數(shù)值分析方法第七章

考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-ValueProblem*/:其中f(x,y)為x,y的已知函數(shù)，y0為給定的初始值第六章常微分方程數(shù)值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/例如：其解析解為：只有一些特殊類型的微分方程問題能夠得到用解析表達式表示的函數(shù)解，而大量的微分方程問題很難得到其解析解。這是微積分的發(fā)明者之一Leibniz在1686年曾經(jīng)讓當時數(shù)學界人士求解的一階微分方程式，吸引了許多數(shù)學家的注意，大約經(jīng)過150年的探索到1838年,劉維爾（Liouville)在理論上證明了這個微分方程不能用初等積分法求解，得借助于數(shù)值方法

只能依賴于數(shù)值方法去獲得微分方程的數(shù)值解。

數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個節(jié)點

這里hi可以不相等，但一般取成相等的，這時在這些節(jié)點上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開等）將上述初值問題化成關于離散變量的相應問題。把這個相應問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點xn上的數(shù)值解。一般說來，不同的離散化導致不同的方法。，i=0,1,…,n-1稱為由xi到xi+1的步長。步進式：根據(jù)已知的或已求出的節(jié)點上的函數(shù)值計算當前節(jié)點上的函數(shù)值，一步一步向前推進。因此只需建立由已知的或已求出的節(jié)點上的函數(shù)值求當前節(jié)點函數(shù)值的遞推公式即可?！?歐拉方法

/*Euler’sMethod*/

歐拉公式：x0x1向前差商近似導數(shù)記為亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

也稱歐拉折線法.

用這條折線近似地代替曲線由Euler法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見此方法非常粗糙。例用歐拉法求初值問題當h=0.02時在區(qū)間[0,0.1]上的數(shù)值解。解：把代入歐拉法計算公式，得具體計算結(jié)果nxnyny(xn)

n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021表中y(xn)，是初值問題的真解在xn上的值。為近似值yn的誤差。從表中可以看出，隨著n的增大，誤差也在增大，所以說，歐拉法計算簡便，對一些問題有較大的使用價值，但是，它的誤差較大，所得的數(shù)值解精確度不高。定義在假設yi=y(xi)，即第i步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。

歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法具有1階精度。Ri的主項/*leadingterm*/衡量求解公式好壞的一個主要標準是求解公式的精度,因此引入局部截斷誤差和階數(shù)的概念。Euler’sMethod

歐拉公式的改進：

隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+

)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii§Euler’sMethod由于未知數(shù)yi+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。

隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltr