勾股定理 回顧與思考 教學(xué)設(shè)計(jì)

課題：勾股定理的回顧與思考教學(xué)內(nèi)容：第一章勾股定理回顧與思考教材簡(jiǎn)析：勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值．勾股定理也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和代數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，具有學(xué)科的基礎(chǔ)性與廣泛的應(yīng)用．本課時(shí)教學(xué)是復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流，以學(xué)生自主探索為主，并強(qiáng)調(diào)小組之間的合作與交流，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力．讓學(xué)生通過動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口自主探索，感受數(shù)學(xué)的美，以提高學(xué)習(xí)興趣．教學(xué)目標(biāo)：1．回顧本章的知識(shí)，包括勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過程，體會(huì)勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用．2．在回顧與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力．3．通過對(duì)勾股定理歷史的再認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的應(yīng)用能力，體驗(yàn)科學(xué)給人來帶來的力量．教學(xué)重難點(diǎn)：勾股定理和逆定理，利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題．教學(xué)過程:一、知識(shí)框架1．?dāng)?shù)學(xué)文化勾股定理，我們把它稱為世界第一定理．它的重要性，通過這一章的學(xué)習(xí)已深有體驗(yàn)，首先，勾股定理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學(xué)知道，正是由于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)，這一點(diǎn)，我們將在第二章《實(shí)數(shù)》里講到；第三，勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，有許許多多的數(shù)滿足這個(gè)方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最為著名的就是費(fèi)馬大定理，直到1995年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明．勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個(gè)先人給我們留下來的寶貴的財(cái)富，這節(jié)課，我們將通過回顧與思考中的幾個(gè)問題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應(yīng)用．2．知識(shí)點(diǎn)梳理（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用和分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么__________．（2）勾股定理各種表達(dá)式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊也分別為，則=_________，=_________，=_________．（3）勾股定理的逆定理：在△ABC中，若三邊滿足___________，則△ABC為___________．（4）勾股數(shù)：滿足___________的三個(gè)___________，稱為勾股數(shù)．（5）幾何體上的最短路程是將立體圖形的________展開，轉(zhuǎn)化為_________上的路程問題，再利用___________兩點(diǎn)之間，___________解決最短線路問題．（6）直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系？從邊的關(guān)系來說，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來說，由于直角三角形中有一個(gè)特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個(gè)銳角．直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形．如果又有一個(gè)銳角是，那么的角所對(duì)的直角邊是斜邊的．（7）舉例說明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形？可以從角、邊兩個(gè)方面判斷．①從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形．例如：在△ABC中，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)定義可判斷△ABC是直角三角形．在△ABC中，，由三角形的內(nèi)角和定理可知，，°，°，△ABC是直角三角形．②從邊出發(fā)來判斷一個(gè)三角形是直角三角形．其實(shí)從邊來判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定直角三角形的條件（即勾股定理的逆定理）．例如：△ABC的三條邊分別為，而，根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是三角形，但這里要注意的是b所對(duì)的角．在△ABC三條邊的比為，△ABC是直角三角形．8．通過回顧與思考中的問題的交流，由學(xué)生自己建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖．三邊的關(guān)系--勾股定理→歷史、應(yīng)用直角三角形直角三角形的判別→應(yīng)用二、典型例題1．利用勾股定理求邊長(zhǎng)．例1已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，求第三邊長(zhǎng)的平方．跟蹤訓(xùn)練1:一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，那么它斜邊上的高線長(zhǎng)為（）．A.5B.2.5C.2.4D.22．利用勾股定理求圖形面積．例2求出下列各圖中陰影部分的面積．_(3_(3)21跟蹤訓(xùn)練2:（1）如圖，BC長(zhǎng)為3cm，AB長(zhǎng)為4cm，Af長(zhǎng)為12cm．求正方形CDEF的面積．（2）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關(guān)系？3．利用勾股定理逆定理判定△ABC的形狀或求角度．例3在△ABC中，的對(duì)邊分別為，且，則（）.（A）為直角（B）為直角（C）為直角（D）不是直角三角形跟蹤訓(xùn)練3:已知△ABC的三邊為a，b，c，有下列各組條件，判定△ABC的形狀．①；②．4．勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用．例4B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時(shí)8nmile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15nmile的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34nmile，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？跟蹤訓(xùn)練4:如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交匯，∠QON=30°.公路PQ上A處距O點(diǎn)240米．如果火車行駛時(shí)，周圍200米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．那么火車在鐵路MN上沿ON方向以72千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間為．例5如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（）dm．A．20 B．25 C．30 D．35跟蹤訓(xùn)練5：如圖所示，一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都為1cm，假設(shè)一只螞蟻從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要爬cm．三、鞏固練習(xí)1．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）．A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，32．如圖：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，則CE2+CF2等于（）．A．75 B．100 C．120 D．1253．如圖，在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，以AC為邊的陰影部分圖形是一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的面積為（）．A．2 B．4 C．8 D．164．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）．A.25B.14C.7D.7或255．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．6．據(jù)傳當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯借助如圖所示的兩個(gè)圖驗(yàn)證了勾股定理，你能說說其中的道理嗎？7．“中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s=3.6km/h）8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，記四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4=．四、拓展提升1．已知Rt△ABC中，，若，求Rt△ABC的面積．2．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是．3．一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示．正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2m，坡角m．當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE＝QUOTEm時(shí)，有．4．有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長(zhǎng)AD＝80cm，高AB＝60cm，水深A(yù)E＝40cm.在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑，G在水面線EF上，且EG＝60cm，一只螞蟻想從魚缸外的A點(diǎn)沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的G處吃面包屑．(1)該螞蟻應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使路程最短呢？請(qǐng)你畫出它爬行的路線，并用箭頭標(biāo)注；(2)求螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)．五、歸納總結(jié)1．知識(shí)層面：勾股定理及其逆定理的應(yīng)用．2．方法層面：構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理和逆定理．3．思想方面：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、建模、分類討論．六、布置作業(yè)1．判斷下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)．（1）8,15,17；（2）7,12,15；（3）12,15,20；（4）7,24,25．2．若等腰三角形腰長(zhǎng)為10cm，底邊長(zhǎng)為16cm，那么它的面積為()．A.48cm2B.36cm2C.24cm2D.12cm23．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cm、BC=8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（）．A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm4．如圖，正方形ABCD中，AE⊥BE于E，且AE=3，BE=4，則陰影部分的面積是_______．5．在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=______