(kù)糾纏態(tài)。由于是測(cè)量型相互作用，庫(kù)攜帶著系統(tǒng)狀態(tài)信息。然而，

仍然是關(guān)于在初始態(tài)

就出現(xiàn)的所有系統(tǒng)態(tài)

的疊加。作為一個(gè)結(jié)果，相干仍然出現(xiàn)在約化系統(tǒng)密度矩陣中，即其中，Ps(t)服從幺正性，以至于

。因此，ps(t)的對(duì)角元是時(shí)間的常數(shù)。然而，一般來(lái)說(shuō)ps(4)的非對(duì)角元隨時(shí)間變化。矩陣元

的時(shí)間依賴關(guān)系由相應(yīng)的庫(kù)態(tài)

和

的重疊性給出，有對(duì)于n≠m,

描述了約化密度矩陣的非對(duì)角行為，稱作退相于函數(shù)。退相干函數(shù)

在時(shí)間依賴方面，一般強(qiáng)烈地依賴于系統(tǒng)一庫(kù)的具體耦合形式、微觀模型的各種參數(shù)及初態(tài)的性質(zhì)。對(duì)于許多物理系統(tǒng)，由系統(tǒng)一庫(kù)相互作用驅(qū)動(dòng)的不可逆動(dòng)力學(xué)導(dǎo)致，當(dāng)n≠m時(shí)，

快速減小。這種行為的幾個(gè)例子將在下一節(jié)討論。這里考慮極端情況，對(duì)于n≠m,當(dāng)比退相干時(shí)間

大之后，態(tài)

的重疊性減到零，有退相干函數(shù)01這導(dǎo)致約化系統(tǒng)密度矩陣作為和環(huán)境相互作用的結(jié)果，密度矩陣在基矢

上的相干性消失。當(dāng)時(shí)間在

之后，約化系統(tǒng)態(tài)Ps(t)行為像態(tài)

的不相干混合。在這個(gè)意義上，干涉項(xiàng)

(其中n≠m)不再出現(xiàn)在任意系統(tǒng)可觀測(cè)量A的期望值中。因此態(tài)

的疊加局部地被破壞，這意味著對(duì)所有僅在系統(tǒng)S上的測(cè)量，它們是不可觀測(cè)的。由式(6.13)表達(dá)的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)換稱作退相干。按照這個(gè)關(guān)系，約化密度矩陣在一個(gè)特殊的基矢

的集合上成為對(duì)角的，這個(gè)基矢集合有時(shí)被稱作優(yōu)勢(shì)基。很清楚，這些基矢由系統(tǒng)和環(huán)境的相互作用形式(見式(6.2))及包含于式(6.12)中的退相干函數(shù)的行為來(lái)區(qū)分。再者，利用條件式(6.3),優(yōu)勢(shì)基由那些在演化過(guò)程中不受影響的態(tài)組成。因此，這些態(tài)對(duì)于系統(tǒng)和環(huán)境的相互作用是穩(wěn)定的。更一般地，我們來(lái)研究復(fù)合系統(tǒng)初態(tài)為以下形式的問(wèn)題：退相干函數(shù)01式中式(6.15)為系統(tǒng)的初始態(tài)。PB(0)是任意庫(kù)密度矩陣，如為熱平衡態(tài)。那么，t時(shí)刻約化系統(tǒng)的密度可以寫為因此退相干函數(shù)取如下形式：其中，期望值是定義在庫(kù)的初態(tài)Pm(0)上的。正如在方程式(6.4)中看到的那樣，對(duì)于這里研究的簡(jiǎn)單類模型，系統(tǒng)平均能量是時(shí)間的常數(shù)。對(duì)比之下，一般地，約化系統(tǒng)的熵依賴于時(shí)間。這是因?yàn)槌跏技儜B(tài)在這個(gè)時(shí)間過(guò)程中被轉(zhuǎn)化成了統(tǒng)計(jì)混合。下面來(lái)看線性熵行為(關(guān)于線性熵的概念和性質(zhì)見附錄C),有式(6.18)說(shuō)明，線性熵可以由初始布居

和退相干函數(shù)

表示。注意到

,這是因?yàn)槲覀兪菑募兊某跏紤B(tài)開始的。對(duì)于完全退相干，在長(zhǎng)時(shí)間限上得到退相干函數(shù)01例如，如果初始態(tài)式(6.15)是最大糾纏態(tài)，此時(shí)

,我們發(fā)現(xiàn)，線性熵在D維空間達(dá)到了其最大可能值，有相互作用式(6.2)挑出了一個(gè)具體的基矢集合

。這個(gè)基矢不受環(huán)境作用的影響，因?yàn)橥队?/p>

是守恒量。相比之下，這些基矢的疊加一般來(lái)說(shuō)極其敏感于這個(gè)相互作用。讓我們?cè)賮?lái)考慮相互作用

,取

如下算符：它從系統(tǒng)態(tài)空間Hs挑出了維度為dn≥1的正交分解線性子空間A,Hs。設(shè)如下初始條件：求解含時(shí)薛定諤方程，立刻得到約化密度矩陣為退相干函數(shù)01利用完全退相干條件表達(dá)式(6.12),上式成為因此，我們看到在約化系統(tǒng)密度矩陣中，對(duì)于不同的j和固定的n,狀態(tài)|nj)之間的相干性仍然存在。換句話說(shuō)，對(duì)于一個(gè)和相同子空間AnHs的相干將不被環(huán)境作用影響。因此，環(huán)境作用使系統(tǒng)希爾伯特空間正交分解成為相干子空間AnHs，有因此，相干只是在一個(gè)及相同子空間內(nèi)的局域可觀測(cè)量。對(duì)于形如

,的任意系統(tǒng)可觀測(cè)量的測(cè)量，也就是任意對(duì)易于投影An的系統(tǒng)可觀測(cè)量的測(cè)量，構(gòu)成了在狀態(tài)式(6.24)上的QND測(cè)量。這是環(huán)境驅(qū)動(dòng)超選擇規(guī)則的一般框架，被著名物理家Zurek稱作einselection。最后我們來(lái)看退相于函數(shù)的短時(shí)間行為。考慮一個(gè)簡(jiǎn)單而重要的情況：庫(kù)算符Bn在初始態(tài)

上的平均值為零，即

。然而，使用方程式(6.9)引入幺正演化算符V(t)的短時(shí)間展開式，容易得到退相干函數(shù)01這表明

在短時(shí)間內(nèi)正比于t的平方。相應(yīng)地，線性熵式(6.18)的短時(shí)間行為是隨時(shí)間的平方增長(zhǎng)。退相干函數(shù)0102一個(gè)精確可解模型考慮一個(gè)耦合到諧振子庫(kù)的兩態(tài)系統(tǒng)。薛定諤繪景下，總哈密頓量為

總系統(tǒng)的時(shí)間演化01式中，是兩態(tài)系統(tǒng)的能級(jí)間隔，k表明了頻率

的庫(kù)模式，

分別是產(chǎn)生(湮滅)算符，滿足關(guān)系

;是系統(tǒng)與庫(kù)的耦合常數(shù)。哈密頓量給出了一個(gè)自旋—玻色子系統(tǒng)模型的非常簡(jiǎn)單的例子。模型的引進(jìn)最初是為了研究退相干對(duì)量子計(jì)算機(jī)的影響。注意，對(duì)于這個(gè)模型，泡利算符σz對(duì)應(yīng)著守恒量，因?yàn)樗c總哈密頓對(duì)易，即[H,σ?]=0。由此，布居是時(shí)間的常數(shù)，即式中，p(t)是總系統(tǒng)的密度矩陣。為了決定這個(gè)模型的退相干函數(shù)，首先來(lái)看相互作用繪景下哈密頓量，有由此，幺正時(shí)間演化算符在相互作用繪景下被給出，有因?yàn)閮蓚€(gè)不同時(shí)間相互作用哈密頓量的對(duì)易是c數(shù)函數(shù)，有所以得到式中，幺正算符V(t)被定義為總系統(tǒng)的時(shí)間演化01其中因此可以看到，除了一個(gè)整體的、依賴時(shí)間的相因子外，總系統(tǒng)的時(shí)間演化由上面定義的算符V(t)支配。對(duì)于任意庫(kù)狀態(tài)

