有質(zhì)量的彈簧及有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法

有質(zhì)量的彈簧放寒假回家，爸爸說要抱我，看看我長重了沒有，我故意使勁想讓他抱不動，我繃緊肌肉爸爸費了好大力量也沒抱起我?！安灰箘?，”爸爸說，“使勁我怎么抱得動！”我不想繼續(xù)難為他，便放松了肌肉，他果然輕松的舉起了我，“還要多鍛煉呀！太輕了！”爸爸對我說。突然，腦中忽然閃過那個詞，使勁？我使得可是內(nèi)力呀！為什么內(nèi)力讓自己顯得更重了？于是便有了以下這些思考：有質(zhì)量的彈簧為了解決以上的問題，由于人體有彈性，不妨將人體看成一個有質(zhì)量的彈簧，肌肉的收縮改變彈簧的倔系數(shù)。下面我們的討論對象就是這個有長度有質(zhì)量的彈簧。當(dāng)我研究它時，發(fā)現(xiàn)這個由人體抽象而來的模型有很多很復(fù)雜的性質(zhì)。質(zhì)心的位置設(shè)彈簧的原長為L，質(zhì)量為M，倔強系數(shù)為K，立于地面上，高為h，線密度為p是x的函數(shù)，下面計算質(zhì)心離頂端的高度d?？紤]微元dm，它上面的彈簧共重mg，則有dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dm兩邊積分，其中a為彈簧在重力作用下收縮的長度。得到，a=注：這里的計算不能對整個彈簧使用胡克定律，aK=Mg,從而得到a=，因為此時的彈簧各個部位的壓縮狀況是不同的了！又g=,即g=KL-MK/p兩邊對x求導(dǎo)：gp=，解此微分方程得到：p=,其中p0=M/L.所以質(zhì)心離頂端的高度d=，其中a=，p0=M/L.容易看到當(dāng)k趨向無窮大時，d=L/2，此時彈簧可看作剛體，質(zhì)心當(dāng)然是在重點！求導(dǎo)后容易發(fā)現(xiàn)d/l（l=L-a），隨著K的增大減小，其實從p的表達式可以直接觀察到這一點，因為當(dāng)K小時，p隨x的增加變化快，相反當(dāng)k很大時，p隨x的增加增加的較慢，故質(zhì)心將更接近中點！舉起有質(zhì)量的彈簧如圖，設(shè)用恒力f向上提彈簧的頂端，當(dāng)?shù)锥藙偤秒x開地面時彈簧的動能為零。彈簧舉起前后的高度分別是h1和h2，故f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2，E1分別是（2），（1）中彈簧的彈性勢能，若用小于Mg的力f,去拉彈簧，則它將先做向上的加速度不斷減小的加速運動，只到加速度變?yōu)橄蛳拢^續(xù)向上做減速運動，當(dāng)?shù)锥嗣撾x的瞬間速度為零，此時加速度仍向下，故（2）中彈簧的拉伸長度a=，其中<g,故E2〈E1。所以f<Mg(h2-h1)/h,由2中的討論知h1<L1/2,h2<L2/2,其中L1，L2為（1），（2）中彈簧的長度。而h=L2-L1。所以f〈Mg/2?；氐奖疚拈_頭提出的問題，當(dāng)肌肉繃緊時近似將人體看作剛體，舉起剛體的力顯然是Mg,但當(dāng)肌肉松弛下來，將人體看作一個有質(zhì)量的彈簧舉起它所需要的力就大大減小了！幾個問題當(dāng)我重新思考質(zhì)量不能忽略的彈簧時，發(fā)現(xiàn)很多問題中如果考慮它將變得異常復(fù)雜，而有時彈簧的質(zhì)量是確實不能忽略的。能量的傳遞問題曾經(jīng)不止一次的碰到這樣的物理模型，一個輕質(zhì)彈簧連接一個小球，在光滑的水平面上，將自己儲存的彈性勢能傳遞給小球使之獲得動能，通常我們當(dāng)然認(rèn)為彈簧與物體脫離后無動能，能量完全傳遞給了物體，但如果考慮彈簧的質(zhì)量情況就大不一樣了！圖（1）是不考慮彈簧質(zhì)量的情況。圖（2）中我們假設(shè)物體和彈簧的質(zhì)量都是M，彈簧原長L，倔強系數(shù)K，我們將其看成兩段長為L/2的輕質(zhì)彈簧之間連著一個質(zhì)量為M的小球，不妨設(shè)物體的質(zhì)量也為M。對小球和物體列運動方程：設(shè)小球，物體偏離平衡位置的長度分別為，x1,x2，彈簧本來壓縮2A。,;解得x2=2Acoswt,x1=Acoswt,其中w=。