線性代數(shù) 課件 ch07二次型

線性代數(shù)二次型第七章高等學(xué)校教材系列二次型二次型的理論廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，如多元函數(shù)的極值、微分方程的求解、優(yōu)化問題的解及工程技術(shù)中的眾多間題。01二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示02二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法設(shè)F=XTAX是一個(gè)二次型，利用一個(gè)可逆線性變換x=CY為標(biāo)準(zhǔn)形，根據(jù)可逆矩陣C的不同取法，得到化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的不同方法，相應(yīng)得到不同的標(biāo)準(zhǔn)形。稱式為二次型j的主軸標(biāo)準(zhǔn)形(principalaxiscanonicalform),這種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法稱為正交變換法Corthogonaltransformation)。用正交變換法化二次型f=xTAx為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟是：(1)寫出二次型F=XTAX的矩陣A;(2)解A的特征方程det(A-U)=O,求出A的所有特征值4；(3)對(duì)每個(gè)特征值入，求解齊次方程組(4)以得到的A的n個(gè)兩兩正交的單位特征向量為列，構(gòu)成正交矩陣Q;(5)x=Qy是所求的正交變換，二次型f=xTAx的主軸標(biāo)準(zhǔn)形為1二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法1二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法1二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法1二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形配方法用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，相當(dāng)于用坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的方法，化二次曲面方程為關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的形式，正交變換法具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn)．若不考慮這一點(diǎn)，則還有多種方法可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，當(dāng)然這時(shí)化成的標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)不再是A的特征值，而可逆矩陣C的各列也不再是A的特征向量，線性變換也不再具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn)。2二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形配方法2二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形配方法2二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形配方法2二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形配方法2二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形配方法2二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形初等變換法當(dāng)利用行、列初等變換將A化為對(duì)角矩陣時(shí)，只用其中的列初等變換，可以將單位矩陣化為可逆矩陣C,這樣就得到了求合同變換矩陣C的方法。在具體計(jì)算時(shí)，可以將單位矩陣I放在A的下面，當(dāng)用同樣的行、列初等變換將A化為對(duì)角矩陣時(shí)，只用其中的列初等變換可將單位矩陣I化為可逆矩陣。3二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形初等變換法3二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形初等變換法3二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形慣性定理二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，用不同的方法得到的標(biāo)準(zhǔn)形是不同的，但是由于二次型的秩是可逆線性變換中的不變量，因此無論用什么方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，其系數(shù)中非零數(shù)的個(gè)數(shù)都是相同的。慣性定理告訴我們，在二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，平方項(xiàng)系數(shù)中的正數(shù)、負(fù)數(shù)及零的個(gè)數(shù)均為可逆線性變換中的不變最，即在二次型的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形中，平方項(xiàng)系數(shù)中正數(shù)、負(fù)數(shù)及零的個(gè)數(shù)為定值，與所用的具體變換無關(guān)，稱其中正數(shù)的個(gè)數(shù)為正慣性指數(shù)(positiveinertiaindex),負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為負(fù)慣性指數(shù)(negativeinertiaindex),正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)的差為符號(hào)差(signdifference).4二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形慣性定理4二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形慣性定理403正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣設(shè)有二次型f=xTAx,若對(duì)任意的x=0,有f=xTAx>O,則稱f為正定二次型(positivedefinitequadraticform)，相應(yīng)的對(duì)稱矩陣A稱為正定矩陣(positivedefinitematrix);若對(duì)任意的xc/cO，有f=xTAx<O,則稱f為負(fù)定二次型(negativedefinitequadraticform)，相應(yīng)的對(duì)稱矩陣A稱為負(fù)定矩陣(negativedefmitematrix).。n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充要條件是A的n個(gè)特征值全為正數(shù)。n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的允要條件是A的各階前主子矩陣的行列式均大于零。n階實(shí)對(duì)稱矩陣A負(fù)定的充要條件是A的奇數(shù)階前主子矩陣的行列式均小于零。偶數(shù)階前主子矩陣的行列式均大于零。正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣04定理的證明二次型定理的證明（慣性定理）設(shè)二次型f=xTAx的秩為r有兩個(gè)可逆線性變換將J分別化成標(biāo)準(zhǔn)形。n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定