,有其中是相干態(tài)生成元。因此，系統(tǒng)和它的環(huán)境相互作用分別在系統(tǒng)態(tài)

與庫(kù)態(tài)

之間產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)。如果庫(kù)初始在真空態(tài)，我們發(fā)現(xiàn)庫(kù)態(tài)成為式(6.40)是振幅為

的相干態(tài)的乘積，其中

作用產(chǎn)生位移的符號(hào)由系統(tǒng)態(tài)的量子數(shù)引起?？傁到y(tǒng)的時(shí)間演化01假設(shè)總系統(tǒng)的初始態(tài)為相干的衰減和退相干因子02這里，熱庫(kù)處在溫度為T的熱平衡態(tài)。其中

是庫(kù)的配分函數(shù)。系統(tǒng)密度矩陣的矩陣元可以由如下關(guān)系式給出：式中，i,j=0,1。容易證明，布居是時(shí)間的常數(shù)，

,而相干項(xiàng)為由方程式(6.35)和式(6.42)可得到退相干函數(shù)為式中，

定義了對(duì)于熱分布PB的期望值，令式(6.45)是浴模k的維格納特征函數(shù)。由定義容易得到它代表高斯函數(shù)，有因此，有引入頻率為

的模的密度

,并且定義譜密度為則退相干函數(shù)可以寫為因此，對(duì)于現(xiàn)在的模型，我們得到了一個(gè)退相干函數(shù)的解析表達(dá)式。顯然，

依賴于環(huán)境溫度T和譜密度

的形式。為了說(shuō)明退相干函數(shù)的動(dòng)力學(xué)行為，取如下形式的譜密度：相干的衰減和退相干因子02其中，我們假設(shè)了對(duì)于小頻率

的線性增加，并且假設(shè)在截止頻率Ω處的一個(gè)指數(shù)頻率截止。譜密度的這樣一個(gè)形式在量子光學(xué)中是典型的情況，其中

,并且假設(shè)浴模的一維場(chǎng)有常數(shù)模函數(shù)密度

常數(shù)。注意到，對(duì)于這種情況，有一個(gè)無(wú)量綱的耦合常數(shù)，即密度矩陣的常數(shù)因子A是無(wú)量綱的，并且將取為1。為了確定退相干函數(shù)，我們把它分成真空部分

和熱部分

,有真空部分可以被解析地確定，有

不依賴于溫度，并且描述了場(chǎng)的真空漲落怎樣影響開放系統(tǒng)的相干性，這部分依賴于截止頻率Ω。退相干函數(shù)的熱部分為相干的衰減和退相干因子02如果假設(shè)kBT<Ω,則熱貢獻(xiàn)部分為式(6.54)計(jì)算中用到了如下公式：并且引入了熱關(guān)聯(lián)時(shí)間最后，我們給出退相干函數(shù)為由上面我們得到三個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)的不同情況。(1)短時(shí)間范圍t<<Ω-1。在這個(gè)范圍內(nèi)，

的值隨時(shí)間t的平方增加相干的衰減和退相干因子02這直接來(lái)自時(shí)間演化算符(見方程式(6.26))的短時(shí)間展開。注意，在這個(gè)范圍的短時(shí)間行為完全由真空部分

決定。(2)真空范圍

。這里，退相干函數(shù)可以近似地寫為在這個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)，退相干效應(yīng)主要是由于場(chǎng)的真空漲落。(3)熱范圍

。這個(gè)范圍也可以稱作馬爾科夫范圍，因?yàn)橥讼嘤诤瘮?shù)的數(shù)值隨時(shí)間線性增加，有這意味著約化密度矩陣的非對(duì)角元以t的比率指數(shù)衰減。相干的衰減和退相干因子02上面的簡(jiǎn)單模型也可以被用來(lái)說(shuō)明相于子空間的產(chǎn)生和退相干函數(shù)對(duì)于系統(tǒng)大小的依賴。為此，考慮N個(gè)量子比特(qubit,由j來(lái)標(biāo)注),通過(guò)方程式(6.28)中的相互作用形式與庫(kù)發(fā)生作用。因此，總哈密頓量為相干子空間和系統(tǒng)大小的關(guān)系03此處假設(shè)量子比特彼此之間沒(méi)有直接作用，耦合常數(shù)

描述第j個(gè)量子比特與庫(kù)的k模式的耦合。進(jìn)一步假設(shè)，量子比特在空間上有固定的位置

,以及庫(kù)可以由某個(gè)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度r。來(lái)表征。然后我們可以區(qū)分兩個(gè)極端情況。首先，考慮量子比特間的最小距離大于庫(kù)的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度r。的情況。那么可以假設(shè)每個(gè)量子比特獨(dú)立地作用于它的庫(kù)。定義具體的量子比特構(gòu)型為

,其中

取0或1。則N個(gè)量子比特密度矩陣的矩陣元為因此，退相干函數(shù)為式中，

是由方程式(6.44)給出的單個(gè)量子比特的退相于函數(shù)。因此，上述退相干函數(shù)是單個(gè)量子比特退相干函數(shù)的整數(shù)倍。對(duì)于所有量子比特，當(dāng)且僅

時(shí)，退相干函數(shù)消失。如果正好兩個(gè)量子比特的量子數(shù)不同，則退相干函數(shù)由單個(gè)量子比特表示；如果所有量子比特的量子數(shù)不同，則退相干函數(shù)正比于總量子比特?cái)?shù)，這種情況下有式(6.64)對(duì)應(yīng)于最大退相干。讓我們先來(lái)看N個(gè)量子比特系統(tǒng)的線度比關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度r。小的情況。此時(shí)量子比特集體與庫(kù)發(fā)生作用，即可以假設(shè)對(duì)于固定模式k,所有的

彼此相等。因此，量子比特系統(tǒng)通過(guò)集體算符

與庫(kù)相互作用。因此，退相干函數(shù)為相干子空間和系統(tǒng)大小的關(guān)系03式中，

這表明對(duì)于N個(gè)量子比特系統(tǒng)，退相干函數(shù)正比于量子數(shù)

的差的平方。相干子空間由條件

定義，這是一個(gè)特殊的相干子空間，它由

為固定值的基矢

生成。例如，如果N=2,則兩個(gè)量子比特態(tài)

構(gòu)成一個(gè)非平庸的、兩維相干子空間。式(6.65)表明，集體相互作用可能導(dǎo)致一個(gè)退相干的很強(qiáng)放大。當(dāng)

或

時(shí)可得最大退相干，有總之，在獨(dú)立于庫(kù)相互作用的情況下，最大退相干隨系統(tǒng)大小N線性增長(zhǎng)；而在集體相互作用的情況下，它隨著系統(tǒng)大小的平方N2增長(zhǎng)。相干子空間和系統(tǒng)大小的關(guān)系0303退相干的馬爾科夫機(jī)制退相干率01考慮下面一般形式的主方程：其中式(6.67)引起總質(zhì)量為m的量子客體的質(zhì)心坐標(biāo)

