北京市西城區(qū)（北區(qū)）高二下學期期末考試數(shù)學文試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2012-2013學年北京市西城區(qū)（北區(qū)）高二（下）期末數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分)已知全集U={1,2，3，4，5｝，集合A={1，3}，B=｛3，4}，那么集合（?UA)∩（?UB）等于(）A．{2｝B．{2,5}C．{3｝D．｛1，3，4}考點：交、并、補集的混合運算．專題:計算題．分析：根據(jù)補集的定義求得（?UA）和（?UB)，再根據(jù)兩個集合的并集的定義求得（?UA）∩（?UB）．解答：解:∵全集U={1，2，3，4，5｝,集合A={1，3｝，B=｛3，4｝，則（?UA)={2，4,5｝，(?UB)={1,2,5｝,∴（?UA)∩（?UB）={2,5｝，故選B．點評：本題主要考查集合的表示方法、集合的補集，兩個集合的并集的定義和求法,屬于基礎題．2．（5分)i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足z（2﹣i）=7﹣i，則z等于（）A．1+3iB．1﹣3iC．3﹣iD．3+i考點:復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題：計算題．分析：由題意求出復數(shù)z，再分子分母同乘以2+i后化簡即可．解答：解：由z（2﹣i）=7﹣i得，===3+i,故選D．點評:本題考查了復數(shù)的乘除運算，對于除法分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)后再化簡．3．（5分)函數(shù)的圖象在點（2，f（2）)處的切線方程是（）A．x﹣4y=0B．x﹣4y﹣2=0C．x﹣2y﹣1=0D．x+4y﹣4=0考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：求導函數(shù)，確定切線的斜率,求出切點的坐標，即可得到切線方程．解答：解：求導函數(shù)，可得∴,f(2）=∴函數(shù)的圖象在點（2，f（2)）處的切線方程是y﹣=（x﹣2)，即x+4y﹣4=0故選D．點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．4．（5分）設a，b，c∈R,則“ac2＜bc2”是“a＜b”的（)A．充分但不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：不等式的解法及應用．分析：由ac2＜bc2,可得a＜b，反之若a＜b，則ac2＜bc2，故可得結(jié)論．解答：解：若ac2＜bc2，∵c2＞0，∴a＜b，∴ac2＜bc2是a＜b的充分條件若a＜b,∵c2≥0,∴ac2≤bc2，∴ac2＜bc2不是a＜b的必要條件∴ac2＜bc2是a＜b的充分不必要條件故選A．點評:本題考查四種條件，解題的關(guān)鍵是利用不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎題．5．（5分）設函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+2的導函數(shù)為f′（x),如果f′（x)為偶函數(shù)，則一定有(）A．a(chǎn)≠0，c=0B．a(chǎn)=0，c≠0C．b=0D．b=0，c=0考點：導數(shù)的運算；函數(shù)奇偶性的判斷．專題：導數(shù)的概念及應用．分析:先求導數(shù)f′（x)，由f′（x）為偶函數(shù)可知f'（x）=f'（﹣x），故2bx=0恒成立，所以b=0，由此得出答案．解答：解：函數(shù)f（x)=ax3+bx2+cx+2的導函數(shù)為f′（x）=3ax2+2bx+c,∵函數(shù)f′(x）=3ax2+2bx+c是定義在R上的偶函數(shù),∴f'（x）=f'（﹣x)，即3ax2+2bx+c=3ax2﹣2bx+c,∴2bx=0恒成立，b=0．故選C．點評:本題考查導數(shù)的運算、函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)的解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．6．（5分）對于x∈R，函數(shù)f（x）滿足f（1﹣x)=f（1+x），f（x+2）=f（x），若當x∈（0，1］時，f（x）=x+1,則等于（）A．B．C．D．考點：函數(shù)的周期性;函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：由f（x+2）=f（x）,得到函數(shù)的周期是2，由f（1﹣x）=f（1+x）,得到函數(shù)關(guān)于x=1對稱，然后利用周期和對稱將轉(zhuǎn)化到（0，1）內(nèi)的數(shù)值進行求解．解答：解:因為f（x+2）=f(x），所以函數(shù)的周期是2．又f（1﹣x）=f（1+x),所以函數(shù)關(guān)于x=1對稱,所以f（）=f(2×）=f（）=f(1+）=f（1﹣）=f（)，因為x∈（0，1]時，f（x）=x+1,所以f（）=，故選B．點評:本題考查了函數(shù)的周期性和對稱性的應用，要求熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的綜合應用．7．(5分）(2009?西城區(qū)二模）如果數(shù)列｛an}（an∈R）對任意m，n∈N＊滿足am+n=am?an，且a3=8,那么a10等于（）A．1024B．512C．510D．256考點：數(shù)列遞推式．專題：計算題．分析:利用賦特殊值法：可令an=2n滿足條件am+n=am?an，且a3=8，即可得到a10的值．解答:解：由已知am+n=am?an，且a3=8賦特殊值得a1=2，a2=22,…，an=2n,數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以a10=210=1024故選A點評：本題是一道基礎題,做題的方法是賦特殊值滿足已知條件求出所求．要求學生掌握等比數(shù)列的通項公式．8．（5分）已知函數(shù)，若同時滿足條件：①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．則實數(shù)a的取值范圍是(）A．（4，8］B．［8，+∞）C．（﹣∞,0）∪［8，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4,8］考點：函數(shù)在某點取得極值的條件；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：求導數(shù)，由①得到;由②?x∈（8，+∞）,f(x)＞0，故只需f（x)在（8,+∞）上的最小值大于0即可，分別解出不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8．