微積分原理（上） 課件ch01實(shí)數(shù)集與初等函數(shù)

實(shí)數(shù)集與初等函數(shù)“工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材清華大學(xué)本科優(yōu)秀教材建設(shè)項(xiàng)目資助微積分原理（上）第一章01實(shí)數(shù)集1.集合及其運(yùn)算集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，但很可惜，也是一個(gè)無法嚴(yán)格定義的基本概念。松散地說，具有某種特定性質(zhì)的對象匯總而成的集體稱為集合。這就是高等數(shù)學(xué)中通常使用的樸素集合論，構(gòu)成集合的對象稱為該集合的元素。通常用大寫英文字母如ABDS等表示集合，用小寫英文字母如a,b,x,y等表示集合中的元素，如果x是集合S中的元素，則稱x屬于集合S，記為xεS;如果x不是集合S中的元素，則稱x不屬于集合S，用符號xeS表示通常假設(shè)集合中兩個(gè)元素互異，因?yàn)槿绻嗤?，則視其為同一元素。含有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含無限個(gè)元素的集合稱為無限集。在本套教材中，我們用:N代表全體自然數(shù)組成的集合，即N={0,1,2,···};N+代表全體正整數(shù)組成的集合，即N+={1,2,···};Z代表全體整數(shù)組成的集合，即Z=NU(-N+)={···,-2,-1,0,1,2,···};Z+代表全體正整數(shù)組成的集合，即等于N+;Q代表全體有理數(shù)組成的集合，即Q=1.集合及其運(yùn)算R代表全體實(shí)數(shù)組成的集合，即由有理數(shù)與無理數(shù)組成的集合;R+表示正實(shí)數(shù)組成的集合;C代表全體復(fù)數(shù)組成的集合，即C={a+ib:a,bεR)，其中i=

是虛數(shù)單位.1.集合及其運(yùn)算1.集合及其運(yùn)算1.集合及其運(yùn)算由集合交集和并集的交換律及結(jié)合律，可以給出任意多個(gè)集合的交與并，例如在研究某個(gè)問題時(shí)所考慮的對象的全體稱為全集，記為U，設(shè)4是全集U的一個(gè)子集，全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集或余集,記為AC，即AC=U-A(或U\A).集合運(yùn)算中的兩個(gè)重要等式，即“德·摩根律”為設(shè)A與B是兩個(gè)集合，定義A和B的直積(或笛卡兒乘積)AXB為2.映射定義1.1.1設(shè)A和B是兩個(gè)非空集合若存在對應(yīng)法則Φ，使得對?xεA，按照對應(yīng)法則Φ，有唯一的yεB與之相對應(yīng)，稱Φ是從A到B的映射，記為Φ:A→B，x|→y=Φ(x)，簡記為y=Φ(x)，稱y為x在映射Φ下的像，而x為y在映射Φ下的一個(gè)原像，集合A稱為映射的定義域，記為D(Φ);A中所有元素在映射Φ下的像所組成的集合稱為映射Φ的值域，記為R(Φ)，即設(shè)有映射Φ:A→B.若對?x1,x2εA滿足x1≠x2，有Φ(x1)≠(x2)，稱映射Φ是從A到B的單射;若B中的任一元素都是A中某個(gè)元素的像，即B=Φ(A)，稱映射Φ是從A到B的滿射，若映射Φ:A→B既是單射又是滿射，稱Φ是從A到B的雙射，或稱其為A與B之間的一一映射。3.可數(shù)集如果集合4只有有限個(gè)元素，則定義該集合的基數(shù)為其元素個(gè)數(shù)n，記為card(4)=n.但是微積分所涉及的集合基本都是無限集。兩個(gè)無限集的元素多少是否可以相互比較?這是微積分的一個(gè)根本性問題，也是數(shù)學(xué)家康托爾最初研究的.康托爾認(rèn)為，如果兩個(gè)無限集之間存在一個(gè)一一映射，則這兩個(gè)無限集的基數(shù)相等，把正整數(shù)集N+={1,2,3,···}的基數(shù)記為3.可數(shù)集而形成與正整數(shù)的一一映射。實(shí)際上，可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并集是可數(shù)的.設(shè)A1,A2,A3,···均為可數(shù)集，3.可數(shù)集3.可數(shù)集3.可數(shù)集4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)實(shí)數(shù)集最基本的性質(zhì)是關(guān)于加、減、乘、除四則運(yùn)算封閉，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)相加、相減、相乘、相除的結(jié)果都是實(shí)數(shù)，減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，因此加法和乘法是最基本的兩種運(yùn)算，實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算滿足下列規(guī)律，(1)加法結(jié)合律:(2)加法交換律:(3)加法運(yùn)算有單位元0:(4)加法運(yùn)算有逆運(yùn)算減法，等價(jià)地，每個(gè)實(shí)數(shù)x關(guān)于加法運(yùn)算有逆元-x為x的相反數(shù)):4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)乘法運(yùn)算也滿足類似的規(guī)律:(5)乘法結(jié)合律:(6)乘法交換律:(7)乘法運(yùn)算有單位元1:(8)乘法運(yùn)算有逆運(yùn)算除法，等價(jià)地，每個(gè)非零實(shí)數(shù)x關(guān)于乘法運(yùn)算有逆元x-1(為x的倒數(shù)):(9)乘法對加法的分配律:一個(gè)集合如果至少包含兩個(gè)元素，且元素間有兩種運(yùn)算，滿足規(guī)律(1)~規(guī)律(9)，則稱該集合關(guān)于這兩種運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)域.