的自由演化。如下節(jié)將看到的，約化密度矩陣Ps在位置表象中的非對(duì)角元的衰減常常在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生，這個(gè)時(shí)間常比相應(yīng)的對(duì)角的阻尼和約化系統(tǒng)自由演化的時(shí)間要短。因此對(duì)于一級(jí)近似，可以完全忽略自由演化，并且不考慮哈密頓量來(lái)求解主方程。由此得到表明非對(duì)角元被因子

所阻尼，其中測(cè)量密度矩陣對(duì)角元的距離。A稱作退相干率，其量綱為(時(shí)間)-1x(長(zhǎng)度)-2。因此退相干函數(shù)為由此定義退相干時(shí)間為01退相干率下面我們討論由馬爾科夫主方程式(6.67)描述的退相干三個(gè)基本物理機(jī)理。它們分別是：高溫限下的量子布朗運(yùn)動(dòng)、通過(guò)自發(fā)和熱致內(nèi)部自由度轉(zhuǎn)換的退相于和被入射粒子流散射的退相干。我們將看到，所有三種情況的退相干率取特征率和波數(shù)平方乘積的形式，即其中“率”表征了引起退相干的物理過(guò)程，即它等于弛豫率、轉(zhuǎn)換率或散射率。波數(shù)分別由退相于客體的熱波長(zhǎng)、發(fā)射輻射的波長(zhǎng)或散射粒子的德布羅意波長(zhǎng)決定。退相干率01量子布朗運(yùn)動(dòng)02作為討論的第一種情形，我們來(lái)看退相干出現(xiàn)在集體自由度的運(yùn)動(dòng)可以由Caldeira-Leggett量子主方程式(5.318)描述的情況。在無(wú)反沖限條件下，集體自由度x的主方程化簡(jiǎn)為式(6.67)的形式，其中退相干率為(將h重新引入)引入熱波長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)的波數(shù)

,退相干率可以寫成一般形式(見式(6.73))這正是預(yù)料的結(jié)果。由于忽略了自由演化和阻尼效應(yīng)，密度矩陣的對(duì)角元在時(shí)間演化過(guò)程中不受影響，而非對(duì)角元強(qiáng)烈地衰減。一般地，我們定義弛豫時(shí)間

是粒子動(dòng)量平方的衰減時(shí)間。按照方程式(5.330),自由布朗粒子的動(dòng)量遵照

弛豫，則可得到

。因此由方程式(6.72)和式(6.76)得到退相干時(shí)間與弛豫時(shí)間的比為02量子布朗運(yùn)動(dòng)由于宏觀客體的熱波長(zhǎng)非常小，這可以表明退相干時(shí)間與弛豫時(shí)間相差很多個(gè)數(shù)量級(jí)。例如，考慮室溫中(T=300K)質(zhì)量m=1g的粒子，設(shè)△x=1cm,容易發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)時(shí)間的比率的數(shù)量級(jí)為：

。因此，即使選取

為宇宙年齡的數(shù)量級(jí)

,退相干時(shí)間也是極其小的，即

。03內(nèi)部自由度質(zhì)心密度矩陣相干的破壞可以由復(fù)合體系內(nèi)部自由度的自發(fā)躍遷或受激躍遷引起。我們?cè)俅味x體系的質(zhì)心坐標(biāo)為

，兩個(gè)內(nèi)部能級(jí)(激發(fā)態(tài))和

(基態(tài))由轉(zhuǎn)換頻率

分隔，環(huán)境取溫度為T的熱輻射場(chǎng)。因此，我們有發(fā)射率為

的自發(fā)發(fā)射和熱致發(fā)射與吸收過(guò)程。包括質(zhì)心、內(nèi)部自由度的體系密度矩陣p(4)的馬爾科夫主方程取為L(zhǎng)indblad方程形式，有量子布朗運(yùn)動(dòng)02內(nèi)部自由度03其中，

是普朗克分布，并且積分對(duì)光子發(fā)射方向

上的立體角dΩ進(jìn)行，為簡(jiǎn)單起見取各向同性。Lindblad算符

提取了內(nèi)部態(tài)e→g的轉(zhuǎn)換，并且動(dòng)量反沖由波矢

的光子發(fā)射引起。動(dòng)量反沖由算符

描述，它通過(guò)

改變客體系統(tǒng)的動(dòng)量。因此有式中，

。在主方程式(6.78)中，由多普勒效應(yīng)和反沖引起的頻移被忽略，這在體系總質(zhì)量m很大的限制條件下是合理的。現(xiàn)在的目標(biāo)是推導(dǎo)出質(zhì)心坐標(biāo)的約化密度矩陣的有效主方程，有式中，取跡是對(duì)內(nèi)部自由度進(jìn)行的。取

,由方程式(6.78)立刻得到式中，

分別是激發(fā)態(tài)和基態(tài)能級(jí)的布居。因?yàn)橹鋬?nèi)部自由度的動(dòng)力學(xué)從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)退耦合，人們立即發(fā)現(xiàn)如果客體系統(tǒng)初始處于激發(fā)態(tài)，即

,則求得解為方程式(6.81)對(duì)角度積分，可以得到下列位置空間表象支配質(zhì)心密度矩陣的主方程：這是描述復(fù)合體系質(zhì)心坐標(biāo)

運(yùn)動(dòng)的主方程。式中，

是發(fā)射輻射的波數(shù)。我們可以區(qū)別兩個(gè)重要的限定情況。首先，假設(shè)

。在這個(gè)限制下方程式(6.84)第二項(xiàng)近似為內(nèi)部自由度03表明非對(duì)角元衰減率不依賴于△x。因此，退相干飽和于對(duì)角元的距離遠(yuǎn)大于輻射波長(zhǎng)處。再者，我們注意到退相干率近似等于自發(fā)發(fā)射率

、感應(yīng)發(fā)射

和感應(yīng)吸收率(貢獻(xiàn)

)之和。方程式(6.85)給出的比率通過(guò)方程式(6.82)給出的內(nèi)在動(dòng)力學(xué)依賴于時(shí)間。然而，對(duì)于很短的時(shí)間，

,并且具有條件

,退相干時(shí)間為例如，在零溫度N=0,簡(jiǎn)單地可以得到

。這是一個(gè)明顯的結(jié)果：如果輻射波長(zhǎng)小于兩個(gè)重疊的局域波包質(zhì)心坐標(biāo)間的距離

到，單個(gè)光子的發(fā)射已經(jīng)能夠?qū)崿F(xiàn)體系的近似定位，并且由此導(dǎo)致疊加相干性的部分破壞。因此在零溫度，退相于時(shí)間必須等于一個(gè)光子發(fā)射的平均時(shí)間，也就說(shuō)是與自發(fā)發(fā)射率成反比。現(xiàn)在考慮另一種極端情況，k△x<1,這意味著

。由方程式(6.84)中1-sin(k△x)/k△x項(xiàng)展開，可以得到一個(gè)一般形式(見式(6.67))的主方程，其退相干率為如下形式：再一次看到，退相干率依賴于時(shí)間。然而，對(duì)于高溫，N>>1,我們得到了一個(gè)時(shí)間無(wú)關(guān)的退相干率，有內(nèi)部自由度03這個(gè)退相干率再一次屬于式(6.73)的一般形式：特征波數(shù)k屬于轉(zhuǎn)換輻射的特征波數(shù)，而特征比率由熱感應(yīng)過(guò)程的比率給出。另一方面，在低溫并且時(shí)間滿足γot<<1的情況下，如果系統(tǒng)初始處于激發(fā)態(tài)，則退相干率為為了有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，考慮下面的例子：氫原子的能級(jí)躍遷2p→1s。對(duì)于氫原子，有