解答:解：由于,則=令f′(x）=0,則，故函數(shù)f(x)在（﹣∞，x1）,(x2,+∞）上遞增，在（x1,x2）上遞減由于?x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x)在(8,+∞)上的最小值大于0即可，當x2＞8，即時,函數(shù)f(x)在（8，+∞)上的最小值為，此時無解;當x2≤8,即時,函數(shù)f（x）在（8,+∞）上的最小值為,解得a≤8．又由?x0∈（0,+∞），x0為f（x)的一個極大值點，故解得a＞4；故實數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8故答案為A點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．（5分）已知命題p:?x∈［1，+∞），lnx＞0，那么命題?p為?x∈［1，+∞），lnx≤0．考點:全稱命題；命題的否定．專題：探究型．分析：利用全稱命題的否定是特稱命題，可以求出￢p．解答：解：因為命題p是全稱命題，所以利用全稱命題的否定是特稱命題可得：￢p：?x∈［1,+∞），lnx≤0．故答案為：?x∈［1，+∞），lnx≤0．點評：本題主要考查了含有量詞的命題的否定,要求掌握含有量詞的命題的否定的兩種形式,全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．10．（5分)數(shù)列{an}滿足，則a2=1,a3=3．考點：數(shù)列的概念及簡單表示法．專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析:利用分段數(shù)列的意義即可解出．解答：解:取n=1，則a2=1；取n=2，則a3=2a2+1=2×1+1=3．故答案分別為1，3．點評：正確理解分段數(shù)列的意義是解題的關(guān)鍵．11．（5分）設a=30.2，b=0.32，c=log20。3，則實數(shù)a，b,c的大小關(guān)系是a＞b＞c．考點：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值;對數(shù)的運算性質(zhì);不等關(guān)系與不等式．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：根據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷出30.2＞1、0。32＜1和log20.3＜0，得a、b、c三者的關(guān)系．解答：解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),a=30。2＞1，0＜b=0。32＜1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，log20。3＜0，則a＞b＞c，故答案為:a＞b＞c．點評：本題考查了指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應用，比較大小時常選的中間量是0和1，屬于基礎題．12．（5分）設數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，且對于任意n∈N＊，都有成立，則an=2n﹣1+1．考點：數(shù)列的概念及簡單表示法．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用即可得出．解答：解：當n=1時,；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+n﹣1﹣（2n﹣1+n﹣1﹣1)=2n﹣1+1．上式對于n=1時也成立．∴．故答案為2n﹣1+1．點評:熟練掌握是解題的關(guān)鍵．13．（5分）已知函數(shù)的圖象在x=0和處的切線互相平行，則實數(shù)a=﹣1．考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：導數(shù)的概念及應用．分析:由求導公式和法則求出導數(shù)，再把x=0、代入求出導數(shù)值，再根據(jù)直線平行的充要條件建立方程求a．解答：解：由題意得，=，把x=0代入得，y′=，把代入得，y′=，由題意得,=，解得a=﹣1．故答案為：﹣1．點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，即某點處的切線的斜率是該點出的導數(shù)值，以及直線平行的充要條件的應用．14．（5分）設函數(shù)，其中n∈N＊，且n≥2,給出下列三個結(jié)論:①函數(shù)f2（x）在區(qū)間(）內(nèi)不存在零點；②函數(shù)f3(x）在區(qū)間(）內(nèi)存在唯一零點；③?n∈N＊，且n≥4，函數(shù)fn（x）在區(qū)間內(nèi)存在零點．其中所有正確結(jié)論的序號為②③．考點:全稱命題；函數(shù)零點的判定定理．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：①判斷函數(shù)f2（x）=x2+x﹣1在區(qū)間（）上取值情況．②利用的單調(diào)性判斷．③利用根的存在定理判斷．解答:解:①因為f2（x）=x2+x﹣1，所以，所以f2（x)在區(qū)間（）上存在零點，所以①錯誤．②由題意知．因為，所以f3（x）在區(qū)間(）上存在零點,又因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f3（x）在區(qū)間（）內(nèi)存在唯一零點，所以②正確．③?n∈N*，且n≥4，，所以函數(shù)fn（x）在區(qū)間內(nèi)存在零點，所以③正確．故答案為：②③．點評：本題考查了函數(shù)零點的判斷，判斷函數(shù)零點問題主要是利用根的存在定理,判斷區(qū)間短點處的函數(shù)值符合相反即可．三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分)設a＞0，集合A={x||x｜≤a}，B={x｜x2﹣2x﹣3＜0}，(I)當a=2時，求集合A∪B；(II）若A?B，求實數(shù)a的取值范圍．考點：絕對值不等式的解法；集合的包含關(guān)系判斷及應用;并集及其運算；一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：（I）解絕對值不等式求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根據(jù)兩個集合的并集的定義求得A∪B．