醫(yī)科數(shù)學(xué)：第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三節(jié)微分第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、中值定理二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（最值）四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)五、函數(shù)曲線的漸近線六、函數(shù)圖形的描繪七、醫(yī)學(xué)曲線的性態(tài)分析2定理2-3設(shè)函數(shù)在鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，總有[

]，則當(dāng)存在時(shí)，有一、中值定理（Fermat定理）證:即故即當(dāng)存在時(shí)，有有因3若在閉區(qū)間[a,b]上為常數(shù)，則結(jié)論顯然成立．證明方程根的存在性、唯一性及判斷方程的實(shí)根個(gè)數(shù)和范圍．一、中值定理(Rolle定理)定理2-4若函數(shù)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)（

），使得：證:若在閉區(qū)間[a,b]上不為常數(shù)，則在[a,b]上必有最大值M和最小值m，且其中至少有一個(gè)不等于

．不妨設(shè)，(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使則在由知存在，故由定理2-3得4一、中值定理（Lagrange中值定理）定理2-5若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ<b）使得：拉格朗日此定理稱為拉格朗日中值定理，它是利用導(dǎo)數(shù)的局部性研究函數(shù)的整體性的重要工具，橋梁．因此，它是微積分的重要定理．微分中值定理，也稱為是溝通函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的或5一、中值定理（Lagrange中值定理）定理2-5若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ<b）使得：證:構(gòu)造輔助函數(shù)由f(x)的可導(dǎo)性，得容易驗(yàn)證，滿足定理2-4(Rolle)的三個(gè)條件，故至少存在一點(diǎn)即6一、中值定理（Lagrange中值定理）推論1推論1若對任意的x∈(a,b)，有則證：對任意的x1，x2∈(a,b)，在[x1,

x2]上應(yīng)用Lagrange中值定理可得7一、中值定理（Lagrange中值定理）推論2推論2若對任意的x∈(a,b)，有則即證：令F(x)=f(x)－g(x)，則故8即存在ξ∈(a,b)，使得一、中值定理例1.設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ

，使

F(x)在[a,b]上滿足Lagrange中值定理?xiàng)l件，故證：令則9一、中值定理例2.已知函數(shù)，不解方程，說明其根的個(gè)數(shù)和范圍。故由Rolle定理可得，存在ξ1∈(1,2)，ξ2∈(2,3)使得證：10練習(xí)題及答案證明方程至少有一個(gè)小于1的正根．

容易看出，f(x)在[0,1]上滿足Rolle定理?xiàng)l件，即存在ξ∈(0,1)，使得亦即證：令洛必達(dá)法則11補(bǔ)充練習(xí)題及答案

已知y=f(x)在[1,e]上可導(dǎo)，0<f(x)<1，且在(1,e)內(nèi)恒有，證明在(1,e)內(nèi)方程f(x)=lnx有且只有一個(gè)根．證：令得方程f(x)=lnx，在(1,e)內(nèi)至少有一個(gè)根．則由F(x1)=F(x2)=0及Rolle定理可得：故方程f(x)=lnx，在(1,e)內(nèi)有且只有一個(gè)根．跳過練習(xí)12二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（定理2-6-1

）若f’(x)和g’(x)仍滿足定理2-6-1的條件，則有若洛必達(dá)則有洛必達(dá)法則13二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則

柯西中值定理

若函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且柯西柯西中值定理，則在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ<b）使得：14二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則

定理2-6-1

(證明)證明：若(1)(2)(3)則在[x0,x]或[x,x0]上應(yīng)用柯西中值定理：15二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則

定理2-6-1

(證明)證明：若無則令則且當(dāng)時(shí)有：(1)(2)(3)16二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則

定理2-6-1

(證明)故在[x0,x]或[x,x0]上應(yīng)用柯西中值定理，有

(1)(2)(3)17二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則

定理2-6–2

(證明)則證明：(1)(2)(3)定理2-6-318二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則

定理2-6-3

(證明)證明：洛必達(dá)法則的應(yīng)用(1)(2)(3)19二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則

定理2-6-(3)

