2021-2022學(xué)年上海市松江區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考試題及答案

2021-2022學(xué)年上海市松江區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考試題及答案一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1.下列圖形中不一定是相似圖形的是（）A.兩個等邊三角形 B.兩個頂角相等的等腰三角形C.兩個等腰直角三角形 D.兩個矩形【答案】D【解析】【分析】利用“兩個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似”逐一分析A，B，C選項，利用“四個角分別對應(yīng)相等，四條邊分別對應(yīng)成比例”判定D，從而可得答案.【詳解】解：兩個等邊三角形滿足：兩個角分別對應(yīng)相等，所以兩個等邊三角形相似；故A不符合題意；兩個頂角相等的等腰三角形，則兩個等腰三角形的底角也相等，滿足兩個角分別對應(yīng)相等，所以兩個頂角相等的等腰三角形相似，故B不符合題意；兩個等腰直角三角形滿足：兩個角分別對應(yīng)相等，所以兩個等腰直角三角形相似，故C不符合題意；兩個矩形滿足：四個角分別對應(yīng)相等，但是不一定滿足四條邊對應(yīng)成比例，所以兩個矩形不一定相似，故D符合題意，故選：D.【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，相似四邊形的判定，掌握三角形相似的判定方法與四邊形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵.2.如圖,已知AB∥CD,AD與CD相交于點O,AO:DO=1:2,則下列式子錯誤的為()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】根據(jù)AB∥CD，易證△AOB∽△DOC，利用對應(yīng)邊成比例即可解答．【詳解】解：∵AB∥CD，

∴△AOB∽△DOC

∴，

故A、D選項正確；

B、∵，

∴

∴，故本選項錯誤．C、∵，

∴，故本選項正確；故選：B．【點睛】本題主要考相似三角形對應(yīng)邊比例，需要熟練運用比例的性質(zhì)．3.如圖，△ABC中，D、E分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長線上，下面比例式中，不一定能判斷ED∥BC的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由每個選項給出的比例式，結(jié)合證明可得從而可判斷逐一分析得到B選項不一定能判斷從而可得答案.【詳解】解：，則故A不符合題意；，雖有但不是兩邊的夾角，不一定相似，；不一定相等，所以不一定能判定故B符合題意；，故C不符合題意；，故D不符合題意；故選：B【點睛】本題考查是相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，掌握“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似”是解題的關(guān)鍵.4.已知線段a、b、c，作線段，使，則正確作法是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)（平行線分線段成比例定理）一一分析即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)平行線的性質(zhì)得a：b=x：c，故此選項錯誤；

B、根據(jù)平行線的性質(zhì)得a：b=c：x，故此選項正確；

C、根據(jù)平行線的性質(zhì)得x：b=a：c，故此選項錯誤；

D、根據(jù)平行線的性質(zhì)得a：b=x：c，故此選項錯誤．

故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，注意找準(zhǔn)線段的對應(yīng)關(guān)系，掌握平行線的性質(zhì)（平行線分線段成比例定理）是解題的關(guān)鍵．5.已知非零向量，，，下列條件中，不能判定的是（）A.； B.；C.，； D.，．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的判定方法判斷即可．【詳解】A.∵，不能判斷，故本選項，符合題意B.∵，∴，故本選項，不符合題意；C.∵，，∴，故本選項，不符合題意；D.∵，，∴，故本選項，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的判定方法是解題的關(guān)鍵．6.如圖，△ABC中，D、E兩點分別在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE與AD相交于點F．則圖中相似三角形的對數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理∠ABE＝∠C，∠BAE=∠CAB，可得△ABE∽△ACB；由AD平分∠BAC，可得∠BAF=∠CAD，結(jié)合∠ABF＝∠C，可得△ABF∽△ACD；根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得∠AFB=∠ADC，等角的補角性質(zhì)可得∠BFD=∠BDF=∠AFE，進(jìn)而可證△ABD∽△AEF即可．【詳解】解：∵∠ABE＝∠C，∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB；∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAD，∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ACD；∴∠AFB=∠ADC，∴∠BFD=∠BDF=∠AFE，∵∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，則圖中相似三角形的對數(shù)是3對．故選擇C．【點睛】本題考查三角形相似判定與性質(zhì)，角平分線，等角的補角性質(zhì)，掌握三角形相似判定與性質(zhì)，角平分線，等角的補角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7.在比例尺為1﹕50000的地圖上量出A、B兩地的距離是12cm，那么A、B兩地的實際距離是___千米．【答案】6【解析】【分析】設(shè)A、B兩地間的實際距離是xcm，根據(jù)比例尺的定義列式計算即可得解，然后再進(jìn)行單位換算化為千米即可．【詳解】設(shè)A、B兩地間的實際距離是xcm，根據(jù)題意得：12：x=1：50000解得：x=600000，∵1km=1000m=1000×100cm=100000cm∴600000cm÷100000=6km．故答案為6．【點睛】本題考查了比例線段，主要利用了比例尺的定義，計算時要注意單位之間的換算．8.若線段b是線段a和c的比例中項，且a=1cm，c=9cm，則b=_______cm．【答案】3【解析】【詳解】根據(jù)題意可得b2=ac，代入數(shù)值，解答出即可，注意線段為正值．解：由題意得，b2=ac，

