2024屆一輪復習人教A版 第二章函數(shù)導數(shù)及其應用第九講函數(shù)模型及其應用 課件（40張）

第九講函數(shù)模型及其應用課標要求考情分析1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.1.本講考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解決問題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題.課標要求考情分析2.結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術語的現(xiàn)實含義.3.收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領域中的數(shù)學模型，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義2.題型以選擇、填空題為主，中等難度(續(xù)表)常見函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型y＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)1.常見的函數(shù)模型常見函數(shù)模型函數(shù)解析式指數(shù)型函數(shù)模型y＝b·ax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)

對數(shù)型函數(shù)模型y＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，x＞0，a＞0，且a≠1，b≠0)冪型函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)對勾函數(shù)模型(續(xù)表)函數(shù)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)

上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)比較3.解函數(shù)應用問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型.(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型.(3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論.(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題.

考點一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

1.如圖2-9-1，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12).不考慮樹的粗細，現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD，設此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是()圖2-9-1ABCD

解析：依題意，設AD的長為xm，則CD的長為(16－x)m，則矩形ABCD的面積為x(16－x)m2.因為要將點P圍在矩形ABCD內(nèi)，所以a≤x≤12.當0＜a≤8時，當且僅當x＝8時，u＝64；當8＜a＜12時，u＝a(16－a).作出函數(shù)圖象可得其形狀與B選項接近.故選B.答案：B

2.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，圖2-9-2描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()圖2-9-2A.消耗1L汽油，乙車最多可行駛5kmB.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C.甲車以80km/h的速度行駛1h，消耗10L汽油D.某城市機動車最高限速80km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

解析：根據(jù)圖象知消耗1L汽油，乙車最多行駛里程大于5km，A錯誤；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，B錯誤；甲車以80km/h的速度行駛時燃油效率為10km/L，行駛1h，里程為80km，消耗8L汽油，C錯誤；最高限速80km/h，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，D正確.答案：D

3.有一個盛水的容器，由懸在它上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時間t與水面高度y之間的關系如圖2-9-3所示.若圖中PQ為一線段，則與之對應的容器的形狀是()圖2-9-3ABCD

解析：由函數(shù)圖象可判斷出該容器必定有不同規(guī)則的形狀，且函數(shù)圖象的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細.又因為PQ為線段，則這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，所以只有B選項的容器的形狀符合題意.故選B.答案：B【題后反思】判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇圖象.

(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際情況的答案，選擇出符合實際情況的答案.考點二構(gòu)建函數(shù)模型求解實際問題

考向1構(gòu)建二次函數(shù)、分段函數(shù)模型

[例1]國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止.每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元. (1)寫出每張飛機票的價格關于人數(shù)的函數(shù)；

(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？(2)設旅行社獲利S元，

因為S＝900x－15000在區(qū)間(0，30]上單調(diào)遞增，故當x＝30時，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30，75]，所以當x＝60時，S取得最大值21000.

故當每團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤.

考向2構(gòu)建指數(shù)(對數(shù))型函數(shù)模型(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到2023年為止，該森林已砍伐了多少年？

[例3]某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y(單位：萬元)與營運年數(shù)x的關系如圖2-9-4所示(拋物線的一段)，則為使其營運年平均利潤最大，每輛客車營運年數(shù)為________.圖2-9-4解析：根據(jù)題圖，求得y＝－(x－6)2＋11(x>0)，∴要使年平均利潤最大，每輛客車營運年數(shù)為5.答案：5【題后反思】

(1)實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構(gòu)成，如出租車計價與路程之間的關系，應構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.但應關注以下兩點：①分段要簡潔合理，不重不漏；②分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值中的最大(最小)值.

(2)指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型的解題關鍵是對模型的判斷，先設定模型，將有關數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，求解時要準確進行指數(shù)、對數(shù)運算，靈活進行指數(shù)與對數(shù)的互化.

【考法全練】

1.(考向2)基本再生數(shù)

R0與世代間隔T是某流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)R0

指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔T指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在流行病發(fā)生的初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在流行病發(fā)生的初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案：B

2.(考向3)某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖2-9-5).考慮防洪堤堅固性及石塊用料等米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米.要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x＝________米.

圖2-9-5

3.(考向1)小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本W(wǎng)(x)萬元.在年產(chǎn)量不足8萬件38.每件產(chǎn)品售價為5元，通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當年全部售完.(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

解：(1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，

綜上所述，當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元.

⊙已知函數(shù)模型求解實際問題

[例4]為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層.體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建造成本與20年的能源消耗費用之和.(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最?。坎⑶笞钚≈?解：(1)當x＝0時，C(0)＝8，∴k＝40，

此時x＝5，因此f(x)的最小值為70. ∴隔熱層修建5cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元.【反思感悟】已知函數(shù)模型解決實際問題的關注點(1)分析所給函數(shù)模型，分清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實際問題.【高分訓練】

1.擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元.解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，