《經(jīng)濟數(shù)學》413-5（雷安平）教案 第11課 函數(shù)的極值與最值

11第11第課函數(shù)的極值與最值PAGE811函數(shù)的極值與最值第11函數(shù)的極值與最值第課PAGE7

課題函數(shù)的極值與最值課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）掌握函數(shù)的極值（2）掌握函數(shù)的最值（3）掌握實際問題中的最大值和最小值思政育人目標：在探索函數(shù)的極值與最值的過程中，能夠培養(yǎng)學生執(zhí)著與堅韌、嚴謹與求實的科學精神。教學重難點教學重點：函數(shù)的極值教學難點：實際問題中的最大值和最小值教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：課堂測驗（10min）第2節(jié)課：課堂測驗（15min）課堂小結(jié)（3min）教學過程主要教學內(nèi)容及步驟設計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到【學生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解函數(shù)的極值定義4-1設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)的任意點，恒有（1），則稱是函數(shù)的極大值，稱為函數(shù)的極大值點；（2），則稱為函數(shù)的極小值，稱為函數(shù)的極小值點．函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點．定理4-3（極值存在的必要條件）如果函數(shù)在點處有極值，且存在，則．定理4-3說明可導的極值點必然是駐點，但駐點不一定是極值點．例如，對于函數(shù)，是它的駐點，但不是它的極值點；反過來，對于函數(shù)，不是它的駐點（函數(shù)在該點不可導），但卻是它的極值點．因此，我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的駐點和導數(shù)不存在的點，都可能是它的極值點．這樣，尋求極值點的范圍就大大縮小了，只需對駐點和導數(shù)不存在的點逐個判斷即可．下面給出判斷極值的兩個充分條件．定理4-4（判定極值的第一充分條件）設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此鄰域內(nèi)（可除外）可導．（1）如果當時，，而當時，，則在取得極大值，如圖4-4（a）所示．（2）如果當時，，而當時，，則在取得極小值，如圖4-4（b）所示．（3）如果在的兩側(cè)的符號不變，則不是的極值點，如圖4-4（c）和（d）所示．（a）（b）（c）（d）圖4-4根據(jù)上面兩個定理，可以按下列步驟求的極值點和極值：（1）求函數(shù)的定義域（有時是給定的區(qū)間）；（2）求出，在定義域或給定區(qū)間內(nèi)求出使的點及不存在的點；（3）的符號（此時，為表達清楚，最好列出相應表格）；（4）利用定理4-4判斷（2）中的點是否為極值點，如果是極值點，進一步判定是極大值點還是極小值點；（5）求出各極值點處的函數(shù)值，得出函數(shù)的全部極值．例1求函數(shù)的極值點和極值．解函數(shù)的定義域為，導數(shù)為．令，得駐點．討論在每個區(qū)間內(nèi)的符號，結(jié)果如表4-2所示．表4-2因此，函數(shù)在處有極大值；在處有極小值．例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解函數(shù)的定義域為，導數(shù)為．令，得駐點；而當時不存在．因此，函數(shù)只可能在這兩點取得極值，如表4-3所示．表4-3因此，函數(shù)在點處有極大值；在點處有極小值．當函數(shù)在駐點處的二階導數(shù)存在時，有如下判別定理．定理4-5（判定極值的第二充分條件）設函數(shù)在點處具有二階導數(shù)，且，．（1）若，則是函數(shù)的極小值點；（2）若，則是函數(shù)的極大值點．例3求函數(shù)的極值．解函數(shù)的定義域為，導數(shù)為．令，得駐點．函數(shù)的二階導數(shù)為，因為，所以由定理4-5可知，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值．【學生】掌握函數(shù)的極值學習函數(shù)的極值，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解函數(shù)的最值與實際問題中的最大值和最小值二、函數(shù)的最值前面已經(jīng)學過，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值．顯然，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值只能在區(qū)間內(nèi)的極值點和區(qū)間的端點處達到．因此可直接求出一切可能的極值點（包括駐點和尖點）和端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值的大小，即可得出函數(shù)的最大值和最小值．例4求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．解函數(shù)定義域為，導數(shù)為．令，得駐點．它們?yōu)楹瘮?shù)可能的極值點，算出這些點及區(qū)間端點的函數(shù)值：．比較可知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．例5求函數(shù)在上的最大值與最小值．解函數(shù)定義域為，導數(shù)為．令，得駐點．計算得．最后比較以上3個函數(shù)值的大小可知，函數(shù)在上的最大值為，最小值為．而事實上，因，故函數(shù)是單調(diào)增加的，而單調(diào)函數(shù)的最大值和最小值都是在區(qū)間的端點處取得的．三、實際問題中的最大值和最小值在實際應用中，往往會遇到求連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最大值或最小值問題．設連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有唯一駐點，若為函數(shù)的極大值點，則就為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最大值；若為函數(shù)的極小值點，則就為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最小值．如果在實際問題中，連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有唯一駐點，由實際意義，又知函數(shù)有最大（或最小）值，那么就是函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最大（或最小）值．例6生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個單位的費用是，得到的收入為（元），問生產(chǎn)多少個單位時，才能使利潤為最大？解由題意得，這個函數(shù)的定義域為．于是．令，解得．又因，所以當時，函數(shù)取得最大值，即生產(chǎn)250個單位時，才能使利潤最大．例7某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，其中為產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：件），問生產(chǎn)多少件時，平均成本最??？解由總成本函數(shù)可得平均成本函數(shù)為．要求平均成本最小，即是求函數(shù)的最小值．的定義域為，其導數(shù)為．令，得到函數(shù)的唯一駐點．因此，是使函數(shù)取得最小值的點，其最小值為138000元．例8某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其固定成本為3萬元，每生產(chǎn)一百件產(chǎn)品，成本增加2萬元，其收入（單位：萬元）是產(chǎn)量（單位：百件）的函數(shù)：，求達到最大利潤時的產(chǎn)量．解由題意，成本函數(shù)為．于是，利潤函數(shù)為，．令，得．因，所以當時，函數(shù)取得極大值，因為是唯一的極值點，所以就是最大值點．故產(chǎn)量為300件時取得最大利潤．【學生】函數(shù)的最值與實際問題中的最大值和最小值學習函數(shù)的最值與實際問題中的最大值和最小值，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了收益函數(shù)與利潤函數(shù)及建立函數(shù)關系式的方法，課后要多加練習，鞏固知識?！緦W生】總結(jié)回顧知識點總結(jié)知識點，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)：完成課后習題4-2