(證明)20二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則

此法則主要解決在自變量x的某一變化趨勢下，對應(yīng)的函數(shù)f(x)、g(x)同時(shí)趨于0或同時(shí)趨于∞時(shí)，

例如：的極限問題．這種的極限稱為未定式．常見的未定式還有：它們都可以化為的形式求極限．，21二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（例題）例1.例2.22二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（例題）例3.23二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（例題）例4.例5.24二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（例題）例6.25二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（練習(xí)題1,2）1.26二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（練習(xí)題3）3.27二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（練習(xí)題4）4.醫(yī)科Ⅱ作業(yè)4:P58:24,25,26,

27(3)(4)(5)(6).28二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（例題）例7.29二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（例題）例8.？例9.31二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（例題）例10.32二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則（例題）例11.解：醫(yī)科Ⅲ作業(yè)3:P58-59:24,25,26,

27(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10).33練習(xí)題1.2.3.4.5.34練習(xí)題答案1.35練習(xí)題答案2.36練習(xí)題答案3.

37練習(xí)題答案4.38練習(xí)題答案5.39二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則洛必答法則不是萬能的，例如：1.40二、L’Hospital（洛必達(dá)）法則2.41三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（單調(diào)性）1.函數(shù)的單調(diào)性從幾何上易見：42三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（單調(diào)性）定理2-7若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)有證明：43三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（單調(diào)性）再證充分性：44三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（單調(diào)性，例題）例1.例2.45三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（單調(diào)性，例題）例3.46三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（單調(diào)性，例題）例4.47三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（單調(diào)性）導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)，函數(shù)單調(diào)增減的分界點(diǎn)只可能是臨界點(diǎn)．又如：導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可能是、也可能不是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)．例如：48練習(xí)題跳過練習(xí)1.證明：2.證明：3.證明：醫(yī)科Ⅱ作業(yè)5:P59:27(7)(8)(9)(10),29.49練習(xí)題答案1.分析：證：50練習(xí)題答案2.分析：證：513.分析：證：52三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（極值）2.函數(shù)的極值函數(shù)單調(diào)增減的分界點(diǎn)構(gòu)成了函數(shù)曲線的“高峰”和“低谷”，稱為函數(shù)的極大值(localmaximum)和極小值

(localminimum).定義2-3或53可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處有三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（極值）

函數(shù)的極大值和和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值

(extremevalue)，函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)(extremepoint)．

極值的概念具有局部性，它只在極值點(diǎn)附近比較函數(shù)值大小．，這是可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件．54三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（極值）定理2-8若y=f(x)

在點(diǎn)x0處可導(dǎo)且取得極值，則滿足的點(diǎn)稱為該函數(shù)的駐點(diǎn)證：以極大值為例，(stationarypoint).可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．如：55三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（極值）定理2-9（極值的第一判別法）56三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（極值）證：(1)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有如果f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)不存在，但在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則仍可用定理2-9來判斷極值．57三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（極值）如：于是得出求極值的步驟：(1)求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)；(2)在定義域內(nèi)求出函數(shù)的全部臨界點(diǎn)；(3)用定理2-9來判斷所求點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，若是，則求出極值．58三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（例題）例1.

求函數(shù)的極值．極大值極小值(2)(3)列表解：(1)59三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（極值）定理2-10（極值的第二判別法）證：60三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（例題）例2.求函數(shù)極值．解：61三、函數(shù)的單調(diào)性和極值（最值）3.最大值和最小值

(1)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值必在極值點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處取得．（有限個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）

(2)若連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)的最大值和最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得．

