等比數(shù)列前n項和的性質及應用人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件

第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用1等比數(shù)列前n項和的性質及應用人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件2激趣誘思知識點撥某人準備購買一輛汽車,向銀行貸款6萬元,其中規(guī)定一年期以上貸款月均等額還本付息(即利息按月以復利計算,每期付款數(shù)額相同,一個月為一期,購買后一個月開始付款,以后每月付款一次),共付36期,月利率為0.4575%,那么這人每月還多少錢呢?激趣誘思知識點撥某人準備購買一輛汽車,向銀行貸款6萬元,其中3激趣誘思知識點撥等比數(shù)列前n項和的性質公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,關于Sn的性質?？嫉挠幸韵滤念?(1)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比數(shù)列(此時{an}的公比q≠-1).(2)當n是偶數(shù)時,S偶=S奇·q;當n是奇數(shù)時,S奇=a1+S偶·q.(3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)數(shù)列{an}為公比不為1的等比數(shù)列?Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1.激趣誘思知識點撥等比數(shù)列前n項和的性質4激趣誘思知識點撥微練習一個等比數(shù)列的前n項和為45,前2n項和為60,則前3n項和為(

)A.65

B.73

C.85

D.108解析:由等比數(shù)列的性質得Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列.等比數(shù)列的前n項和為45,前2n項和為60,∴45,60-45,S3n-60成等比數(shù)列,∴(60-45)2=45(S3n-60),解得S3n=65.答案:A4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)激趣誘思知識點撥微練習4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和5探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等比數(shù)列前n項和的性質例1(1)在等比數(shù)列{an}中,若S2=7,S6=91,則S4=

;

(2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項,其和為-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,則公比q=

;

(3)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項和為Sn=3n+1-2k,則實數(shù)k等于

.

分析:運用等比數(shù)列前n項和的性質求解.4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等比數(shù)列前n項和的性質分析6探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:(1)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也構成等比數(shù)列,即7,S4-7,91-S4構成等比數(shù)列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)由題意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解析:(1)∵數(shù)列{an}7探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟等比數(shù)列前n項和的性質1.若數(shù)列{an}為非常數(shù)列的等比數(shù)列,且其前n項和為Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),則必有A+B=0;反之,若某一非常數(shù)列的前n項和為Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),則該數(shù)列必為等比數(shù)列.2.若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特別地,如果公比q≠-1或雖q=-1但n為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構成等比數(shù)列.3.當?shù)缺葦?shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)時,偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟等比數(shù)列前n項和的8探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.3.2第2課時等比9探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題

(1)求S2和S3;(2)求數(shù)列{an}的前n項和;(3)求數(shù)列{Sn}的前n項和.分析:先利用等差中項與等比中項求出S2與S3,進而求出a1與公比q,再寫出Sn,根據(jù)Sn的特點求{Sn}的前n項和.4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問10探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.3.2第2課時等比11探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟數(shù)列綜合問題的關注點1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題是高考考查的重點,特別是等差與等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式,以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點.2.利用等比數(shù)列前n項和公式時應注意公比q的取值,熟悉兩種數(shù)列的性質,知道它們的推導過程,利用好性質,可降低題目的難度,解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程組求解.4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟數(shù)列綜合問題的關注12探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測

解:(1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=4n+1.(2)由an=4n+1,得bn=24n+1,所以{bn}是首項為b1=25,公比為q=24的4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測

解:(1)設等差數(shù)列{a13探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等比數(shù)列的實際應用例3小華準備購買一臺售價為5000元的電腦,采用分期付款方式,并在一年內將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買2個月后第1次付款,再過2個月后第2次付款,……購買12個月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復利計算,求小華每期付款金額是多少?分析:根據(jù)題意,列出第k個月末付款后的欠款本利或第k個月時的已付款及利息是解題的關鍵.4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測等比數(shù)列的實際應用分析:根14探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(方法一)設小華每期付款x元,第k(k取2,4,6,8,10,12)個月末付款后的欠款本利為Ak元,則A2=5

000×(1+0.008)2-x=5

000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5

000×1.0084-1.0082x-x,……A12=5

000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,故小華每期付款金額約為880.8元.4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)4.3.2第2課時等比數(shù)列前n項和的性質及應用-人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第二冊課件(共28張PPT)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:(方法一)設小華每期付15探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(方法二)設小華每期付款x元,到第k(k取2,4,6,8,10,12)個月時已付款及利息為Ak元,則A2=x,A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082),A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084),……A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).∵年底付清欠款,∴A12=5

000×1.00812,即5

000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(方法二)設小華每期付款x16探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟分期付款問題的求解策略分期付款問題是典型的求等比數(shù)列前n項和的應用題,此類題目的特點是:每期付款數(shù)相同,且每期間距相同.解決這類問題通常有兩種處理方法,一是按欠款數(shù)計算,由最后欠款為0列出方程求解;二是按付款數(shù)計算,由最后付清全部欠款列方程求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟分期付款問題的求解17探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設,并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上一年減少

.本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元,由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用,預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增長

.求n年內的總投入與n年內旅游業(yè)的總收入.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2某地投入資金進行18探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測19探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測20探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分類討論思想在數(shù)列求和中的應用

分析:數(shù)列的通項公式為分段函數(shù)的形式,因此該數(shù)列的奇、偶項呈現(xiàn)不同的規(guī)律,奇數(shù)項是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項為首項為9,公比為9的等比數(shù)列,在求和時,應對奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分類討論思想在數(shù)列求和中的21探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測22探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法總結分段數(shù)列求和的技巧性很強,一般是轉化為等差數(shù)列與等比數(shù)列求解.解題時需要對數(shù)列的項數(shù)及奇數(shù)項、偶數(shù)項的項數(shù)進行分類討論.需要特別說明的是在分段數(shù)列中,規(guī)律是隔項成等差數(shù)列或成等比數(shù)列,因此數(shù)列的公差或公比與平時的公差、公比有所不同,解題時要特別留意.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法總結分段數(shù)列求和的技巧23探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.已知等比數(shù)列{an},an=2×3n-1,則由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列的前n項和為(

)A.3n-1 B.3(3n-1)解析:由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列是以6為首項,9為公比的等比數(shù)列,所以其前n項和為答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.已知等比數(shù)列{an},24探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.已知等比數(shù)列的前n項和為54,前2n項和為60,則前3n項和為(

)解析:設數(shù)列的前n項和為Sn,則由題意知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也構成等比數(shù)列,所以(60-54)2=54(S3n-60),解得答案:D3.若等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-2+r,則r=

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.已知等比數(shù)列的前n項和25探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植樹2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的3倍,則需要