,其中

是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。因此氫原子轉(zhuǎn)換退相干率的估計(jì)值為04粒子的散射最后考慮復(fù)合體系由粒子的散射而產(chǎn)生的相干性破壞。一般來(lái)說(shuō)，許多類型的散射反應(yīng)對(duì)退相干有貢獻(xiàn)。例如，在光子入射的情況下，可能有Thomson散射、彈性Rayleigh散射或非彈性Raman散射。為了推導(dǎo)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的約化密度矩陣主方程，這里假設(shè)散射是彈性的，并且忽略反沖效應(yīng)。這意味著在散射反應(yīng)中，只有被散射粒子的狀態(tài)發(fā)生改變，而目標(biāo)客體的狀態(tài)不變。如果取量子客體的質(zhì)心坐標(biāo)是位置的本征態(tài)尿),則可以將散射反應(yīng)表示為內(nèi)部自由度03其中，

是入射波函數(shù)，S為散射矩陣，出射波函數(shù)由

定義，它代表散射中心位置

的散射波。注意，這里假設(shè)散射時(shí)間

小于系統(tǒng)演化的典型時(shí)間范圍。單個(gè)散射反應(yīng)的結(jié)果，使客體質(zhì)心坐標(biāo)的密度矩陣進(jìn)行如下變換：因此，矩陣元

和彩散射波的重疊相乘得到。為了決定散射波的重疊，我們假設(shè)：S—矩陣對(duì)易于總動(dòng)量，即與客體動(dòng)量萬(wàn)和散射粒子動(dòng)量q的和對(duì)易，有將初始狀態(tài)表示為因此，由總動(dòng)量守恒給出粒子的散射04式中，So定義了在

處散射的S矩陣。散射波的重疊因此被寫為下面假設(shè)入射粒子態(tài)

為一個(gè)動(dòng)量本征態(tài),它是在量子化體積

內(nèi)歸一化的態(tài)。由下式引入T矩陣：并且利用S矩陣的幺正性容易推得取下列連續(xù)限代換式及那么，利用被定義為如下T矩陣的散射幅

:散射波的重疊可以化為粒子的散射04由式(6.102),我們可以給出在時(shí)間間隔△t內(nèi)由一個(gè)散射事件引起的密度矩陣的改變△ps對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為現(xiàn)在假設(shè)在時(shí)間間隔△t內(nèi)發(fā)生了多次散射，這意味著△t必須按如下方式選擇：△t比

大很多，并且比系統(tǒng)的自由演化特征時(shí)間小很多。另外，我們也假設(shè)入射態(tài)可以由動(dòng)量本征態(tài)的非相干混合描述，并且相應(yīng)的入射動(dòng)量分布是各向同性的。為了描述入射態(tài)，我們定義dk(k)為入射動(dòng)量在間隔[k,k+dk]內(nèi)的通量，即dkI(k)I2△t是時(shí)間間隔△t內(nèi)的入射粒子數(shù)，并且有動(dòng)量在間隔[k,k+dk]內(nèi)。密度矩陣的總變化率由對(duì)所有積分和對(duì)所有方向取平均獲得。因此有將表達(dá)式(6.103)代入式(6.104)并添加自由演化項(xiàng)，得到密度矩陣方程為式中粒子的散射04依照前面的做法，我們將區(qū)別兩種限度情況討論問(wèn)題。首先，假設(shè)k0△x》1,其中k0是散射粒子的典型波數(shù)。表達(dá)式(6.106)中指數(shù)平均為零，由此得到式中，σ(k)是總橫截面，sc是總散射率，類似于兩個(gè)內(nèi)部能級(jí)轉(zhuǎn)換引起的退相于，散射引起的退相干飽和于大的距離△x,并且以等于總散射率的比率發(fā)生。退相干函數(shù)的飽和容易被獲知：對(duì)于k△x>1,散射粒子的波長(zhǎng)小于距離△x。因此，一個(gè)單個(gè)的散射反應(yīng)對(duì)定位客體系統(tǒng)即已提供了充足的信息。進(jìn)一步增加△x不可能增強(qiáng)這個(gè)信息。其次，對(duì)于小距離，k0△x<1,我們發(fā)現(xiàn)引入球坐標(biāo)以至于

,則有粒子的散射04式中式(6.110)被視為有效橫截面。例如，如果微分橫截面是各向同性的，則有這些表達(dá)式給出了由散射離開客體描述的退相干的退相干率可以表示為式(6.112)又一次表明可以表示為式(6.73)的一般形式。顯然，這里的相關(guān)波函數(shù)等于散射粒子布洛赫波函數(shù)的平均,特征率由總散射率

給出。作為具體例子，我們考慮通過(guò)溫度為T的光子氣體散射的退相干。如果氣體中光子的熱波長(zhǎng)比客體的半徑a大，則可以假設(shè)散射橫截面由Rayleigh橫截面給出。用光子氣體的普朗克分布估算式(6.112),可以得到退相干率的如下估計(jì)結(jié)果：粒子的散射04注意到，此結(jié)果強(qiáng)烈地依賴于客體的大小和氣體的溫度。退相干率隨著客體半徑α的六次方增加，這是由于在長(zhǎng)波限下Rayleigh橫截面對(duì)a的依賴性。A隨溫度T的九次方增加可以通過(guò)如下說(shuō)明來(lái)了解。首先，光子通量I正比于T的三次方，這正是Stefan-Boltzmann黑體輻射定律。其次，σ(k)k2的平均隨著熱波數(shù)km=kgT/hc的六次方增加。這是因?yàn)镽aylcigh橫截面隨波函數(shù)的四次方增加。例如，對(duì)于線度a=10?cm的大分子物體，在溫度T=3K(宇宙背景輻射)時(shí)得到A=10-12cm-2s1,并且當(dāng)T=300K(室溫)時(shí)可得A=10?cm-2s1。對(duì)于小的塵埃顆粒，比如a=10?cm,相應(yīng)的退相干率在T=3K時(shí)增加為A=10?cm-2s-1,在T=300K時(shí)變?yōu)锳=1012cm-2s1。對(duì)于線度大于波長(zhǎng)的物體，它的橫截面積近似等于幾何橫截面，退相干率的估算值可由下式給出：在這個(gè)范圍內(nèi)，A隨a的二次方和T的五次方增加。對(duì)于a=10-1cm的物體，可以得到在T=300K時(shí)A~102?cm-2s-1。粒子的散射0404阻尼諧振子真空退相干01在零溫度下主方程式(5.254)可以表示為所周知，在時(shí)間演化下相干態(tài)保持不變，這使得對(duì)于真空情況問(wèn)題的解特別簡(jiǎn)單。因此我們?cè)O(shè)式中，α(0)=α和β(0)=β,并且f(t)是c數(shù)函數(shù)，f(0)=1,由此

。利用關(guān)系以及相干態(tài)是湮滅算符的本征態(tài)的事實(shí)，可以證明由式(6.119)給出的α(t)去解主方程式(6.118)時(shí)，只要下列微分方程被滿足即可：01熱噪聲由這些方程容易解得總之，主方程式(6.118)對(duì)應(yīng)于初始態(tài)式(6.117)的解取如下形式：現(xiàn)在可將退相干函數(shù)T(t)定義為因子f(t)的模的對(duì)數(shù)，有可以看到，

正比于初始相干態(tài)復(fù)平面上振幅α和β距離的平方。對(duì)于γ0f》1,退相干函數(shù)接近于值

接近于初始態(tài)重疊的絕對(duì)值

。對(duì)于分得很開的相干態(tài)，這個(gè)重疊是極小的，意味著在長(zhǎng)時(shí)間限下相干實(shí)際上消失了。另一方面，對(duì)于