物體與小球之間的距離x=Acoswt;當(dāng)wt=時，物體與彈簧分離，而此時小球有速度Aw，故具有動能E=，物體此時的動能為E0=，故僅有五分之四能量傳遞給了物體！小球隨后做角頻率為的簡諧振動。容易發(fā)現(xiàn)采用（2）的假設(shè)，物體從開始運動到分離將經(jīng)過更長的時間！但是（2）的假設(shè)是很不精確的，真正準(zhǔn)確的假設(shè)是應(yīng)該將彈簧是為N個質(zhì)量為M/N的小球，之間連有倔強系數(shù)為N*K的輕質(zhì)彈簧，然后考慮N趨向無窮的極限情況。原則上通過微分方程組的求解可以求到具體的運動情況，但這種運動無疑將是十分復(fù)雜的由于數(shù)學(xué)知識有限本人在此無法給出一個解答。簡振模以上的第二種假設(shè)實際上引出了一個更復(fù)雜更深刻的問題，那便是多自由度的振動！以下是作者的一些猜測與疑惑：在圖（1），（2）中N個質(zhì)量為m的小球被彈簧（倔強系數(shù)k）連接起來，分別掛在兩面墻之間，和約束在一個球體上。由振動知識，當(dāng)初始條件合適時，它們有N個簡振頻率，可以做N總不同模式的振動，當(dāng)N趨向無窮時，它們的角頻率頻譜是連續(xù)的從0到2w0的，其中w0=，若將有質(zhì)量的彈簧抽象成無窮多個小球串上輕彈簧，是否意味著彈簧再一定初始條件下可以以某種模式振動，若可以考慮到m=M/N，k=K*N，w0將趨向無窮，那么它的角頻率將是可以趨向無窮的，這可能嗎？總結(jié)彈簧是一個質(zhì)量連續(xù)分布的固體，討論它的運動狀態(tài)和內(nèi)部應(yīng)力需要更多的物理和數(shù)學(xué)知識，由于水平所限以上的很多推理不免有謬誤。但有一點是很清楚的，那就是當(dāng)考慮彈簧的質(zhì)量時簡單的問題變的不簡單了。物理學(xué)習(xí)不正是這樣一個不斷提問，不斷改進假設(shè)，不斷深入學(xué)習(xí)的過程嗎？參考文獻：1?！读W(xué)》楊維鴻2．《物理學(xué)難題集》舒幼生等3．《新概念力學(xué)》趙凱華等4．《新概念力學(xué)十講》趙凱華等物理一班第七章有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法第一節(jié)概述地層劃分與對比是煤田地質(zhì)勘探的主要任務(wù)之一。在地質(zhì)工作中，通常是尋找地層的不整合或假整合界線，或者利用古生物化石、巖石礦物等地質(zhì)特征對地層進行劃分與對比。這種劃分方法比較直觀，適用于較大地層單元的劃分與對比。當(dāng)?shù)刭|(zhì)特征間的差異性不顯著時，運用上述直觀、定性的方法來解決較小地層單元的進一步劃分就有一定的困難。因此，近年來開始利用有序地質(zhì)量，即運用數(shù)學(xué)方法，并借于電子計算機定量地劃分地層，提出了“有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法”。地質(zhì)數(shù)據(jù)中有相當(dāng)多是有序的。這些按一定順序排列的地質(zhì)變量，叫做有序地質(zhì)量。例如，沿地層露頭剖面采集的巖石標(biāo)本；鉆孔取出的巖芯樣品；與這些巖石、樣品有關(guān)的巖性、物理化學(xué)和古生物數(shù)據(jù)；以及地球物理測井?dāng)?shù)據(jù)等。它們都是有序地質(zhì)量。這類數(shù)據(jù)的特點是樣品的前后次序不能變更。所以，一些不考慮樣品排列順序的數(shù)學(xué)處理方法，對此不適用。有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法，就是對一批有序數(shù)據(jù)（地質(zhì)體）進行分段的統(tǒng)計方法。設(shè)有個按順序排列的樣品，每個樣品測得個變量，這批數(shù)據(jù)可用數(shù)據(jù)矩陣的形式表示為其中，表示第個樣品第個變量的取值。若對以上個有序樣品進行分割（分段），可能有種劃分方法，每一種分法稱為一種分割。在所有這些分割中，存在這樣一種分割，它使得各段（組）內(nèi)部樣品之間的差異性最小（即樣品數(shù)據(jù)的組內(nèi)離差平方和最?。?