2022-2023學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，恰有－項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)的序號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.已知的半徑為，點(diǎn)P到圓心O的距離為，則點(diǎn)P在（）A.外 B.內(nèi) C.上 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵的半徑為=，點(diǎn)P到圓心O的距離為d=，d=r，∴點(diǎn)P在上．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：當(dāng)點(diǎn)到圓心距離大于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)點(diǎn)到圓心距離等于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)到圓心距離小于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．2.下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐項(xiàng)解方程或求出根的判別式，根據(jù)判別式的符號即可得到結(jié)論．【詳解】解：A．∵，∴，∴，∴方程解，故本選項(xiàng)不合題意；B．∵，∴，∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；C．，∵，∴此方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不合題意；D．，∵，∴此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系．3.20名同學(xué)參加某比賽的成績統(tǒng)計(jì)如下表，則成績的眾數(shù)和中位數(shù)（單位：分）分別為（）成績/分80859095人數(shù)/人2864A.85，85 B.85， C.85，90 D.90，90【答案】B【解析】【分析】利用眾數(shù)的定義和中位數(shù)的定義分別求出解答即可．【詳解】解：在這一組數(shù)據(jù)中85是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是85；在這20個數(shù)中，處于中間位置的第10個和第11個數(shù)據(jù)，∴中位數(shù)是這兩個數(shù)的平均數(shù)：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值；中位數(shù)的定義：按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)．4.已知關(guān)于x的一元二次方程有一根為0，則m的值是（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或【答案】A【解析】【分析】將帶入，得到一個關(guān)于m的方程，求出m的值，再根據(jù)一元二次方程的定義，排除不符合題意的m的值。【詳解】解：將帶入得：，解得：或；∵原方程為一元二次方程，∴，即，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，并靈活運(yùn)用．5.如圖，正方形、等邊三角形內(nèi)接于同一個圓，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，，已知圖形是以正方形的對角線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，求得，則所對的圓心角為，所以的度數(shù)為．【詳解】解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，∴，，∵已知圖形是以正方形的對角線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，∴，∵是所對的圓周角，∴所對的圓心角等于，∴的度數(shù)為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正方形及等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出所對的圓心角的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．6.如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)，連接，得四邊形是正方形，由切線長定理可知，根據(jù)是的切線，可得，，根據(jù)勾股定理可得，再求出內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而可得的周長．【詳解】解：如圖，設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)、、，連接、、，∴四邊形是正方形，由切線長定理可知，∵是的切線，∴，∵，，，∴∵是的內(nèi)切圓，∴內(nèi)切圓的半徑，∴，∴，∴的周長．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）7.方程解為_____．【答案】【解析】【分析】利用直接開平方法解答即可．【詳解】解：方程的解為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題目，掌握解答的方法是關(guān)鍵．8.已知的半徑為，圓心O到直線l的距離為，則直線l與的位置關(guān)系是______．【答案】相離【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：∵圓心到直線的距離大于半徑，∴直線l與相離，故答案為：相離．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法是解題的關(guān)鍵．9.某校圖書館9月份借閱圖書500冊，11月份借閱圖書845冊，設(shè)這兩個月借閱圖書的月平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，找出等量關(guān)系即可列出方程．9月份借閱冊數(shù)×（1+增長率）=11月份借閱冊數(shù)．【詳解】解：設(shè)這兩個月借閱圖書的月平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出等量關(guān)系，熟練掌握增長率模型的公式．10.設(shè)是一元二次方程的兩個根，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出的值，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，若是一元二次方程的兩根時(shí)，．11.正六邊形內(nèi)接于的半徑為1，則由半徑和圍成的扇形的面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵正六邊形內(nèi)接于，∴，∴由半徑徑和圍成的扇形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．12.