,退相干函數(shù)正比于時(shí)間，有真空退相干01這使得我們可以通過(guò)如下關(guān)系定義一個(gè)退相干時(shí)間

:其中用到了弛豫時(shí)間

。可以看到，退相于時(shí)間與弛豫時(shí)間的比值反比于初態(tài)在復(fù)平面上距離的平方。方程式(6.129)是許多退相于微觀模型中會(huì)遇到的一個(gè)重要關(guān)系。它告訴我們，對(duì)于分得很開的初始態(tài)，其退相干時(shí)間，即由于和環(huán)境相互作用而相干被破壞的時(shí)間遠(yuǎn)小于弛豫時(shí)間，也就是小于系統(tǒng)由于耗散而失去能量的特征時(shí)間。為了從物理上解釋關(guān)系式(6.129),我們簡(jiǎn)單地假設(shè)β=0,這意味著疊加態(tài)之一是振子的基態(tài)。由此式(6.129)化為其中，

。然后問(wèn)題成為，為什么上面獲得的退相干時(shí)間是弛豫時(shí)間的1m,即是初態(tài)的量子平均數(shù)的倍數(shù)分之一?首先我們注意到，在零溫度時(shí)，環(huán)境在真空基態(tài)被定義為

。因此，有下列復(fù)合系統(tǒng)初始態(tài)(忽略重疊

):真空退相干01這個(gè)初始態(tài)的能量量子發(fā)射率近似等于

。相應(yīng)地，一個(gè)量子發(fā)射時(shí)間的量級(jí)為

。在這個(gè)時(shí)間之后，初始態(tài)近似演化成如下狀態(tài)：其中，

在發(fā)射一個(gè)量子之后的態(tài)，而

定義了庫(kù)中包含一個(gè)能量量子的狀態(tài)。振子的約化密度矩陣則為上述推導(dǎo)中用到了庫(kù)態(tài)

的正交性。這表明，相干性在一個(gè)量子發(fā)射之后就已經(jīng)被破壞了，即在時(shí)間量級(jí)為

時(shí)相干性被破壞。而能量的耗散要n個(gè)量子發(fā)射，即時(shí)間量級(jí)為

。這即是方程式(6.130)所表達(dá)的內(nèi)容。02熱噪聲容易推測(cè)，熱噪聲將導(dǎo)致退相干增強(qiáng)。為了確定有限溫度情況下的退相干時(shí)間，我們將主方程式(5.254)對(duì)應(yīng)于初始態(tài)式(6.117)的解寫為真空退相干01熱噪聲02其中，我們引入了我們的方法是研究在位置空間的概率密度，并且去確定來(lái)自表達(dá)式p(x,t)中于涉項(xiàng)約化的退相干函數(shù)。其中矩陣元為事實(shí)上，P(x,t)可寫為在方程式(6.141)中，頭兩項(xiàng)代表疊加波包非相干的和，而第三項(xiàng)描述了干涉圖樣。下面我們來(lái)確定由式(6.139)和式(6.140)定義的值。當(dāng)然，這可以通過(guò)確定主方程式(5.254)對(duì)應(yīng)于初始條件式(6.117)的解來(lái)獲得。然而，我們將用一個(gè)更直接的方法得到所要的結(jié)果，這個(gè)方法對(duì)處理其他模型也有用。這里的關(guān)鍵是

是高斯函數(shù)。由于這里考慮的系統(tǒng)是線性的，這種情況下，對(duì)于時(shí)間演化高斯特征保持不變。因此，我們說(shuō)由式(6.139)和式(6.140)定義的值必須具有x的高斯函數(shù)形式，并且所有我們要做的就是求解其平均值和方差。例如，函數(shù)

可以寫為這里，x(t)和x2(t)是需由伴隨主方程(見下面)決定的海森伯繪景算符。當(dāng)然，類似的表達(dá)式對(duì)于

要?dú)w一化。最后，函數(shù)

必須寫為熱噪聲02注意到，式(6.145)是復(fù)值高斯函數(shù)并且歸一化到初始相干態(tài)的重疊。下面我們來(lái)計(jì)算上面公式中的平均值和方差，為此我們求解附有初始條件的伴隨主方程。初始條件即t=0時(shí)，海森伯和薛定諤算符一致，因此有熱噪聲02式中，a?、a是薛定諤繪景算符，并且

。利用這些關(guān)系，容易發(fā)現(xiàn)可以看到，方差彼此相等并且σ2(0)等于波包的初始寬度，有最后，我們將最終的表達(dá)式

代入方程式(6.138),通過(guò)簡(jiǎn)單的重排之后，得到退相干函數(shù)為熱噪聲02以及相位將關(guān)系式(6.151)～式(6.154)代入上兩式，最后得到方程式(6.158)中的

是不依賴于空間的相位，其表示如下：而熱噪聲02代表疊加態(tài)中心聞的初始空間距離。然而我們發(fā)現(xiàn)，利用方程式(6.165),在高溫限下，

,得到這里我們引入了熱波長(zhǎng)

。相同的結(jié)果從前面的高溫布朗運(yùn)動(dòng)主方程(與方程式(6.77)比較)中得到過(guò)。熱噪聲02是疊加波包平均動(dòng)量之差。對(duì)于γot<1,從方程式(6.158)和式(6.160)可得這個(gè)表達(dá)式描述了系統(tǒng)一環(huán)境耦合消失情況下于涉發(fā)生的圖樣。方程式(6.159)表明在零溫(N=0)限下，

約化到表達(dá)式(6.127)。在長(zhǎng)時(shí)間限下，表達(dá)式(6.159)接近疊加的初始態(tài)的重疊給出的獨(dú)立于溫度的值，有對(duì)于短時(shí)間限，γot<1,我們發(fā)現(xiàn)因此，退相干時(shí)間與弛豫時(shí)間的比率為將這個(gè)表達(dá)式與方程式(6.129)進(jìn)行比較可以看到，熱噪聲的存在使退相干時(shí)間

減小到了原來(lái)的1/(2N+1)。假設(shè)α和β是實(shí)的，這意味著疊加態(tài)的初始動(dòng)量消失，并且有熱噪聲0205電磁場(chǎng)態(tài)原子與腔場(chǎng)模相互作用01原子與腔場(chǎng)模相互作用實(shí)驗(yàn)裝置如圖6.1所示，兩個(gè)原子A?和A?具有一時(shí)間間隔T,穿過(guò)由兩個(gè)微波諧振腔R?和R?及一個(gè)頻率為y的超導(dǎo)微波腔C組成的裝置。

的高腔品質(zhì)因數(shù)導(dǎo)致腔的弛豫率為

,原子可以由分別定義為

的里德伯原子(能級(jí)主量子數(shù)為n=51和n=50)描述，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換頻率φ失諧于腔頻率的量是△,諧振腔R?和R?的腔場(chǎng)由頻率為ax的相同的經(jīng)典微波源提供。最后，原子的狀態(tài)在場(chǎng)離化檢測(cè)器

中被分析。原子能級(jí)草圖畫在圖6.2中。首先，讓我們簡(jiǎn)單描述實(shí)驗(yàn)的基本思想。第一個(gè)諧振器R?用來(lái)制備原子在狀態(tài)

的某個(gè)疊加態(tài)。初始時(shí)刻，腔C包含一個(gè)較小的相干態(tài)

。正像下面將要說(shuō)明的，原子和腔C中的場(chǎng)相互作用有效地驅(qū)動(dòng)場(chǎng)態(tài)的相移

,其中的符號(hào)由原子態(tài)誘發(fā)。因此，第一個(gè)原子A,和腔C中的場(chǎng)相互作用導(dǎo)致兩個(gè)原子態(tài)和兩個(gè)相分量

