3.7.1 線性方程組解的判定

第3章

矩

陣主要內(nèi)容矩陣的概念矩陣的運(yùn)算逆矩陣分塊矩陣矩陣的初等變換與初等矩陣矩陣的秩線性方程組的解§3.7線性方程組的解本節(jié)主要內(nèi)容方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系線性方程組的解的判定線性方程組的解法一、方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系

在解線性方程組的過(guò)程中

我們可以把一個(gè)方程變?yōu)榱硪粋€(gè)同解的方程

這種變換過(guò)程稱為同解變換

同解變換有

交換兩個(gè)方程的位置

把某個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù)

某個(gè)方程的非零倍加到另一個(gè)方程上

引例系數(shù)矩陣增廣矩陣

①

②①

②顯然

交換B的第1行與第2行即得B1

增廣矩陣的比較

例如

③

2③

2顯然

把B的第3行乘以(1/2)即得B2

例如增廣矩陣的比較

①

2②①

2②顯然

把B的第2行乘以(

2)加到第1行即得B3

例如增廣矩陣的比較

線性方程組與其增廣矩陣相互對(duì)應(yīng)

對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)方程組的增廣矩陣的變換

方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系

因此消元法解線性方程組時(shí)可以直接將其增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形，然后再還原成同解方程組求解

線性方程組的表達(dá)形式1.一般形式2.向量方程的形式定義：線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無(wú)解，就稱它是不相容的．二、線性方程組的解的判定設(shè)有n

個(gè)未知數(shù)m

個(gè)方程的線性方程組

m、n

不一定相等！問(wèn)題1：方程組是否有解？問(wèn)題2：若方程組有解，則解是否唯一？二、線性方程組的解的判定問(wèn)題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？問(wèn)題4：系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩與解有什么樣的關(guān)系？定理1n

元非齊次線性方程組Ax=b無(wú)解R(A)<R(A,b)；有唯一解

R(A)=R(A,b)=n；有無(wú)限多解

R(A)=R(A,b)<n．分析：只需證明條件的充分性，即R(A)<R(A,b)無(wú)解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)<n無(wú)限多解．那么無(wú)解R(A)<R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n

；無(wú)限多解R(A)=R(A,b)<n．證明：設(shè)

R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)B=(A,b)的行最簡(jiǎn)形矩陣為第一步：欲證R(A)<R(A,b)無(wú)解．若R(A)<R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，則dr+1=1．于是第r+1行對(duì)應(yīng)矛盾方程0=1，故原線性方程組無(wú)解．R(A)

≤

R(A,b)

≤

R(A)＋1前r

列后n-r

列前n

列前r

列第二步：欲證R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原線性方程組有唯一解．后n-r

列則dr+1=0且r=n，對(duì)應(yīng)的線性方程組為

從而bij

都不出現(xiàn).第三步：欲證R(A)=R(A,b)<n無(wú)限多解．若R(A)=R(A,b)<n，對(duì)應(yīng)的線性方程組為前r

列

則dr+1=0.后n-r

列

即r<n，令xr+1,…,xn

為自由變量,則再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組的通解定理3n

元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n．定理2線性方程組Ax=b

有解的充分必要條件是

R(A