，而使段（組）之間的差異性最大（即樣品數(shù)據(jù)的組間離差平方和最大）。這種對個樣品分段并使組內(nèi)離差平方和最小的分割方法，稱為最優(yōu)分割法。樣品變量總離差平方和的分解式為（7—1）式中，為總離差平方和；為組內(nèi)離差平方和；為組間離差平方和。由式（7—1）可知，如果個樣品分為段，每段的樣品個數(shù)為，若每個樣品只取一個變量，則（7—2）（7—3）因此，尋求最優(yōu)分割，就是用計算的分法找出使組內(nèi)離差平方和（）最小的那些分割點。這與判別分析中費歇準(zhǔn)則相似，所以有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法，有人又稱為“F-分割法”或“有序樣品的聚類分析”。第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割若有個有序樣品，每個樣品只取一個變量，則有個有序數(shù)據(jù)序列，為現(xiàn)在試圖將這個樣品按順序分割為段，使段（組）內(nèi)離平差和盡可能小，而組間離差平方和盡可能大。為此，用表示從第個樣品數(shù)據(jù)開始至第個樣品數(shù)據(jù)為止的某段樣品，其中該段樣品變量的離差平方和為（7-4）式中由于能夠反映樣品段內(nèi)樣品間差異的情況，愈小，表示段內(nèi)各樣品之間差異性愈小；反之，愈大，表示段內(nèi)各樣品之間差異性愈大。因此，又把稱為段的直徑。若個樣品分為段：，為最優(yōu)段分割。其各段離差平方和（段直徑）分別為：，。根據(jù)最優(yōu)分割的原則，其組內(nèi)離差平方和必須滿足（7-5）或（7-6）在實際應(yīng)用時，往往事先不知道個有序樣品客觀上究竟能劃分為幾段。因此，必須從最優(yōu)分成二段、三段、…、段進行分析。一、最優(yōu)二段分割若把個有序樣品分為兩段，則有如下種不同的分法，即在上述種分法中，究竟哪一種方法最優(yōu)？只須計算出每一種分割的組內(nèi)離差平方和，并從其中找出組內(nèi)離差平方和最小的那一種分割，就是所求的最優(yōu)二段分割。在個有序樣品中，對任意一個都可以確定一個二段分割，即。若把對個樣品在第個樣品處進行的二段分割的組內(nèi)離差平方和記為（7-7）式中，表示被分割的樣品數(shù)；表示把個樣品分為二段；表示以第個樣品為分割點。上述種分割的組內(nèi)離差平方和分別為……………在中，當(dāng)時，則假設(shè)當(dāng)時，達到最小，即則最優(yōu)二段分割為，其中為最優(yōu)二段分割點。二、最優(yōu)三段分割若把個有序樣品分為三段，其中必有兩個分割點。假設(shè)第和第個樣品為分割點，則三段分割為若把三段分割的組內(nèi)離差平方和記為：，其中為兩個分割點，則顯然，如果有為最優(yōu)三段分割，則必為最優(yōu)二段分割，否則必存在另一個最優(yōu)二段分割，使這與為最優(yōu)三段分割相矛盾。因此，如果對個有序數(shù)據(jù)進行最優(yōu)三段分割，必須對任意一個，即前個數(shù)據(jù)先求出其最優(yōu)二段分割，為若則前個樣品的最優(yōu)二段分割與構(gòu)成一個三段分割。最后，找出一個適當(dāng)?shù)?，如，使得則為個樣品的最優(yōu)三段分割，其中和為最優(yōu)三段分割點。三、最優(yōu)段分割若對個有序樣品數(shù)據(jù)進行最優(yōu)段分割，可先找出個樣品的最優(yōu)段最優(yōu)分割，即從而得與構(gòu)成段分割，但不一定是最優(yōu)段分割?？蛇x擇一個適當(dāng)?shù)?，如時，使得可得最優(yōu)段分割為，其中為最優(yōu)段分割點。應(yīng)當(dāng)指出，分割的段數(shù)一直可做到所要求的段數(shù)為止；或者可以預(yù)先給定一個小正數(shù)，使段分割的組內(nèi)離差平方和后為止。這樣得出的就是最后的分割的段數(shù)。由圖所示，組內(nèi)離差平方和是隨分段段數(shù)的增加而單調(diào)地減少。所以當(dāng)時，組內(nèi)離差平方和。