∵a=1cm，c=9cm，

∴b2=1×9=9，b=3，b=-3（負(fù)值舍去）；

故答案為3cm．9.已知點P是線段AB上的一個黃金分割點，且AB=10cm，AP>BP，那么AP=____________cm【答案】【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【詳解】∵點P是線段AB上的一個黃金分割點，且AB=10cm，AP＞BP，

∴AP=×10=（）cm．

故答案為：（）cm．【點睛】此題考查黃金分割概念，熟記黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．10.在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，AB＝12cm，AE＝11cm，CE＝4cm，那么DB＝___cm．【答案】##3.2【解析】【分析】根據(jù)DE∥BC截線段成比例，可得，由AD=AB-BD=12-BD，，解方程即可．【詳解】解：∵DE∥BC，∴，∵AD=AB-BD=12-BD，AE＝11cm，CE＝4cm，∴，解得BD=cm．故答案為．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，靈活掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．11.某同學(xué)的身高為1.6米，某一時刻他在陽光下的影長為1.2米，與他相鄰的一棵樹的影長為3.6米，則這棵樹的高度為______米.【答案】4.8【解析】【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個問題物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．【詳解】解：設(shè)高度為h，

因為太陽光可以看作是互相平行的，

由相似三角形：，得：h＝4.8米，故答案為：4.8.【點睛】本題考查相似形的知識，解題的關(guān)鍵在于將題目中的文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言再進(jìn)行解答．12.已知點G是△ABC的重心，AG＝4，那么點G與邊BC中點之間的距離是___．【答案】2【解析】【分析】三角形重心是三角形三條中線的交點，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，D是BC邊的中點；

∵G是△ABC的重心，

∴AG=2GD=4，即GD=2；

故答案為：2．【點睛】本題主要考查的是三角形重心的性質(zhì)：三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．13.如圖，l1∥l2∥l3，AB=AC，DF=10，那么DE=_________________.【答案】4【解析】【詳解】試題解析：：∵l1∥l2∥l3，

∴．

∵AB=AC，

∴，

∴．

∵DF=10，

∴，

∴DE=4．14.已知△ABC與ΔA'B'C'相似，并且點A與點A'、點B與點B'、點C與點C'是對應(yīng)頂點，其中∠A＝80°，∠B'＝60°，則∠C＝___度．【答案】40【解析】【分析】根據(jù)點A與點A'、點B與點B'、點C與點C'是對應(yīng)頂點，可得△ABC∽ΔA'B'C'，可求∠B=∠B′=60°，利用三角形內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：∵△ABC∽ΔA'B'C'，∴∠B=∠B′=60°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠B-=180°-80°-60°=40°，故答案為40．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，掌握相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．15.兩個相似三角形的對應(yīng)中線的比為，那么它們的周長比是______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)相似三角形的對應(yīng)中線的比為3：4得出其相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵兩個相似三角形的對應(yīng)中線的比為3：4，

∴其相似比等于3：4，

∴它們的周長比是3：4．

故答案為3：4．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵．16.已知向量與單位向量方向相反，且，那么=______（用向量的式子表示）【答案】-3．【解析】【詳解】試題分析：由向量與單位向量方向相反，且||＝3，根據(jù)單位向量與相反向量的知識，即可求得答案．∵向量與單位向量方向相反，且||＝3，∴=-3．故答案為-3．考點：平面向量．17.如圖，△ABC中，BC＝12，點D、E分別在邊AB、AC上，DE//BC，且S△ADE＝S四邊形DBCE，則DE＝______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求出答案．【詳解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△AEC，∴=()2，∵S四邊形DBCE＝SΔABC-SΔADE=S△ADE，∴S△ABC＝2S△ADE，∴=()2=，∴，∵BC=12，∴，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．18.已知：△ABC∽△DEF，且∠A＝∠D，AB＝8，AC＝6，DE＝2，那么DF＝___．【答案】##1.5【解析】【分析】由△ABC∽△DEF，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得，將數(shù)據(jù)代入即可求解．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，∴，∵AB＝8，AC＝6，DE＝2，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共7題，19題～22題每題10分，23題～24題每題12分，25題14分，滿分78分）19.已知≠0，求的值．【答案】【解析】【詳解】由等比性質(zhì)設(shè)===k，把a,b,c用含有K的代數(shù)式表示，待入所求的式子即可得解．設(shè)===k，得則．20.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥MN∥BC．MN分別交邊AB、DC于點M、N．如果AM:MB=2:3，AD=2，BC=7．求MN的長．【答案】4【解析】【詳解】過點A作AF∥DC交MN于點E，交BC于點F，可以得出四邊形AEND是平行四邊形，四邊形AFCD是平行四邊形，得出EN、FC的值，求出BF的值，再利用三角形相似就可以求出ME的值，從而求出MN．解：過點A作AF∥DC交MN于點E，交BC于點F，∵AD∥BC，AF∥DC，

