高數(shù)同濟(jì)17無(wú)窮小的比較課件

引例都是無(wú)窮小,但根據(jù)函數(shù)比的極限可以刻畫(huà)無(wú)窮小趨于0的速度.§1.7無(wú)窮小的比較yxOy=x2y=3xy=sinx1引例都是無(wú)窮小,但根據(jù)函數(shù)比的極限可以刻畫(huà)無(wú)窮小趨于0定義.若則稱

是比

高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱

是比

低階的無(wú)窮小;則稱

是

的同階無(wú)窮小;則稱

是關(guān)于

的k階無(wú)窮小;則稱

是

的等價(jià)無(wú)窮小,記作1.無(wú)窮小的階返回2定義.若則稱是比高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自2.無(wú)窮小階的比較舉例所以當(dāng)x

0時(shí)

3x2是比x所以當(dāng)x

3時(shí)

x2-9與x-3是

例2

例3

例1

下頁(yè)

所以當(dāng)n?￥時(shí),

n1是比21n低階的無(wú)窮小.高階的無(wú)窮小

即3x2=o(x)(x

0)

同階無(wú)窮小

32.無(wú)窮小階的比較舉例所以當(dāng)x0時(shí)3x2是比x所以當(dāng)所以當(dāng)x

0時(shí)

1-cosx

是關(guān)于x

的所以當(dāng)x

0時(shí)

sinx

與x是

例4

例5

2.無(wú)窮小階的比較舉例小結(jié)～當(dāng)時(shí)，～～～二階無(wú)窮小

等價(jià)無(wú)窮小

即sinx~x(x

0)

返回4所以當(dāng)x0時(shí)1-cosx是關(guān)于x的所以當(dāng)x0定理1β與α是等價(jià)無(wú)窮小

β

=a+o(a)

下頁(yè)3.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的定理必要性:

證明所以b–a=o(a)

因?yàn)樵O(shè)a~b

只需證b–a=o(a)

充分性:設(shè)b=a+o(a)

則因此a~b

5定理1β與α是等價(jià)無(wú)窮小β=a+o(a所以當(dāng)x

0時(shí)

有

sinx=x+o(x)

tanx=x

o(x)

例6

下頁(yè)3.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的定理定理1β與α是等價(jià)無(wú)窮小

β

=a+o(a)

6所以當(dāng)x0時(shí)有sin下頁(yè)3.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的定理定理2

證明

定理1β與α是等價(jià)無(wú)窮小

β

=a+o(a)

7下頁(yè)3.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的定理定理2證求兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限時(shí)

分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替

因此

如果用來(lái)代替的無(wú)窮小選取得適當(dāng)

則可使計(jì)算簡(jiǎn)化

定理2的意義:下頁(yè)3.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的定理定理2定理1β與α是等價(jià)無(wú)窮小

β

=a+o(a)

8求兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限時(shí)分子及分母都可

解

當(dāng)x

0時(shí)

tan2x~

sin5x~

解

當(dāng)x

0時(shí)sinx~x

所以

p59-3例7

p59-4例8

2x5x所以下頁(yè)9解當(dāng)x0時(shí)tan2x~例9解常用等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)x

0時(shí)

1－cosx~

tan2x~

2x下頁(yè)10例9解常用等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)x0時(shí)1－cosx~

例10解1常用等價(jià)無(wú)窮小:解2

下頁(yè)11例10解1常用等價(jià)無(wú)窮小:解2下頁(yè)11常用等價(jià)無(wú)窮小:對(duì)于代數(shù)和中各等價(jià)無(wú)窮小一般不能替換.注意例10解1下頁(yè)p60.4.(3)12常用等價(jià)無(wú)窮小:對(duì)于代數(shù)和中各等價(jià)無(wú)窮小一般不能替換.注意例常用等價(jià)無(wú)窮小:對(duì)于代數(shù)和中各等價(jià)無(wú)窮小一般不能替換.注意

例11下頁(yè)13常用等價(jià)無(wú)窮小:對(duì)于代數(shù)和中各等價(jià)無(wú)窮小一般不能替換.注意

例12解常用等價(jià)無(wú)窮小:下頁(yè)14例12解常用等價(jià)無(wú)窮小:下頁(yè)14

例13常用等價(jià)無(wú)窮小:結(jié)束15例13常用等價(jià)無(wú)窮小:結(jié)束15內(nèi)容小結(jié)1.無(wú)窮小的比較設(shè)

,

對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小,且

是

的高階無(wú)窮小

是

的低階無(wú)窮小

是

的同階無(wú)窮小

是

的等價(jià)無(wú)窮小

是

的k階無(wú)窮小16內(nèi)容小結(jié)1.無(wú)窮小的比較設(shè),對(duì)同一自變量的變化2.等價(jià)無(wú)窮小替換定理～～～～～思考與練習(xí)P59題1,2

作業(yè)

P593(2)