因此，可根據(jù)組內(nèi)離差平方和隨段數(shù)增加而下降到比較穩(wěn)定的時候（即圖中曲線平緩時）再確定分段段數(shù)。第三節(jié)多元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割為了分層，有時需要匯集樣品更多的信息，采用多個變量指標(biāo)。例如，采集個有序樣品，每個樣品測得個變量，原始數(shù)據(jù)可構(gòu)成一個階矩陣，為在多變量情況下，人們自然會聯(lián)想到是否能將單元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割原理引申到多元數(shù)據(jù)中來，以此對個有序樣品進行分割，一般最簡單有效的辦法就是把一段樣品多個變量合并為一個變量來處理，統(tǒng)一定義“段直徑”。但是，為了使不同變量間具有共同的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，事先要對各個變量進行數(shù)據(jù)規(guī)范化處理，如使數(shù)據(jù)作正規(guī)化變換。原始數(shù)據(jù)矩陣中元素記為：，則正規(guī)化數(shù)據(jù)為（7-8）得正規(guī)化數(shù)據(jù)矩陣根據(jù)正規(guī)化數(shù)據(jù)，將樣品段的段直徑定義為（7-9）式中（7-10）若個有序樣品分為段，每段內(nèi)有個樣品，則多元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割的原理與單元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割一樣，使組內(nèi)離差平方和(7-11)應(yīng)當(dāng)指出，樣品的段直徑除了用式（7-9）定義外，還可用其他方法定義。如用樣品數(shù)據(jù)絕對值距離來定義，即(7-12)也可用其他度量空間的距離來定義。第四節(jié)最優(yōu)分割法的計算步驟數(shù)據(jù)正規(guī)化設(shè)原始數(shù)據(jù)陣為將中的元素變換為得正規(guī)化數(shù)據(jù)矩陣計算段直徑矩陣其中因為故必須計算個，得計算全部分割的組內(nèi)離差平方和（或段直徑和）及各種分段的最優(yōu)分割最優(yōu)二段分割由矩陣對每一個計算相應(yīng)的組內(nèi)離差平方和，為找出最小值，確定相應(yīng)的最優(yōu)二段分割點，即分割點為。從而得到個樣品的最優(yōu)二段分割為，其中為最優(yōu)二段分割點。2）最優(yōu)三段分割根據(jù)矩陣及最優(yōu)二段分割結(jié)果，對每一個計算相應(yīng)的三段分割的組內(nèi)離差平方和，為然后求出最小值，并確定相應(yīng)的最優(yōu)三段分割點，為從而得到個樣品的最優(yōu)三段分割為，其中，為最優(yōu)三段分割點。3）最優(yōu)段分割根據(jù)矩陣及最優(yōu)段分割計算結(jié)果，對于每一個分別計算相應(yīng)的段分割的組內(nèi)離差平方和，為找出最小值，并確定相應(yīng)的最優(yōu)段分割點，即從而得到個樣品的最優(yōu)段分割為……，其中，為最優(yōu)段分割點。繪制曲線在曲線上，選擇曲線拐點對應(yīng)的值（取整）作為最終分段數(shù)。例7·1某煤礦所采煤層的煤質(zhì)牌號為主焦煤，在煤巷中見一火成巖墻侵入煤層，致使煤質(zhì)發(fā)生變化，為弄清楚煤質(zhì)變化情況，從火成巖附近每隔m依次取一煤樣，獲得個有序煤樣的鏡煤最大反射率數(shù)據(jù)為試進行最優(yōu)分割。此樣本最可能分割法共有種，今要在這種分割中找出一種最優(yōu)的分割（類內(nèi)差別小，類間差別大）。其作法如下：對原始數(shù)據(jù)進行正規(guī)化變換后得正規(guī)化數(shù)據(jù)，為計算段直徑矩陣,即最優(yōu)二段分割。由對于時，計算當(dāng)時，則其中當(dāng)時，則其中當(dāng)時，則其中當(dāng)時，則其中當(dāng)時，則從而得到個樣品的最優(yōu)二段分割為。其中，為分割點。最優(yōu)三段分割。即對于時，計算