∴四邊形AEND是平行四邊形，四邊形AFCD是平行四邊形，

∴AD=EN=2．AD=FC=2．

∵BC=7，

∴BF=5．

∵M(jìn)E∥BF，

∴△AME∽△ABF

∴．

∵AM：MB=2：3，

∴AM：AB=2：5，

∴，

∴ME=2

∴MN=4．“點睛”本題考查了梯形中輔助線的作法和運用，平行四邊形的判定即將性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用．解答中正確的作出輔助線是解答的關(guān)鍵．21.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為邊BC上一點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點M，交BD于點G，過點G作GF∥BC交DC于點F．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】由GF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，又由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=CD，AB∥CD，繼而可證得，則可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵GF∥BC，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴，∴．點評：此題考查了平行分線段成比例定理以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22.如圖，AD和BC相交于點E，AC∥BD，點F在CD上，AC＝4，BD＝6，，（1）求EF的長；（2）已知S△CBD＝25，求△CEF的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）過E作EG⊥CD于G，由AC∥BD，可證△ACE∽△DBE，可得，由，可得，可證△CEF∽△CBD，可得EF∥BD，EF∥AC，可證△DEF∽△DAC，可得即可；（2）由△CEF∽△CBD，可得即可．【詳解】解：（1）過E作EG⊥CD于G，∵AC∥BD，∴∠A=∠EDB，∠ACE=∠B，∴△ACE∽△DBE，∴，∵，∴，∴，∴，∵∠ECF=∠BCD，∴△CEF∽△CBD，∴∠CEF=∠B，，∴EF∥BD，∵AC∥BD，∴EF∥AC，∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DCA，∴△DEF∽△DAC，∴，∴，∴，解得；（2）∵△CEF∽△CBD，∴，∴，∴．【點睛】本題考查三角形相似判定與性質(zhì)，利用面積比得對應(yīng)線段比證明線段平行，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23.如圖，D、E是△ABC邊AB上的點，F(xiàn)、G分別是邊AC、BC上的點，且滿足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．（1）求證：FG∥AB；（2）設(shè)＝，＝，請用向量，表示．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【解析】【分析】（1）由AD＝DE＝EB，可得AE=2BE，BD=2AD，由DF∥BC，，由GE∥AC，可得，可得，∠FCG=∠ACB，可證△FCG∽△ACB即可；（2）由△FCG∽△ACB，可得，由＝，＝可得，由向量的模之間關(guān)系可得,GF∥BA；利用平行向量關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵AD＝DE＝EB，∴AE=AD+ED=2AD=2BE，BD=DE+EB=2BE=2AD，∵DF∥BC，∴，∵GE∥AC，，∴，∴，∴，∠FCG=∠ACB，∴△FCG∽△ACB，∴∠FGC=∠B，∴FG∥AB；（2）解：∵△FCG∽△ACB，∴，∴∵＝，＝，∴∵,GF∥BA；∴．【點睛】本題考查平行線截線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，向量的模，平行向量，和與差向量，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24.如圖，在中，，于，是的中點，的延長線與的延長線交于點.（1）求證：；（2）若，求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE＝EC，推出∠EDC＝∠ECD，求出∠FDC＝∠B，根據(jù)∠F＝∠F，證△FBD∽△FDC即可；

（2）根據(jù)已知和三角形面積公式得出，，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方得出，即可求出．【詳解】（1）證明：，，是的中點，，，，，，，，，，，.（2），，，，，.【點睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)和判定，注意：相似數(shù)據(jù)線的面積比等于相似比的平方，題目比較好，有一定的難度．25.如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝8，把線段AB沿射線BC方向平移（點B始終在射線BC上）至PQ位置，直線PQ與直線AC交于點D，又連結(jié)BQ與直線AC交于點E．（1）當(dāng)BP＝3時，求證：△PBD∽△PQB；（2）當(dāng)點P位于線段BC上時（不含端點B，C），設(shè)BP＝x，DE＝y(tǒng)，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