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是a，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是b，則a______b（填寫“”、“”或“”）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的平均數(shù)是a，可得，再根據(jù)的平均數(shù)是b，可得進(jìn)而即可得到解答．【詳解】解：∵的平均數(shù)是a，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)的的定義（是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)），靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．13.將半徑為面積為的扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），該圓錐的底面半徑為______．【答案】1【解析】【分析】設(shè)圓錐體的底面圓的半徑為，根據(jù)扇形面積公式：列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐體的底面圓的半徑為，，解得：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積公式和弧長公式，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長等于圍城圓錐體的地面周長，扇形面積公式：．14.如圖，圓的內(nèi)接五邊形滿足，，，則______．【答案】##度【解析】【分析】連接，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：連接，∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練畫出輔助線，構(gòu)造圓的內(nèi)接四邊形，掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)．15.已知m是方程的一個根，則______．【答案】3【解析】【分析】由題意知，m是方程的一個根，則可把代入原方程，即可求解．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴把代入原方程得：，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本意主要考查了對一元二次方程的根的理解，知道了方程得一個根，就可把根代入原方程求解．再計(jì)算過程中注意，得到一個關(guān)于m得方程后，把當(dāng)作一個整體，直接移項(xiàng)可求解，不需要算出m得值．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑是1．過上一點(diǎn)P作等邊三角形，使點(diǎn)D，E分別落在x軸、y軸上，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】找到最大值與與最小值位置，分別進(jìn)行解題求出取值范圍的臨界值即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，連接，設(shè)，∵為等邊三角形，，∴，M為中點(diǎn)，∴，根據(jù)勾股定理可得，∵，∴，解得：；如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，連接，設(shè)，同理可得，，∵，解得：；綜上，，∴的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的概念，等邊三角形的性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系，和勾股定理，找準(zhǔn)臨界位置是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解下列方程．（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）先移項(xiàng)，再用因式分解法求解即可；（2）用公式法求解即可．【小問1詳解】解：，，或，，．【小問2詳解】解：，，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．解一元二次方程的方法有：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法．18.如圖，四邊形內(nèi)接于一圓，是邊的延長線．（1）求證；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【小問1詳解】證明：四邊形內(nèi)接于圓，，，；【小問2詳解】解：，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．19.一部電影的評分越高，說明這部電影越受歡迎，電影的評分是由這部電影的“星級”評價(jià)（5星、4星、3星、2星、1星）計(jì)算得來．已知電影A，B的星級評價(jià)統(tǒng)計(jì)如下：約定5星為10分，4星為8分，3星為6分，2星為4分，1星為2分．通過計(jì)算電影的評分，比較電影A，B哪部更受歡迎．【答案】電影A哪部更受歡迎【解析】【分析】算出電影A，B各自的評分即可得到解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得，A：，B：，∵，∴電影A哪部更受歡迎．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，準(zhǔn)確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．20.如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時(shí)刻測得水面寬度為6米，拱高（弧的中點(diǎn)到水面的距離）為1米．（1）求主橋拱所在圓的半徑；（2）若水面下降1米，求此時(shí)水面的寬度．【答案】（1）主橋拱所在圓的半徑（2）此時(shí)水面的寬度【解析】【分析】（1）以O(shè)為圓心，連接，根據(jù)三線合一定理可得，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理即可求出半徑；（2）由題意得，水面下降為，連接，根據(jù)水面下降1米，可得，再根據(jù)勾股定理即可求得答案．【小問1詳解】如圖，以O(shè)為圓心，連接，由題意可得，D為弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，，∴，解得：，∴主橋拱所在圓的半徑；【小問2詳解】由題意得，水面下降為，連接，∵水面下降1米，∴，則，∴，即水面的寬度為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．21.如圖，已知，M是射線上一點(diǎn)，．以點(diǎn)M為圓心、r為半徑畫．（1）當(dāng)與射線相切時(shí)，求r的值；（2）寫出與射線的公共點(diǎn)的個數(shù)及對應(yīng)的r的取值范圍．【答案】（1）r的值為1（2）見解析【解析】【分析】（1）作于N，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)直線與圓的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，與射線相切；（2）根據(jù)直線與圓的關(guān)系進(jìn)行分類討論即可．