ch03連續(xù)信號頻域分析

第3章連續(xù)信號頻域分析信號與系統(tǒng)（第4版）工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材01引

言PARTONE引言根據(jù)疊加原理，LTI系統(tǒng)對任意一個由這些基本信號的線性組合組成的輸入信號的響應，就是系統(tǒng)對這些基本信號單獨作用所產(chǎn)生的響應的線性組合。在第2章，這些基本響應是單位沖激響應的時移，從而導出了卷積積分。在本章，我們將會發(fā)現(xiàn)，LTI對復指數(shù)信號的響應具有特別簡單的形式，這就提供了一種非常方便的LTI系統(tǒng)的表示和分析方法，并且據(jù)此可以深入洞察LTI的性質(zhì)。本章將集中研究連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)和連續(xù)時間非周期有限能量信號的傅里葉變換。這些表示為分析、設計和理解LTI系統(tǒng)提供了重要的和強有力的工具。同時，本章及第4章還將討論傅里葉分析的應用。02LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應PARTTWOLTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應如上所述，在研究LTI系統(tǒng)時，把信號表示成基本信號的線性組合是非常有益的，為了便于系統(tǒng)分析，所選擇的基本信號應該具有以下兩個特性：①基本信號可以構(gòu)成廣泛、有用的信號；②線性時不變系統(tǒng)對基本信號的響應應該十分簡單，以便求解系統(tǒng)對任意輸入信號的響應。傅里葉分析的重要性大多來源于復指數(shù)信號集的這兩個特性。復指數(shù)信號在分析LTI時之所以重要，是由于一個LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應是同樣的復指數(shù)信號，系統(tǒng)對復指數(shù)的影響只是在幅度上有變化，即對連續(xù)時間時不變系統(tǒng)有：其中，H(η)是復振幅因子，通常它是復變量η的函數(shù)。通常稱函數(shù)

是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，其特征值為H(η，因為)ψ滿足由下式描述的特征值問題(回想一下矩陣的特征值問題)：LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應由此可以得出：如果一個LTI系統(tǒng)的輸入能夠表示為復指數(shù)信號的線性組合，則系統(tǒng)的輸出也能表示成相同復指數(shù)信號的線性組合，且在輸出表達式中，每一項的系數(shù)是輸入信號中相應的復指數(shù)信號的系數(shù)和該復指數(shù)信號對應的特征值的乘積。一般來說，上述復指數(shù)信號中的η可以是任意復數(shù)，但在傅里葉分析中僅限于η的某些特殊形式，在連續(xù)時間信號和系統(tǒng)情況下，取η=jω因此在連續(xù)時間LTI系統(tǒng)分析中，僅考慮復指數(shù)信號。03信號的完備正交函數(shù)集表示PARTTHREE正交矢量在平面空間中，兩個矢量正交是指兩個矢量相互垂直。如圖3-1(a)所示，A1和A2是正交的，它們之間的夾角為90°。顯然，平面空間兩個矢量正交的條件是A1*A2=0 (3-9)這樣，可將一個平面中任意矢量A，在笛卡兒坐標系中分解為兩個正交矢量的組合A=C1A1+C2A2(3-10)同理，對一個三維空間中的矢量A必須用三維的正交矢量集{A1，A2，A3}來表示，如圖3-1(b)所示，有A=C1A1+C2A2+C3A3（3-11）其中，A1，A2，A3相互正交。在三維空間中{A1，A2，A3}是一個完備的正交矢量集，而二維正交矢量集則在此情況下是不完備的。正交矢量以此類推，在n維空間中，只有n個正交矢量A1，A2，A3…….An構(gòu)成的正交矢量集{A1，A2，A3…….An}才是完備的。也就是說，在n維空間中的任一矢量A，必須用口維正交矢量集{A1，A2，A3…….An}來表示，即雖然n維矢量空間在客觀世界中并不存在，但是這種概念有許多應用。例如，n個獨立變量的線性方程，可看成n維坐標系中n個分量組成的矢量。正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交矢量分解的概念，可推廣應用于信號分析。信號常以時間函數(shù)來表示，故信號的分解，也就是時間函數(shù)的分解。仿照矢量正交的概念，也可定義函數(shù)的正交。完備正交函數(shù)集常見的完備正交函數(shù)集常見的完備正交函數(shù)集04連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示PARTFOUR三角函數(shù)表示式三角函數(shù)表示式指數(shù)形式指數(shù)形式指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的收斂傅里葉級數(shù)的收斂問題是指周期信號在滿足什么條件時，可以表示成傅里葉級數(shù)。關(guān)于傅里葉級數(shù)收斂的詳細討論超出了本書范圍，下面只給出一些結(jié)果。一個周期信號f(t)用成諧波關(guān)系的有限項復指數(shù)信號的線性組合來近似，即用下列有限項級數(shù)來近似f(t)：傅里葉級數(shù)的收斂上式說明，在一個周期上具有有限能量的周期信號，保證了其傅里葉級數(shù)均方收斂。這個結(jié)果非常有用，工程實際中的信號大都滿足在一個周期具有有限能量的條件，因而它們均可表示為傅里葉級數(shù)。應該注意的是，均方誤差為零，并不意味著f(t)和項逐點相等，即對任意的t均有f（t）=