之間的糾纏。第二個(gè)諧振器R?驅(qū)動(dòng)A?狀態(tài)的進(jìn)一步混合，以至于在場(chǎng)發(fā)射探測(cè)器D。和D。驅(qū)動(dòng)中原子態(tài)最終測(cè)量不給出任何有關(guān)態(tài)的信息。結(jié)果，A,上的狀態(tài)測(cè)量投影C中的場(chǎng)在一個(gè)兩相分量的薛定諤貓型疊加態(tài)上，兩相分量在復(fù)平面上被

分開。忽略瞬時(shí)場(chǎng)阻尼、歸一化因子及再相因子，這個(gè)態(tài)實(shí)質(zhì)上取如下形式：其中，如果X?被發(fā)現(xiàn)處于

態(tài)則X?=0;如果處于

態(tài)則X?=π。此后，類似的變換由第二個(gè)原子和腔場(chǎng)相互作用驅(qū)動(dòng)，因此腔場(chǎng)最后的狀態(tài)為式中，x?如前述X?取0或π,依賴于A?的測(cè)量結(jié)果。所以，如果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)原子處于相同的態(tài)(x?=x?),則場(chǎng)態(tài)式(6.170)成為原子與腔場(chǎng)模相互作用01如果兩原子處于不同狀態(tài)(x?≠x?),則場(chǎng)態(tài)為我們看到，場(chǎng)和兩個(gè)原子的相互作用導(dǎo)致當(dāng)兩原子被檢測(cè)到處于相同態(tài)時(shí)的一種相分量

的相長(zhǎng)干涉。如果原子被檢測(cè)到處于不同的態(tài)，則相分量

干涉性破壞并且從最終態(tài)中消失。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，條件概率

被測(cè)量，這被定義為在A,已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)處于態(tài)|s)條件下發(fā)現(xiàn)原子A?處于

狀態(tài)的概率，其中

。詳細(xì)分析表明，在缺少場(chǎng)阻尼的情況下，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)原子處于相同態(tài)(即有相長(zhǎng)干涉)的概率大于處于不同態(tài)(相消干涉)的概率。因此，如果場(chǎng)阻尼和薛定諤貓態(tài)式(6.169)的退相干被考慮，對(duì)于增加的延遲時(shí)間T,條件概率的這種差別衰減到零。所以通過(guò)測(cè)量條件概率作為兩原子間隔時(shí)間T的函數(shù)間的差別，即可以測(cè)量薛定諤貓態(tài)的退相干。在對(duì)實(shí)驗(yàn)做詳細(xì)理論分析之前，我們先研究在腔C中原子—場(chǎng)相互作用引起的動(dòng)力學(xué)。原子—場(chǎng)相互作用可以由JC哈密頓量描述，有原子與腔場(chǎng)模相互作用01注意，這里的Rabi頻率2(t)依賴于時(shí)間。這是由于腔C中場(chǎng)模函數(shù)的空間依賴性的緣故。因此，當(dāng)原子穿過(guò)腔的時(shí)候會(huì)感到對(duì)場(chǎng)模耦合的時(shí)間變化。因此注意到，這里對(duì)應(yīng)的是含時(shí)哈密度量。對(duì)于固定時(shí)間，即原子在腔內(nèi)的固定位置，JC哈密頓量的本征值由下列線性近似給出：對(duì)應(yīng)的綴飾態(tài)為在給定的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，腔C中非共振原子一場(chǎng)相互作用主要是絕熱的，這意味著綴飾原子態(tài)之間的真實(shí)轉(zhuǎn)換可以忽略，僅需考慮虛過(guò)程。應(yīng)用量子力學(xué)絕熱定理我們看到，穿過(guò)腔的原子的綴飾態(tài)獲得了一個(gè)由積分動(dòng)力學(xué)相位給出的相因子

。因此，除了來(lái)自非擾動(dòng)能量的貢獻(xiàn)，原子和場(chǎng)模a的相互作用導(dǎo)致的相移由下式給出：其中原子與腔場(chǎng)模相互作用01和于是，我們可以將狀態(tài)

的變換寫為如下形式：上述結(jié)果將用于描述在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中研究退相干的場(chǎng)態(tài)疊加的制備。02薛定諤貓態(tài)下面我們來(lái)詳細(xì)分析這個(gè)實(shí)驗(yàn)。(1)A?的初態(tài)和在R?中的相互作用。首先，原子A,被制備在狀態(tài)

并且在諧振器R,中經(jīng)歷了一個(gè)π/2的脈沖，在與C相互作用之前獲得下列原子一場(chǎng)系統(tǒng)狀態(tài)：(2)在C中原子一場(chǎng)相互作用。原子A?進(jìn)入中心腔C,C中的場(chǎng)模誘發(fā)的相移可以被變換式(6.180)和式(6.181)描述，式(6.182)表示的狀態(tài)轉(zhuǎn)換為原子與腔場(chǎng)模相互作用01薛定諤貓態(tài)02(3)在R?中相互作用和對(duì)A?的測(cè)量。在R?中的第二個(gè)π/2脈沖誘導(dǎo)原子A?的狀態(tài)做如下變化：其中，

是原子A?在R?和R?之間飛行

時(shí)間獲得的動(dòng)力學(xué)相差。因此，原子一場(chǎng)態(tài)在原子A,離開諧振器R?后取下列形式：原子A?狀態(tài)的測(cè)量將場(chǎng)態(tài)投影到狀態(tài)其中，

的測(cè)量意味著x=0,而

的測(cè)量意味著x=π。歸一化因子為(4)C中的場(chǎng)阻尼。式(6.186)的狀態(tài)對(duì)應(yīng)密度矩陣式中，

。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，環(huán)境溫度對(duì)應(yīng)于場(chǎng)模平均熱光子數(shù)，N=0.05,使用真空光學(xué)主方程式(6.118)。在時(shí)間間隔T,場(chǎng)模演化為如下密度矩陣：式中(與方程式(6.123)～式(6.125)比較得)值得注意的是，由于是在相互作用繪景，所以不存在動(dòng)力學(xué)相因子。可以看到退相干函數(shù)為由此得到退相干時(shí)間為(5)A?的初態(tài)和在R1中的相互作用。原子A?被制備在初態(tài)

,并且在R,中經(jīng)歷了π/2脈沖，由此在原子正要進(jìn)入腔之前，A?和場(chǎng)的狀態(tài)為薛定諤貓態(tài)02(6)C中原子一場(chǎng)相互作用。原子A?和C中場(chǎng)的相互作用可得如下狀態(tài)：(7)在R?中的相互作用和對(duì)A?的測(cè)量。原子A?穿過(guò)諧振腔R?,將狀態(tài)式(6.196)轉(zhuǎn)換為最后，測(cè)量原子A?的狀態(tài)及確定條件概率

這里，

定義為原子A:被檢測(cè)到處于

條件下發(fā)現(xiàn)原子A?在|e)狀態(tài)的概率，原子A,的狀態(tài)依賴于對(duì)A;的測(cè)量結(jié)果。利用上述

表示式，有薛定諤貓態(tài)02其中，如果ε=g則x=0;ε=e則x=π。利用場(chǎng)密度矩陣式(6.189)我們發(fā)現(xiàn)方程式(6.199)中的1+Acosx源于場(chǎng)密度算符的歸一化因子，而B、C和D源于方程式(6.198)中的四個(gè)標(biāo)積，即項(xiàng)B由下列積得到：薛定諤貓態(tài)02因此，B由第一個(gè)原子產(chǎn)生的初始疊加的兩個(gè)分量的重疊決定，而相分量被

角分開。項(xiàng)C源于如下積：項(xiàng)D由如下積決定：因此，D由分成

角的兩個(gè)相分量的重疊決定，而C由分成相同角的兩個(gè)分量的重疊獲得。由關(guān)系式(6.200)～式(6.203)可以看到，對(duì)于

,則A、B和D是對(duì)|a|2指數(shù)小的。因此有實(shí)驗(yàn)中，條件概率的下列差被確定：或更確切地說(shuō)角平均被決定：薛定諤貓態(tài)02利用方程式(6.199)則有因?yàn)镃代表