(3)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且只有一個(gè)極值，則其必為函數(shù)的最大值或最小值．62(3)函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)定義2-4設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)．若在(a,b)內(nèi)的任何一點(diǎn)處都有函數(shù)曲線位于此點(diǎn)處切線的上方，則稱函數(shù)曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的(concave)，反之,則稱函數(shù)曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的(convex)．易見：63四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)定理2-11證明：(1)任取64四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)在則函數(shù)曲線位于切線的上方，應(yīng)用拉格朗日中值定理可得65四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)（例題）例如：對函數(shù)點(diǎn)(0,0)是該曲線凹凸性的分界點(diǎn)，稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn)一定是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)．(inflectionpoint)，66四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)判斷曲線凹凸性和求拐點(diǎn)的步驟：(1)求函數(shù)的定義域和二階導(dǎo)數(shù)；(2)求使二階導(dǎo)數(shù)等于零和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；(3)用定理2-11判斷各小區(qū)間內(nèi)曲線的凹凸性，并求出拐點(diǎn)坐標(biāo)．注：函數(shù)凹凸性的分界點(diǎn)不一定是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)．如：f(x)=1/x，x=0.醫(yī)科Ⅲ作業(yè)4:P59-60:29,30(2)(5).67離原點(diǎn)時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)M與某一直線L的距離趨近于零，五、函數(shù)曲線的漸近線定義2-5當(dāng)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M沿著曲線C無限地遠(yuǎn)或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”則稱此直線L為曲線C的漸近線（asymptote）．681.水平與鉛直（垂直）漸近線五、函數(shù)曲線的漸近線（例題）若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線；為垂直漸近線.692.斜漸近線五、函數(shù)曲線的漸近線若70例2.

求曲線五、函數(shù)曲線的漸近線（例題）的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因?yàn)榍€的斜漸近線.71五、函數(shù)曲線的漸近線（練習(xí)題）

一般地，有間斷點(diǎn)的函數(shù)曲線才可能有垂直漸近線，定義域?yàn)闊o窮區(qū)間的函數(shù)曲線才可能有水平漸近線和斜漸近線。解:醫(yī)科Ⅱ作業(yè)6:P59-60:30(2)(5),31(3)(7),35,36,39.72六、函數(shù)圖形的描繪1.

求函數(shù)的定義域，討論函數(shù)的奇偶性和周期性；2.求出使函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和不存在的點(diǎn)；3.用這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表討論函數(shù)的單調(diào)性與極值、凹凸性與拐點(diǎn)；

4.求函數(shù)的間斷點(diǎn)，討論函數(shù)曲線是否有垂直漸近線。若函數(shù)的定義域?yàn)闊o窮區(qū)間，則討論函數(shù)曲線是否有水平漸近線和斜漸近線；

5.求曲線的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)坐標(biāo)及曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)需要補(bǔ)充一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)；

6.在直角坐標(biāo)系下，先標(biāo)明這些關(guān)鍵點(diǎn)，畫出漸近線，再按照曲線的性態(tài)逐段描繪，最后便得到函數(shù)圖形。

73六、函數(shù)圖形的描繪（例題）例1.

描繪的圖形.解:1.無奇偶性及周期性.4.無漸近線.2.極大值拐點(diǎn)極小值5.6.3.列表74六、函數(shù)圖形的描繪（例題）例2.

描繪函數(shù)的圖形.解:1.圖形對稱于

y

軸.2.3.判別曲線性態(tài)(極大)(拐點(diǎn))754.求漸近線六、函數(shù)圖形的描繪（例題）(極大)(拐點(diǎn))為水平漸近線.無鉛直漸近線和斜漸近線.6.作圖:5.無補(bǔ)充點(diǎn).76六、函數(shù)圖形的描繪（練習(xí)題）描繪方程的圖形.解:1.2.求關(guān)鍵點(diǎn)醫(yī)學(xué)曲線的性態(tài)分析77六、函數(shù)圖形的描繪（練習(xí)題）3.判別曲線性態(tài)極大值極小值4.求漸近線為鉛直漸近線.無定義無水平漸近線.78六、函數(shù)圖形的描繪（練習(xí)題）又因5.求特殊點(diǎn)為斜漸近線.79六、函數(shù)圖形的描繪（練習(xí)題）6.繪圖極大值極小值斜漸近線鉛直漸近線特殊點(diǎn)無定義80七、醫(yī)藥學(xué)曲線的性態(tài)分析例1.曲線f(x)凸增曲線

f(x)減速增加曲線f(