相似三角形培優(yōu)

相似三角形綜合培優(yōu)題型基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)梳理：知識(shí)點(diǎn)1有關(guān)相似形的概念(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形.(2)如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比(相似系數(shù))．知識(shí)點(diǎn)2比例線段的相關(guān)概念（1）如果選用同一單位量得兩條線段的長(zhǎng)度分別為，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一。（2）在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：．=2\*GB3②a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),a、c叫比例前項(xiàng)，b、d叫比例后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)，此時(shí)有。知識(shí)點(diǎn)3比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）（1）基本性質(zhì)：①；②．注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為，還可化為，，，，，，．（2）更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：（3）反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)：．知識(shí)點(diǎn)4比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.由DE∥BC可得：2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.知識(shí)點(diǎn)5相似三角形的概念①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．③兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．=4\*GB3④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．知識(shí)點(diǎn)6三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價(jià)關(guān)系：①反身性：對(duì)于任一有∽．②對(duì)稱性：若∽，則∽．③傳遞性：若∽，且∽，則∽(2)三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．定理的基本圖形：用數(shù)學(xué)語言表述是：，∴∽．知識(shí)點(diǎn)7三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似．：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。典型例題剖析：題型一、相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題例題1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB1∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值．

變式訓(xùn)練.如圖，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）①當(dāng)t=2.5s時(shí)，求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；

（2）在P，Q移動(dòng)的過程中，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值．

題型二、構(gòu)造相似輔助線——雙垂直模型例題.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式．

變式訓(xùn)練.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長(zhǎng)．

題型三、構(gòu)造相似輔助線——A、X字型例題.如圖：△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。

求證：

變式訓(xùn)練.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EF∥AB，且EF交BC于點(diǎn)F，某同學(xué)在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

(1)當(dāng)時(shí)，EF=；(2)當(dāng)時(shí)，EF=；(3)當(dāng)時(shí)，EF=．當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明．

題型四、相似類定值問題例題.如圖，在等邊△ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD、CD的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．

求證：．

變式訓(xùn)練.已知：如圖，梯形ABCD中，AB//DC，對(duì)角線AC、BD交于O，過O作EF//AB分別交AD、BC于E、F。

求證：．

題型五、相似之共線線段的比例問題例題.（1）如圖1，點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上，一直線過點(diǎn)P分別交BA，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，S，交于點(diǎn)．求證：

（2）如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或的延長(zhǎng)線上時(shí)，是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明）；

變式訓(xùn)練。如圖，已知直線的函數(shù)表達(dá)式為，且與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與相似？（3）求出（2）中當(dāng)與相似時(shí)，線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式．OOPAQByx題型六、相似之等積式類型綜合例題.已知如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CA于F。

求證：

變式訓(xùn)練.如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)M在CD上，DH⊥BM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

求證：（1）△AED∽△CBM；（2）

題型七、相似基本模型應(yīng)用例題.△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．

（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：△BEM∽△CNE；

（2）如圖2，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論．

變式訓(xùn)練.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．

（1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；

（2）求BP：PQ：QR．

強(qiáng)化訓(xùn)練：如圖，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若?ABC固定不動(dòng)，?AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n.（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自