【小問1詳解】作于N，如圖所示：∵，∴，∴當(dāng)與射線相切時(shí)，r的值為1；【小問2詳解】由（1）可知，根據(jù)直線與圓的關(guān)系得到：當(dāng)時(shí)，與射線相切，只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與射線相離，沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與射線相交，有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與射線只有一個公共點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．22.如圖，是的直徑，射線交于點(diǎn)C．（1）尺規(guī)作圖：求作的中點(diǎn)D．（保留作圖痕跡）（2）過點(diǎn)D畫垂足為E．求證：是的切線．【答案】（1）圖見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）連接連接交于F，先利用垂徑定理的推論得到，再根據(jù)圓周角定理得到，則，接著證明，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得到結(jié)論．【小問1詳解】如圖，點(diǎn)D為所作，【小問2詳解】證明：連接交于F，如圖，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖、垂徑定理、圓周角定理和切線的判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．23.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每天可賣出300件．經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)調(diào)整售價(jià)：①每漲價(jià)1元，每天要少賣出10件；②每降價(jià)1元，每天可多賣出20件．如果只能調(diào)整一次售價(jià)，如何調(diào)整使每天的利潤為6250元？【答案】漲價(jià)5元【解析】【分析】根據(jù)“總利潤單件利潤銷售量”列出方程，解方程解題．【詳解】解：①設(shè)漲價(jià)x元，使每天的利潤為6250元，，解得，②設(shè)降y元，使每天的利潤為6250元，，整理的，，方程無解，答：漲價(jià)5元，每天的利潤為6250元．【點(diǎn)睛】本題考查列一元二次方程解應(yīng)用題，找等量列方程找到符合實(shí)際的解是解題的關(guān)鍵．24.解新類型的方程（組）時(shí)，可以通過去分母、換元等方法轉(zhuǎn)化求解．（1）請按要求填寫下表．原方程①轉(zhuǎn)化設(shè)，則②求解③檢驗(yàn)，2都是原方程的解…④結(jié)論（2）解方程組：【答案】（1）；2或；（2），【解析】【分析】（1）利用換元法解方程即可；（2）利用完全平方公式將第一個方程變形為，則，分別與第二個方程結(jié)合，再利用根與系數(shù)得關(guān)系解方程即可．【小問1詳解】，設(shè)，則方程變形為，∴，解得或，∴或（無解），解得，故答案：；2或；；【小問2詳解】，由第一個方程得，，∴，①當(dāng)時(shí)，∵，∴x、y是一元二次方程得兩個根，解得或，∴；②當(dāng)時(shí)，∵，∴x、y是一元二次方程得兩個根，解得或，∴，綜上所述，這個方程組得解，．【點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化思想在高次方程、分式方程和二元二次方程組的應(yīng)用，明確如何轉(zhuǎn)化及一元二次方程的基本解法是解決本題的關(guān)鍵．25.已知關(guān)于x的方程．（1）證明：無論k取何值，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根分別為，且，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）化成一般式，求根的判別式，當(dāng)時(shí)，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根和，再把化為，再根據(jù)求根公式求出，并判斷出即可．【小問1詳解】證明：，即，∴，∵無論k取何值時(shí)，總有，∴，∴無論k取何值，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】由（1）得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系．26.構(gòu)造合適的圖形，可以用線段的長表示一元二次方程的正根．（1）如圖，的兩直角邊分別為和n，在斜邊上截取，請說明的長為關(guān)于x的方程的一個根．（2）已知關(guān)于x的方程，請構(gòu)造合適的圖形表示該方程的正根．（要求有必要的文字說明，并在圖中作必要標(biāo)注）【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，帶入數(shù)據(jù)即可進(jìn)行解答．（2）構(gòu)造圖形，用和（1）相同的方法即可進(jìn)行解答．【小問1詳解】解：在方程中，，∵，∴，∴，∴方程的正根為：．在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，整理得：，∵，∴，，解得：．∴是的一個正根．【小問2詳解】在方程中，，∵，∴，∴∴原方程的正根為：．如圖：的斜邊為，直角邊，在直角邊的延長線上截取，中，根據(jù)勾股定理可得：，∵即：，整理得：，∵，∴，，解得：∴是的一個正根．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解圖形，根據(jù)勾股定理建立方程進(jìn)行解答．27.以下是“四點(diǎn)共圓”的幾個結(jié)論，你能證明并運(yùn)用它們嗎？I．若兩個直角三角形有公共斜邊，則這兩個三角形的4個頂點(diǎn)共圓（圖①、②）；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個四邊形的4個頂點(diǎn)共圓（圖③）；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連線的夾角相等，則這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)共圓（圖④）．（1）在圖①、②中，取的中點(diǎn)O，根據(jù)得，即A，B，C，D共圓；（2）在圖③中，畫⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，B，D（圖⑤）．假設(shè)點(diǎn)C落在外，交于點(diǎn)E，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點(diǎn)C也不會落在內(nèi)，即A，B，C，D共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．（3）利用四點(diǎn)共圓證明銳角三角形的三條高交于一點(diǎn)．已知：如圖⑥，銳角三角形的高，相交于點(diǎn)H，射線交于點(diǎn)F．求證：是的高．（補(bǔ)