的主要貢獻(xiàn)并且不依賴于

。對(duì)于C,表達(dá)式(6.202)表明，它等于f(T)(見方程式(6.192))的實(shí)部乘以薛定諤貓態(tài)式(6.189)的干涉項(xiàng)。因此，得到這是所希望的將實(shí)驗(yàn)觀測(cè)可(T)與退相于函數(shù)T(T)聯(lián)系起來(lái)的表達(dá)式。按照方程式(6.211)條件概率的差η直接與場(chǎng)密度矩陣非對(duì)角元相關(guān)，因此與退相干函數(shù)T(T)相關(guān)。這個(gè)關(guān)系使得能對(duì)薛定諤貓的退相干直接觀測(cè)，并且是對(duì)理論的一個(gè)漂亮的量化證明。薛定諤貓態(tài)0206Caldeira-Leggett模型一般退相干公式01為了決定對(duì)應(yīng)于兩個(gè)高斯波包

疊加的退相于函數(shù)

,我們應(yīng)用與6.4節(jié)相同的技術(shù)。一個(gè)簡(jiǎn)單的考慮表明，方程式(6.156)也可以被用于Caldeira-Leggett模型針對(duì)任意譜密度、溫度和耦合強(qiáng)度的一個(gè)精確處理。原因是，對(duì)于這個(gè)方程的推導(dǎo)僅僅依賴于初態(tài)和傳播函數(shù)的高斯特性。因此，方程式(6.156)在僅對(duì)于

這些量做更改的一般情況下也成立。現(xiàn)在這些量用精確的海森伯繪景算符x(1)的期望值來(lái)定義，有這里取跡是針對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的。我們也注意到，如同在量子光學(xué)主方程情況下，有因此我們可以確定方差σ2(t),例如用狀態(tài)

。為簡(jiǎn)單起見，我們假設(shè)初始系統(tǒng)一浴沒(méi)有關(guān)聯(lián)。為了確定退相干函數(shù)，首先用疊加波包的初始分離來(lái)表示方程式(6.156)中的量

即，在位置空間有在動(dòng)量空間有這樣得到如下等式：我們知道海森伯繪景下，位置算符x(t)和對(duì)應(yīng)的動(dòng)量算符p(t)遵循運(yùn)動(dòng)方程p(1)=mi(t)和方程式(5.366)。正如5.5.3節(jié)那樣，我們引進(jìn)方程式(5.366)的基本解G?(t)+G?(t),此解滿足初始條件G?(t)=G?(t)=1和G(0)=G?(0)=1,并將海森伯算符x(1)寫為式中，x?(t)定義了齊次方程的解，而I(t)是滿足初始條件I(0)=i(0)=0的非齊次方程的解。利用方程式(6.220)我們發(fā)現(xiàn)一般退相干公式01并且方差為式(6.224)為利用所用模型譜密度

表示的噪聲核，將方程式(6.219)、式(6.221)和式(6.222)代入式(6.156),得到一般退相干公式01這個(gè)方程給出了退相干函數(shù)T(t)的一個(gè)一般表達(dá)式。它可以被用于坐標(biāo)一坐標(biāo)耦合、具有高斯初始態(tài)及任意耦合強(qiáng)度和譜密度的所有線性模型。在方程式(6.225)中，退相干函數(shù)已經(jīng)被用疊加波包的初始寬度

表達(dá)。如果

是通過(guò)方程式(6.155)與振子頻率相關(guān)聯(lián)的，則疊加波包就代表振子的相干態(tài)。然而，因?yàn)?/p>

可以被任意選取，則方程式(6.225)對(duì)壓縮初始態(tài)也有效。顯然，

趨向于長(zhǎng)時(shí)間限下初始重疊給出的值，在這個(gè)限制下給出了

。再者，我們有下列關(guān)系：因此，確定退相干函數(shù)T(t)的問(wèn)題簡(jiǎn)化到對(duì)于海森伯運(yùn)動(dòng)方程的齊次部分的基本解G?(t)和G?(t),以及非齊次部分的平方的庫(kù)平均

的確定。一般退相干公式01Ohmic環(huán)境021.高溫限在高溫限下，即

情況下，我們得到(見方程式(5.363)和式(5.364))為了給出一個(gè)具體例子，下面我們來(lái)研究自由布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們有基本解：G?(t)=1和G?(t)=

，這導(dǎo)致如下結(jié)果：將這些關(guān)系代入方程式(6.225)中去，即可獲得高溫自由布朗運(yùn)動(dòng)的退相干函數(shù)?，F(xiàn)在考慮

的時(shí)間范圍。引入

,發(fā)現(xiàn)這表明，退相干函數(shù)的行為主要依賴于疊加波包的初始寬度。例如，如果噪聲對(duì)方差σ2(4)的貢獻(xiàn)比波包的初始寬度σ02貢獻(xiàn)小，并且如果自由傳播

可以被忽略，我們得到表明

的值隨t的三次方增加。在消失的初始寬度限下(見方程式(6.226)和式(6.231)),有除去因子1/3,這個(gè)關(guān)系已經(jīng)被用于6.3.1節(jié)中對(duì)退相干率的估計(jì)上。另一方面，如果初始寬度趨于無(wú)窮大(見方程式(6.233)),則有可見，退相于函數(shù)的值隨時(shí)間的三次方增長(zhǎng)，這個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于平面波干涉的情況。2.諧振子由海森伯運(yùn)動(dòng)方程的齊次部分Ohmic環(huán)境02容易得到如下基本解：其中為欠阻尼情況下的特征頻率。在過(guò)阻尼情況下v為虛數(shù)，可以寫為由此基本解取如下形式：Ohmic環(huán)境02用方程式(6.224),由方程式(6.223)得到上述表達(dá)式對(duì)過(guò)阻尼和欠阻尼情況均適用。將方程式(6.242)和式(6.236)、式(6.237),或式(6.240)、式(6.241)代入式(6.225)中，可獲得諧振子的退相干函數(shù)，所獲得的表達(dá)式對(duì)于任意耦合強(qiáng)度和溫度均有效。然而，方程式(6.242)中頻率積分的一般分析是十分困難的。尤其是對(duì)于大的截止頻率，積分對(duì)數(shù)依賴于Ω。但是對(duì)于某些限制情況，可以獲得簡(jiǎn)單的表達(dá)式。在下面的討論中，我們?cè)O(shè)

,對(duì)應(yīng)于初始相干態(tài)疊加。在弱阻尼限下，我們有

處有兩個(gè)尖峰，并且在y→0限下可以近似地得到其中，我們已經(jīng)通過(guò)關(guān)系

引入了普朗克分布，

,剩余頻率積分可以用余數(shù)法確定，這將導(dǎo)致如下結(jié)果：Ohmic環(huán)境02將式(6.245)代入一般退相干公式(6.225)中，并注意到在弱阻尼限下像我們期望看到的那樣，對(duì)于退相干函數(shù)，這個(gè)表達(dá)式化簡(jiǎn)到量子光學(xué)限下得到的式(6.159)。注意到，弛豫常數(shù)通過(guò)γo=2γ產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。下面討論對(duì)任意耦合時(shí)的高溫限。利用方程式(6.229)獲得將這個(gè)表達(dá)式代入式(6.225)即可得到高溫退相于函數(shù)

