20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用1.3.1單調(diào)性講義含解析蘇教版選修2220190416334

1.3.1單調(diào)性[對應(yīng)學(xué)生用書P13]已知函數(shù)y1＝x，y2＝x2，y3＝.問題1：試作出上述三個(gè)函數(shù)的圖象．提示：圖象為問題2：試根據(jù)上述圖象說明函數(shù)的單調(diào)性．提示：函數(shù)y1＝x在R上為增函數(shù)，y2＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，在(0，＋∞)上為增函數(shù)，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上為減函數(shù)．問題3：判斷它們導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)．提示：y1′＝1>0，y2′＝2x，當(dāng)x>0時(shí)，y2′>0，當(dāng)x<0時(shí)，y2′<0，y3′＝－<0.問題4：試探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系．提示：當(dāng)f′(x)>0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)f′(x)<0時(shí)，f(x)為減函數(shù)．一般地，在某區(qū)間上函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0 f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù)f′(x)<0 f(x)為該區(qū)間上的減函數(shù)上述結(jié)論可以用下圖來直觀理解．1．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以用曲線切線的斜率來解釋導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，如果切線的斜率大于零，則其傾斜角是銳角，函數(shù)曲線呈現(xiàn)上升的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞增；如果切線的斜率小于零，則其傾斜角是鈍角，函數(shù)曲線呈現(xiàn)下降的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞減．2．在某個(gè)區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù)的充分條件，而不是充要條件．如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使f′(x)＝0，不會影響函數(shù)f(x)在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．例如函數(shù)f(x)＝x3在定義域(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足f′(x)>0. 判斷(或證明)函數(shù)的單調(diào)性[例1]討論下列函數(shù)的單調(diào)性．(1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝ax－a－x(a>0且a≠1)．[思路點(diǎn)撥]先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)的符號來討論函數(shù)的單調(diào)性．[精解詳析](1)∵y′＝5ax4且a>0，∴y′≥0在R上恒成立，∴y＝ax5－1在R上為增函數(shù)．(2)y′＝axlna－a－xlna(－x)′＝(ax＋a－x)lna，當(dāng)a>1時(shí)，lna>0，ax＋a－x>0，∴y′>0在R上恒成立，∴y＝ax－a－x在R上為增函數(shù)．當(dāng)0<a<1時(shí)，lna<0，ax＋a－x>0，∴y′<0在R上恒成立，∴y＝ax－a－x在R上為減函數(shù)．[一點(diǎn)通]判定函數(shù)單調(diào)性的方法有兩種：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，在定義域內(nèi)任取x1，x2，且x1<x2，通過判斷f(x1)－f(x2)的符號確立函數(shù)的單調(diào)性．(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性，步驟是：①求f′(x)，②確定f′(x)在(a，b)內(nèi)的符號，③得出結(jié)論．1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)的有________．①y＝2－3x2；②y＝lnx；③y＝；④y＝sinx.解析：顯然，函數(shù)y＝2－3x2在區(qū)間(－1,1)上是不單調(diào)的；函數(shù)y＝lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，不滿足題目要求；對于函數(shù)y＝，其導(dǎo)數(shù)y′＝<0，且函數(shù)在區(qū)間(－1,1)上有意義，所以函數(shù)y＝在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)；函數(shù)y＝sinx在上是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝sinx在區(qū)間(－1,1)上也是增函數(shù)．答案：③2．證明：函數(shù)y＝lnx＋x在其定義域內(nèi)為增函數(shù)．證明：顯然函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定義域內(nèi)為增函數(shù)．3．判斷y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性．解：因?yàn)閥′＝3ax2，又x2≥0.(1)當(dāng)a>0時(shí)，y′≥0，函數(shù)在R上是增函數(shù)；(2)當(dāng)a<0時(shí)，y′≤0，函數(shù)在R上是減函數(shù)；(3)當(dāng)a＝0時(shí)，y′＝0，函數(shù)在R上不具備單調(diào)性． 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例2]求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.[思路點(diǎn)撥]先確定函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，并與定義域求交集從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．[精解詳析](1)y′＝3x2－4x＋1.令3x2－4x＋1>0，解得x>1或x<，因此，y＝x3－2x2＋x的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，.再令3x2－4x＋1<0，解得<x<1.因此，y＝x3－2x2＋x的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.令f′(x)>0，即2·>0，解得－<x<0或x>.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或0<x<，又∵x>0，∴0<x<.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.[一點(diǎn)通](1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)如果函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，應(yīng)用“及”、“和”等連接，而不能寫成并集的形式．如本例(1)中的單調(diào)增區(qū)間不能寫成∪(1，＋∞)．(3)要特別注意函數(shù)的定義域．4．若函數(shù)f(x)＝x2－2x－4lnx，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．解析：由已知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝，由f′(x)>0得x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，又x>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．