成立。均方誤差為零只說明f(t)和

的誤差能量為零。關(guān)于

逐點收斂于f(t)有下面的結(jié)果。如果信號滿足狄里赫利條件：①f(t)有界（或等價地，f(t)在一個周期內(nèi)絕對可積）；②f(t)在一個周期內(nèi)有有限個最大最小點；③f(t)在一個周期內(nèi)有有限個間斷點。周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系傅里葉級數(shù)的性質(zhì)其圖形如圖l-9(a)所示，即用一粗箭頭表示，箭頭旁邊標以(1)，表示δ(t)圖形下的面積為1，稱為沖激函數(shù)的強度，簡稱沖激強度。05周期信號的頻譜PARTFIVE周期信號頻譜的概念一個周期信號f(t)，只要滿足狄里赫利條件，則可分解為一系列諧波分量之和，其各次諧波分量可以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以是指數(shù)函數(shù)。不同的周期信號，其展開式組成情況也不盡相同。在實際工作中，為了表征不同信號的諧波組成情況，常畫出周期信號各次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜，它是信號頻域表示的一種方式。描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻譜，描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻譜。根據(jù)周期信號表示成傅里葉級數(shù)的不同形式，又分為單邊頻譜和雙邊頻譜。周期信號頻譜的概念3.周期信號頻譜的特點圖3-7反映了周期矩形信號發(fā)f(t)頻譜的一些性質(zhì)，實際上這些性質(zhì)也是所有周期信號頻譜的普遍性質(zhì)。(1)離散性:指頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線 組成，這種頻譜稱為離散頻譜或線譜。 (2)諧波性：指各次諧波分量的頻率都是基波頻 率Ω=2∏/T的整數(shù)倍，而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的，即譜線在頻率軸上的位置是Ω的整數(shù)倍。(3)收斂性:若譜線幅度隨n—∞而衰減到零，則這種頻譜具有收斂性或衰減性。周期信號的有效頻譜寬度在周期信號的頻譜分析中，周期矩形脈沖信號的頻譜具有典型的意義，已得到廣泛的應用。下面以圖3-8所示的周期矩形脈沖信號為例，進一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度之間的關(guān)系。圖3-8所示信號f(t)的脈沖寬度為T，脈沖幅度為E，重復周期為T，重復角頻率為Ω=2∏/T。若將f(t)展開為式(3-24)所示的傅里葉級數(shù)，則由式(3-25)可得在這里Fn為實數(shù)。因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫在一幅圖中，如圖3-9所示。周期信號的有效頻譜寬度由圖3-9可以看出：(1)周期矩形脈沖信號的頻譜是離散的，兩譜線間隔為Ω=2兀/T。(2)直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈沖幅度E和脈寬T，反比于周期7，其變化受包絡線ssinx/x的牽制。(3)當ω=2w∏/T(m=±1，±2，…)時，譜線的包絡線過零點。因此少ω=2w∏/T稱為零分量頻率。(4)周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，它可分解為無限多個頻率分量，但其主要能量集中在第一個零分量頻率之內(nèi)。因此通常把ω=0~2∏/T這段頻率范圍稱為矩形信號的有效頻譜寬度或信號的占有頻帶，記為顯然，有效頻譜寬度只與脈沖寬度T有關(guān)，而且成反比關(guān)系。有效頻譜寬度是研究信號與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容，要使信號通過線性系統(tǒng)不失真，就要求系統(tǒng)本身所具有的頻率特性必須與信號的頻寬相適應。對于一般周期信號，同樣也可得到離散頻譜，也存在零分量頻率和信號的占有頻帶。周期信號頻譜與周期T的關(guān)系下面仍以圖3-8所示的周期矩形信號為例進行分析。因為所以在脈沖寬度T保持不變的情況下，若增大周期T，則可以看出：(1) 離散譜線的間隔Ω=2兀/T將變小，即譜線變密；(2) 各譜線的幅度將變小，包絡線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢；(3) 由于T不變，故零分量頻率位置不變，信號有效頻譜寬度也不變。周期信號的功率譜該式稱為巴塞伐爾(Parseval)定理。它表明，周期信號的平均功率完全可以在頻域用Fn加以確定。實際上它反映周期信號在時域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。與nΩ的關(guān)系稱為周期信號的功率頻譜，簡稱功率譜。顯然，周期信號的功率譜也是離散譜。06非周期信號的頻譜PARTSIX非周期信號的頻譜函數(shù)非周期信號的頻譜函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換的存在條件前面根據(jù)周期信號的傅里葉級數(shù)導出了傅里葉變換。但從理論上講，傅里葉變換也應滿足一定條件才能存在。傅里葉變換存在的必要和充分條件的證明需要較多的數(shù)學基礎(chǔ)理論，在此僅對其充分條件加以討論。傅里葉變換的存在條件在實際工程中的信號大多滿足上述條件，因而它們的傅里葉變換都是存在的。值得注意的是，上述條件是傅里葉變換存在的充分條件，而不是必要條件。一些不滿足絕對可積條件的函數(shù)也可有傅里葉變換。當在傅里葉變換中引入沖激函數(shù)時，它們的傅里葉變換都存在，這樣就可以在一個統(tǒng)一的框架內(nèi)研究傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。單邊指數(shù)信號典型信號的頻譜函數(shù)2.偶雙邊指數(shù)信號典型信號的頻譜函數(shù)3.奇雙邊指數(shù)信號典型信號的頻譜函數(shù)典型信號的頻譜函數(shù)典型信號的頻譜函數(shù)典型信號的頻譜函數(shù)典型信號的頻譜函數(shù)典型信號的頻譜函數(shù)07傅里葉變換的基本性質(zhì)PARTSEVEN傅里葉變換的基本性質(zhì)1.線性性傅里葉變換是一種線性運算，它滿足齊次性和疊加性，即若式中，a和b均為常數(shù)。該性質(zhì)的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。線性性可以推廣至任意個信號的線性組合。傅里葉變換的基本性質(zhì)2.對稱性傅里葉變換的基本性質(zhì)3.折疊性4.尺度變換性傅里葉變換的基本性質(zhì)5.時移性6.頻移性7.時域