（II）根據(jù)集合A={x｜|x｜≤a｝={x｜﹣a≤x≤a}(a＞0），且A?B，可得，解不等式組求得a的范圍．解答：（I)解：因為集合A={x｜|x｜≤2}={x|﹣2≤x≤2｝，（2分）集合B=｛x|x2﹣2x﹣3＜0｝={x｜﹣1＜x＜3}，（4分)所以A∪B=｛x｜﹣2≤x＜3｝．（7分）(II）解:集合A=｛x｜｜x|≤a｝={x|﹣a≤x≤a｝（a＞0)，（9分）因為A?B,所以（11分）解得a＜1，所以0＜a＜1，即a的范圍為（0，1)．(13分)點評：本題主要考查絕對值不等式、一元二次不等式的解法，集合間的包含關(guān)系，屬于中檔題．16．（13分)設等差數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，且a2=2，S4=10,數(shù)列{bn}滿足an=log2bn，其中n∈N＊．（I)求數(shù)列｛an}的通項公式;（II）求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析:（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，結(jié)合題意列出方程求出首項、公差，代入通項公式；(II)由(I）和條件求出bn,再代入anbn及Tn,利用錯位相減法求出Tn．解答：解:(I）設等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2=2，得a1+d=2，①由S4=10,得，②由①和②解方程，得a1=1,d=1,∴an=a1+（n﹣1）d=n．（II)由(I）得，an=n=log2bn，∴,anbn=n?2n,∴,①則，②由①﹣②得，,∴，∴數(shù)列{anbn｝的前n項和．點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，以及對數(shù)的運算，錯位相減法求數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．17．（13分)已知函數(shù)，其中a∈R．（I）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；（II）若a=3，求函數(shù)f（x）的極值．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（I）利用奇函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；（II)求導函數(shù),利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x)的極值．解答：解：（I)函數(shù)的定義域為｛x|x∈R且x≠0｝．（1分）因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，（5分)(II）因為，所以．(8分）令f′(x）=0，解得x=±1．（9分）當x變化時,f(x)與f′（x)的變化情況如下表:x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，0）（0，1）1（1，+∞)f′（x）+0﹣﹣0+f（x）極大值極小值（11分)所以當x=﹣1時，f（x）有極大值f（﹣1)=﹣4，當x=1時,f（x)有極小值f(1）=4．(13分）點評:本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查導數(shù)知識的運用，屬于中檔題．18．（13分）某漁業(yè)公司今年初用100萬元購進一艘漁船用于捕撈,已知第一年需各種費用4萬元，從第二年開始包括維修費在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加2萬元．（I）寫出該漁船前四年每年所需的費用（不含購買費用）；(II）假設該漁船在其年平均花費額(含購買費用）最低的時候報廢,試求此漁船的使用年限？考點:函數(shù)模型的選擇與應用；基本不等式．專題:應用題;函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析:（I）根據(jù)第一年需各種費用4萬元，從第二年開始包括維修費在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加2萬元,可得結(jié)論；（II）確定總花費函數(shù)，可得年平均花費額，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．解答:（I）解:設第n年所需費用為an（單位萬元），則a1=4，a2=6，a3=8，a4=10,（2分）（II）解：設該漁船使用了n(n∈N*）年，其總花費為y萬元，則，（5分)所以該漁船的年平均花費額為，（8分)因為W=，所以當，即n=10時，年平均花費額W取得最小值23．（12分）答：此漁船的使用年限為10年．（13分)點評:本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題．19．（14分）設函數(shù)，且,其中n=1，2，3,…．（I）計算a2，a3的值；（II)設a2=2,求證：數(shù)列{bn｝為等比數(shù)列；（III）求證：．考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．分析：（I)利用數(shù)列遞推式，代入計算可得結(jié)論；（II）利用等比數(shù)列的定義,即可證得結(jié)論；（III)結(jié)合數(shù)列的通項，利用作差法，即可證明結(jié)論．解答：（I）解：由題意,得，（1分）因為，所以，，(3分）（II）證明：因為,所以．所以數(shù)列{bn｝是首項,公比為的等比數(shù)列，(7分)（III)證明：由（II）,得，（8分）所以．（9分)因為，且當n∈N*時，2n﹣1﹣1≥0，2n+2＞0,所以，即．（12分）因為,所以an＜1．綜上，對于任意n∈N*，都有．(14分）點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20．（14分)已知函數(shù),．（I）求函數(shù)f（x）的解析式；（II)若對于任意x∈(0，+∞），都有f(x）+g（x）≤a成立，求實數(shù)a的取值范圍;（III）設x1，x2，a1，a2＞0,且a1+a2=1，求證:a1lnx1+a2lnx2≤ln（a1x1+a2x2）．考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用;函數(shù)解析式的求解及常用方法;函數(shù)恒成立問題．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（I）欲求函