2023學(xué)年完整公開課版圓周角2

241圓的有關(guān)性質(zhì)第二十四章圓2414圓周角人教版九年級(jí)上冊(cè)一中雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)組學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解圓周角的概念，會(huì)敘述并證明圓周角定理2理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運(yùn)用圓周角定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3理解掌握?qǐng)A周角定理的推論及其證明過(guò)程和運(yùn)用（難點(diǎn)）問(wèn)題1什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角,∠BOC問(wèn)題2如圖，∠BAC的頂點(diǎn)和邊有哪些特點(diǎn)A∠BAC的頂點(diǎn)在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點(diǎn)探究一：圓周角的定義頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角（兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，缺一不可）探究一：圓周角的定義·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判一判：下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡(jiǎn)述理由（2）（1）（3）（5）（6）頂點(diǎn)不在圓上頂點(diǎn)不在圓上邊AC沒有和圓相交√√√如圖，連接BO,CO,得圓心角∠BOC試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系探究二：圓周角的定理和推論圓心O在∠BAC的內(nèi)部圓心O在∠BAC的一邊上圓心O在∠BAC的外部推導(dǎo)與論證探究二：圓周角的定理和推論圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A∠C探究二：圓周角的定理和推論OABDOACDOABCD圓心O在∠BAC的內(nèi)部OACDOABD探究二：圓周角的定理和推論OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圓心O在∠BAC的外部探究二：圓周角的定理和推論圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧它所對(duì)的圓心角的一半；探究二：圓周角的定理和推論問(wèn)題1如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點(diǎn)A,D是上任意兩點(diǎn)，連接AB，AC，BD，CD∠BAC與∠BDC相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由D∴∠BAC=∠BDC相等探究二：圓周角的定理和推論DABOCEF問(wèn)題2

如圖，若∠A與∠B相等嗎？相等想一想：(1)反過(guò)來(lái)，若∠A=∠B，那么成立嗎？2若CD是直徑，你能求出∠A的度數(shù)嗎？（你有幾種辦法）探究二：圓周角的定理和推論如圖，線段AB是☉O的直徑，點(diǎn)C是☉O上的任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、B外），那么，∠ABC就是直徑AB所對(duì)的圓周角，想一想，∠ACB會(huì)是怎樣的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB又∵∠OAC∠OBC∠ACB=180°∴∠ACB=∠OCA∠OCB=180°÷2=90°探究二：圓周角的定理和推論圓周角和直徑的關(guān)系：半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等A1A2A3探究二：圓周角的定理和推論1如圖，點(diǎn)A、B、C、D在☉O上，點(diǎn)A與點(diǎn)D在點(diǎn)B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35o1∠BOC=o，理由是;2∠BDC=o，理由是7035同弧所對(duì)的圓周角相等一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半探究三：學(xué)以致用1完成下列填空：∠1=∠2=∠3=∠5=2如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，AC、BD為四邊形ABCD的對(duì)角線∠4∠8∠6∠7ABCDO1((((((((2345678探究三：學(xué)以致用例1如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°求∠ABC的大小OCAB解：∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角等于90°）∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-90°-80°=10°探究四：例題精講例2如圖，分別求出圖中∠的大小60°30°20°解：1∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠=60°ADBEC2連接BF，F(xiàn)∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°∴∠=∠ABF∠FBC=50°探究四：例題精講例3：如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm（1）求DC的長(zhǎng)；（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B,求AB、BC的長(zhǎng)．B解：(1)∵AC是直徑，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，探究四：例題精講在Rt△ABC中，AB2BC2=AC2，2∵AC是直徑,∴∠ABC=90°∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BCB解答圓周角有關(guān)問(wèn)題時(shí)，若題中出現(xiàn)“直徑”這個(gè)條件，則考慮構(gòu)造直角三角形來(lái)求解.

歸納探究四：例題精講如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°故選C方法總結(jié)：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對(duì)的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題．C探究四：例題精講例4如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P,∠ACD=60°,∠ADC=70°求∠APC的度數(shù).OADCPB解:連接BC,則∠ACB=90°,∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°又∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°探究四：例題精講如果一個(gè)多邊形所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓探究五：圓的內(nèi)接多邊形如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓探究性質(zhì)猜想：∠A與∠C,∠B與∠D之間的關(guān)系為：∠A∠C=180o，∠B∠D=180o想一想：如何證明你的猜想呢？探究四：圓的內(nèi)接多邊形∵弧BCD和弧BAD所對(duì)的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，證明猜想歸納總結(jié)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)探究四：圓的內(nèi)接多邊形CODBA∵弧BCD和弧BAD所對(duì)的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠BCD＝180°，E延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，有∠BCD＋∠DCE＝180°∴∠A＝∠DCE圖中∠A與∠DCE的大小有何關(guān)系？探究四：圓的內(nèi)接多邊形推論：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角1．四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠A=110°，∠B=80°，則∠C=，∠D=2．⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則∠D=70o100o90o探究五：熟能生巧例5：如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G求證：∠FGD＝∠ADC證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故選AA探究五：熟能生巧解：設(shè)∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別對(duì)于2，3，6，例6在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比是2︰3︰6求這個(gè)四邊形各角的度數(shù)∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠A∠C=∠B∠D=180°，∵26=180°，∴=225°∴∠A=45°，∠B=675°，∠C=135°，∠D=180°-675°=1125°探究五：熟能生巧1判斷（1）同一個(gè)圓中等弧所對(duì)的圓周角相等（）（2）相等的弦所對(duì)的圓周角也相等（）（3）同弦所對(duì)的圓周角相等（）√××探究五：熟能生巧2已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,則∠AOB=．BACO166°探究五：熟能生巧3如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點(diǎn)E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為（）A30°B40°C50°D60°A【規(guī)律方法】解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問(wèn)題,要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周角定理探究五：熟能生巧ABCDO4如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如果∠BOD=130°,則∠BCD的度數(shù)是（）A115°B130°C65°D50°5如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，P是AC上的一點(diǎn)，則∠APC=ABCPC120°6如圖，已知圓心角∠AOB=100°,則圓周角∠ACB=，∠ADB=DAOCB130°50°7如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，則⊙O的半徑是CABO解：連接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形∴OA=OB=AB=2，即半徑為22探究五：熟能生巧AOBC∴∠ACB=2∠BAC證明：8如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC求證：∠ACB=2∠BAC∠AOB=2∠BOC，探究五：熟能生巧9船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)通過(guò)測(cè)定角數(shù)來(lái)確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險(xiǎn)角”，當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，∠α與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？解：當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，即船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外），與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”探究五：熟能生巧如圖，在