,所得結(jié)果對(duì)欠阻尼情況均有效。對(duì)于欠阻尼情況，正像期望看到的那樣，精確的相干函數(shù)按照

的量級(jí)不同于量子光學(xué)的結(jié)果。弱耦合限下，即滿足

,則有相應(yīng)地，退相干時(shí)間

與弛豫時(shí)間

的比率為Ohmic環(huán)境02我們來(lái)將這個(gè)結(jié)果與強(qiáng)過(guò)阻尼情況做一比較。強(qiáng)過(guò)阻尼被定義為在

以至于

限制情況下。退相干函數(shù)通過(guò)將

代入方程式(6.247)來(lái)確定。我們來(lái)考慮時(shí)間t滿足如下關(guān)系的情況：那么，對(duì)于強(qiáng)過(guò)阻尼粒子的退相干函數(shù)為我們注意到，這個(gè)表達(dá)式與弱阻尼情況的結(jié)果式(6.248)有

因子的不同。然而必須注意在弱阻尼情況下，弛豫率是

,而在強(qiáng)阻尼限下它取如下形式：由此強(qiáng)阻尼退相干的時(shí)間

滿足關(guān)系因此，我們得到了一個(gè)明顯的結(jié)果：對(duì)于弱和強(qiáng)阻尼情況，退相干時(shí)間和弛豫時(shí)間的商相同，并且它與量子光學(xué)限的結(jié)果式(6.168)一致。Ohmic環(huán)境0207退相干和量子測(cè)量指針基的動(dòng)力學(xué)選擇01我們來(lái)研究通過(guò)相互作用哈密頓量

耦合到儀器或儀表M的量子系統(tǒng)S。儀器的自由度由量子力學(xué)描述，由此復(fù)合系統(tǒng)的希爾伯特空間是張量積空間

。在相互作用繪景下相互作用哈密頓量為其中，

,為系統(tǒng)和儀器自由哈密頓量之和。正如6.1節(jié)所述，經(jīng)過(guò)時(shí)間x后，系統(tǒng)和儀器相互作用使復(fù)合體系做如下演化(參見方程式(6.7)和式(6.8)):這正是間接、QND測(cè)量的動(dòng)力學(xué)類型。系統(tǒng)S代表量子客體，而儀器M作為量子探針。初始探針狀態(tài)是

,并且被測(cè)量是或是它的某些函數(shù)

。在方程式(6.255)中，假設(shè)反作用逃逸條件成立，有正像所知道的那樣，這確保了基矢

不受系統(tǒng)和儀器態(tài)相互作用的影響。我們假設(shè)儀器相互正交(至少近似成立),由此，有(只考慮非簡(jiǎn)并情況)將投影假設(shè)應(yīng)用于儀器量然后以概率

獲得讀出結(jié)果bn

并且在這個(gè)測(cè)量事件中系統(tǒng)波函數(shù)隨后由

給出。因此，在間接測(cè)量方案的框架內(nèi)，我們可以說(shuō)，在儀器系統(tǒng)上進(jìn)行的測(cè)量導(dǎo)致了系統(tǒng)量

的一個(gè)測(cè)量，并且按照投影假設(shè)誘導(dǎo)系統(tǒng)態(tài)矢約化。在測(cè)量之后，S的約化密度矩陣取如下形式：它描述了在非選擇情況下的測(cè)量。雖然從式(6.255)中

的分解看出，以上推理是正確的，但是由下面的原因知道，上述解釋并不完全。在系統(tǒng)一儀器相互作用之后，復(fù)合系統(tǒng)以糾纏態(tài)

結(jié)束，此態(tài)描述了系統(tǒng)態(tài)

和儀器態(tài)

之間的完全關(guān)聯(lián)。然而，

仍然是這些關(guān)聯(lián)態(tài)的疊加。這些態(tài)共存于

中，并且沒(méi)有約化假設(shè)應(yīng)用到儀器系統(tǒng)M中，就沒(méi)有一個(gè)先驗(yàn)的理由接受僅態(tài)

之一作為物理實(shí)在。事實(shí)上，并沒(méi)有理由肯定對(duì)可觀測(cè)量的測(cè)量是在M上做出的，我們可以考慮基矢的另外一個(gè)集合：指針基的動(dòng)力學(xué)選擇01其中，我們通過(guò)如下關(guān)系已經(jīng)引入了新的歸一化系統(tǒng)狀態(tài)：我們現(xiàn)在給出儀器可觀測(cè)量導(dǎo)致系統(tǒng)可觀測(cè)量的測(cè)量為或某些函數(shù)

的測(cè)量。問(wèn)題在于，雖然我們沒(méi)有改變系統(tǒng)一儀器的相互作用，并且雖然約化系統(tǒng)的密度矩陣明顯一致，即但上面待測(cè)系統(tǒng)可觀測(cè)量是模糊的。因?yàn)?，一般?lái)說(shuō)

是非對(duì)易的，即所以，問(wèn)題是：我們有一個(gè)測(cè)量?jī)x器，是測(cè)量

?一旦儀器態(tài)基矢

給定，式(6.262)中相應(yīng)的態(tài)

即被定義為相關(guān)態(tài)。一般地，它們不是彼此正交的，但是它們可以歸一化。可以假設(shè)，在方程式(6.262)中

是實(shí)的、非負(fù)的，有指針基的動(dòng)力學(xué)選擇01并且因此，相關(guān)態(tài)

的內(nèi)積為我們注意到，對(duì)于非正交相關(guān)態(tài)，方程式(6.264)仍然定義了自共軛算符，然而那里的

不是它的本征值。再者，方程式(6.265)代表系統(tǒng)的密度矩陣，測(cè)量之后作為純態(tài)混合在兩種選擇的方式中，第二種情況下這些純態(tài)不是正交的。如果所有非零系數(shù)

的疊加中有相同的絕對(duì)值，即如果

是最大糾纏態(tài)，則上述問(wèn)題將變得特別尖銳。在這種情況下，

正比于由相應(yīng)態(tài)

張成的子空間的同一性，有進(jìn)一步假設(shè)，相應(yīng)的基矢

跨越相同的子空間，利用方程式(6.269)立即發(fā)現(xiàn)，對(duì)于儀器基矢的任何選擇(當(dāng)然符合上述限制條件)相關(guān)態(tài)是正交的，即指針基的動(dòng)力學(xué)選擇01通過(guò)變化儀器基矢，我們能夠測(cè)量任何系統(tǒng)的基矢態(tài)。因此，我們得出了一個(gè)令人驚奇的結(jié)論：測(cè)量?jī)x器能夠測(cè)量系統(tǒng)的任何可觀測(cè)量。必須認(rèn)識(shí)到，上面討論的問(wèn)題與正統(tǒng)的量子力學(xué)解釋并不矛盾。因?yàn)樗挥性谌藗兙芙^對(duì)儀器的可觀測(cè)量給出肯定的決定和拒絕應(yīng)用約化假設(shè)的時(shí)候才會(huì)有上面的討論結(jié)果。然而，情況還是有些不能令人滿意，因?yàn)榘凑杖粘＝?jīng)驗(yàn)，如果一個(gè)測(cè)量設(shè)備被設(shè)計(jì)出來(lái)用于測(cè)量某物理量，如動(dòng)量，則它只能測(cè)量動(dòng)量，而不能測(cè)量位置。測(cè)量系統(tǒng)可觀測(cè)量的這種模糊性明顯是由于系統(tǒng)一儀器相互作用不固定在儀器的希爾伯特空間H(或某個(gè)子空間)唯一的基矢

上。這種模糊性，只有對(duì)于某些原因，當(dāng)一個(gè)具體基矢被挑出，即只有一個(gè)具體的物理量(或是它的某個(gè)函數(shù))可能在M上被測(cè)量，才有可能避免。系統(tǒng)可觀測(cè)量

由儀器測(cè)量，然而卻由對(duì)