函數(shù)f(x)＝xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為________．解析：∵f(x)＝xlnx(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，則lnx＋1>0，即lnx>－1.∴x>，即函數(shù)f(x)＝xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為.答案：6．已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù)，e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，由于曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與x軸平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0.又ex>0，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)． 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)[例3]已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)．若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]解答本題可先對函數(shù)求導(dǎo)，再將問題轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立問題求解．[精解詳析]f′(x)＝2x－＝.要使f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是增函數(shù)，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.當(dāng)a＝16時(shí)，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))恒成立．∴a的取值范圍是a≤16.[一點(diǎn)通](1)已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法：①利用集合的包含關(guān)系處理：f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；②利用不等式的恒成立處理：f(x)在(a，b)上單調(diào)，則f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)內(nèi)恒成立，注意驗(yàn)證等號是否成立．(2)兩個(gè)非常重要的轉(zhuǎn)化：①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.7．函數(shù)f(x)＝x3－mx2＋m－2的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)，則m＝________.解析：∵f(x)＝x3－mx2＋m－2，∴f′(x)＝3x2－2mx.令f′(x)＝0，則x＝0或x＝m，又∵函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)，∴m＝3，即m＝.答案：8．若f(x)＝－(x－2)2＋blnx在(1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________．解析：由題意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．答案：(－∞，－1]9．已知函數(shù)f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解：由已知得f′(x)＝2a＋，∵f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝－在(0,1]上單調(diào)遞增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝－2＋.對x∈(0,1]也有f′(x)≥0.∴a＝－1時(shí)，f(x)在(0,1]上為增函數(shù)．∴綜上，f(x)在(0,1]上為增函數(shù)，a的取值范圍是[－1，＋∞)．1．在利用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中只能在定義域內(nèi)通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．2．一般利用使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)來對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間．3．如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)為常數(shù)函數(shù)．[對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(六)]一、填空題1．函數(shù)y＝x3－x2－40x＋80的增區(qū)間為________，減區(qū)間為________．解析：y′＝3x2－2x－40＝(3x＋10)(x－4)，由y′>0，得x>4或x<－；由y′<0，得－<x<4.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和(4，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為.答案：和2．函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間是________．解析：令f′(x)＝<0，解得0<x<e，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1，＋∞)，所以函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，(1，e)．答案：(0,1)，(1，e)3．函數(shù)y＝x2－lnx的單調(diào)減區(qū)間為________．解析：y′＝x－，由y′<0，得x<－1或0<x<1.又∵x>0，∴0<x<1.即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)．答案：(0,1)4.(浙江高考改編)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是________．解析：由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象自左至右是先增后減，可知函數(shù)y＝f(x)圖象的切線的斜率自左至右先增大后減?。鸢福孩?．已知函數(shù)f(x)為定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>xf′(x)．則不等式x2f－f(x)<0的解集為________．解析：令φ(x)＝，則φ′(x)＝<0.∴φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又x2f<f(x)，∴xf<.即<，∴φ<φ(x)．故>x.又∵x>0，∴0<x<1.答案：(0,1)二、解答題6．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝x4－2x2＋3；(2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<π)．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)．令f′(x)>0，則4x(x＋1)(x－1)>0，解得－1<x<0或x>1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞)．令f′(x)<0，則4x(x＋1)(x－1)<0.得x<－1或0<x<1.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)和(0,1)．(2)f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)＝2cos2x＋cosx－1＝(2cosx－1)(cosx＋1)．∵0<x<π，∴cosx＋1>0，由f′(x)>0得0<x<；由f′(x)<0得<x<π，故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－2－lnx(a∈R)．(1)若f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線為x－ey－2e＝0，求a的值；