《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》413-5（雷安平）教案 第19課 廣義積分與定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

第課第課廣義積分與定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用19PAGE619廣義積分與定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用第19廣義積分與定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用第課PAGE7

課題廣義積分與定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握無(wú)限區(qū)間的廣義積分（2）掌握無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）（3）掌握定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用思政育人目標(biāo)：通過(guò)廣義積分與定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活的，是可以用于解決實(shí)際問(wèn)題的；鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和作風(fēng)，提高自身科學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)限區(qū)間的廣義積分、無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）教學(xué)難點(diǎn)：定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問(wèn)答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：課堂測(cè)驗(yàn)（10min）第2節(jié)課：課堂測(cè)驗(yàn)（15min）課堂小結(jié)（3min）教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（33min）【教師】講解廣義積分一、無(wú)限區(qū)間的廣義積分定義6-2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上的廣義積分，記作，即．此時(shí)，也稱為廣義積分收斂；如果極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散，此時(shí)雖用同樣的記號(hào)，但其已經(jīng)不再表示數(shù)值了．類似地，可定義在無(wú)限區(qū)間上的廣義積分為．若上式等號(hào)右端的極限存在，則稱該廣義積分收斂，否則稱該廣義積分發(fā)散．函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上的廣義積分定義為，其中，為任意實(shí)數(shù)．當(dāng)上式右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，稱該廣義積分收斂，否則稱該廣義積分發(fā)散．上述3類廣義積分統(tǒng)稱為無(wú)限區(qū)間的廣義積分．為方便起見，引入以下記號(hào)：若是的一個(gè)原函數(shù)，記（如果極限存在），則無(wú)限區(qū)間的廣義積分可表示為；；．由于無(wú)限區(qū)間的廣義積分是通過(guò)變限定積分的極限來(lái)定義的，因此，定積分的換元積分法和分部積分法可應(yīng)用到無(wú)限區(qū)間的積分中．例1計(jì)算廣義積分．解

．若運(yùn)用上述記號(hào)，則解題過(guò)程可表示為．二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作，即．此時(shí)稱廣義積分收斂，否則稱廣義積分發(fā)散．類似地，當(dāng)為的無(wú)窮間斷點(diǎn)（又稱瑕點(diǎn)）時(shí)，即，取，則在上的廣義積分定義為：．當(dāng)無(wú)窮間斷點(diǎn)位于區(qū)間的內(nèi)部時(shí)，則其廣義積分定義為．上式右端兩個(gè)積分均為廣義積分，只有當(dāng)這兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)，才稱收斂，否則稱發(fā)散．上述無(wú)界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分．與無(wú)限區(qū)間的廣義積分類似，若是的一個(gè)原函數(shù)，我們引入記號(hào)，其意義與無(wú)窮區(qū)間的廣義積分類同．例2討論廣義積分的斂散性．解因在內(nèi)部有被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，于是（讓瑕點(diǎn)在小區(qū)間的端點(diǎn)處）．而不存在，所以，廣義積分發(fā)散．【學(xué)生】掌握廣義積分學(xué)習(xí)無(wú)限區(qū)間的廣義積分與無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）的相關(guān)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)試【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（25min）【教師】講解定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用是多方面的，下面例1和例2體現(xiàn)了已知某經(jīng)濟(jì)量的變化率（即邊際函數(shù)）如何求該經(jīng)濟(jì)量，例3是關(guān)于平均值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，例4是關(guān)于有效時(shí)段的問(wèn)題．例1（利潤(rùn)問(wèn)題）某公司每個(gè)月生產(chǎn)x臺(tái)電視機(jī)，邊際利潤(rùn)（單位：美元）由下式給出：．目前公司每月生產(chǎn)1500臺(tái)電視機(jī)，并計(jì)劃提高產(chǎn)量，試求出每月生產(chǎn)1600臺(tái)電視機(jī)時(shí)，利潤(rùn)增加多少？解．故當(dāng)電視機(jī)的產(chǎn)量每月從1500臺(tái)增加到1600臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)增加1000美元．件件時(shí)的總收益與平均收益．解因?yàn)榭偸找媸沁呺H收益函數(shù)在上的定積分，所以，生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)的總收益函數(shù)為．平均收益函數(shù)為．當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品120件時(shí)，總收益為．平均收益為．例3（平均供應(yīng)價(jià)格）已知某商品的供應(yīng)函數(shù)為，其中，為某商品供應(yīng)量，P為該商品的價(jià)格（單位：美元），試求在商品供應(yīng)區(qū)間上的平均供應(yīng)價(jià)格．解在商品供應(yīng)區(qū)間上，平均供應(yīng)價(jià)格可用定積分計(jì)算如下：

．故在供應(yīng)區(qū)間上，某商品的平均供應(yīng)價(jià)格為68.7美元．例4（有效時(shí)段）某娛樂(lè)公司把一種娛樂(lè)用品安裝在一個(gè)公眾活動(dòng)的地點(diǎn)，分別用和表示該娛樂(lè)用品的成本函數(shù)與收益函數(shù)，其中表示已安裝使用的時(shí)間（單位：年）．已知（單位：萬(wàn)元）．使成立的值稱為該娛樂(lè)用品有效時(shí)段，其幾何意義如圖6-8所示．圖6-8圖6-8，，，，．這樣，該娛樂(lè)用品的有效時(shí)段約為3年．超過(guò)這個(gè)使用時(shí)段，該娛樂(lè)公司所安裝的娛樂(lè)用品是虧本的．試求出在有效時(shí)段內(nèi)，該娛樂(lè)公司所取得的全部利潤(rùn)．解有效時(shí)段為，因此該公司所取得的全部利潤(rùn)為．【學(xué)生】掌握定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用學(xué)習(xí)定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用，邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)試【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過(guò)測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了廣義積分和定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)：完成課后習(xí)題6-4、6-5【學(xué)生】完成課后作業(yè)通過(guò)完成作業(yè)鞏固課上所學(xué)知識(shí)教學(xué)反思本節(jié)課的效果較好，對(duì)于與實(shí)際