所有實(shí)數(shù)關(guān)于加法和乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)域，稱之為實(shí)數(shù)域.4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)實(shí)數(shù)的另一個(gè)基本性質(zhì)是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)可比較大小，實(shí)數(shù)的比較大小關(guān)系有四種:“小于等于≤”、“嚴(yán)格小于<”、“大于等于≥”和“嚴(yán)格大于>”，這四種關(guān)系可相互定義，所以只需討論其中一種，不妨考慮小于等于關(guān)系“≤”，有下列規(guī)律:(10)自反性:(11)反對稱性:(12)傳遞性:(13)全序性:(14)與加法的相容性:(15)與乘法的相容性:4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)一個(gè)非空集合，若在它的元素間定義了一種關(guān)系“<”滿足規(guī)律(10)~規(guī)律(12)，則稱該集合關(guān)于這種關(guān)系“<”構(gòu)成一個(gè)有序集:如果這種關(guān)系還滿足規(guī)律(13)，則稱之為全序集，如果一個(gè)域是一個(gè)全序集，且序關(guān)系滿足規(guī)律(14)與規(guī)律(15)，則稱之為有序域.因此實(shí)數(shù)域是一個(gè)有序域.實(shí)數(shù)間可比較大小，正因如此，實(shí)數(shù)能夠在現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)研究中被廣泛應(yīng)用。在分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域，經(jīng)常需要應(yīng)用實(shí)數(shù)的大小比較對一些難以準(zhǔn)確掌握其精確值或者不必要準(zhǔn)確掌握其精確值的量進(jìn)行放大或縮小，這樣的過程所得到的數(shù)量關(guān)系就是不等式。所以，不等式的建立在分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有十分重要的作用，下面的平均值不等式是常用的不等式:4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)實(shí)數(shù)集的子集稱為數(shù)集，微積分中最常見的一類數(shù)集是區(qū)間，給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a.b滿足a<b，則集合分別稱為開區(qū)間、左開右閉區(qū)間、左閉右開區(qū)間、閉區(qū)間.,b分別稱為這些區(qū)間的端點(diǎn)。左開右閉區(qū)間和左閉右開區(qū)間統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間.4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)實(shí)數(shù)集的一個(gè)重要特性是實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，即實(shí)數(shù)布滿了整個(gè)數(shù)軸，稱這個(gè)性質(zhì)是實(shí)數(shù)集的連續(xù)性，也稱實(shí)數(shù)集的完備性.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)是通過坐標(biāo)來實(shí)現(xiàn)的，因此我們不區(qū)分實(shí)數(shù)與它所對應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，例如，數(shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為x，我們說點(diǎn)x或數(shù)x.實(shí)數(shù)集的完備性這一重要特性使得能夠在幾何上刻畫如長度、角度、面積、體積等量，在物理上刻畫如時(shí)間、溫度、質(zhì)量等各種可連續(xù)變化的量，這使得實(shí)數(shù)在人們的實(shí)際生活和科學(xué)研究中具有十分廣泛的應(yīng)用。4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)而這一重要特性最初是被誤解的，人類對數(shù)的認(rèn)識有幾次跳躍式的發(fā)展，首先是從自然數(shù)開始的，自然數(shù)對加法、乘法運(yùn)算封閉，但對減法運(yùn)算不封閉，這樣就引進(jìn)了整數(shù)集:后來在解形如2x=3的方程時(shí)發(fā)現(xiàn)整數(shù)不夠用了，于是有了有理數(shù);等到畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理，認(rèn)知單位正方形的對角線長度、2不是有理數(shù)4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)命題1.1.1任意非空開區(qū)間(a,b)都含有無窮多個(gè)有理數(shù)4.實(shí)數(shù)集的性質(zhì)命題1.1.2無理數(shù)在實(shí)數(shù)集中是密的實(shí)數(shù)是從有理數(shù)擴(kuò)充而來的，它區(qū)別于有理數(shù)的本質(zhì)特性是全體實(shí)數(shù)可以填充直線上的所有點(diǎn)，而不會(huì)在直線上留有空隙，這就是實(shí)數(shù)集的完備性，實(shí)數(shù)域的完備性如何用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表述，是需要討論的問題。因?yàn)橹挥薪o出了這一特性的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)表述，才有可能把它作為正確推理的基礎(chǔ)來應(yīng)用，這個(gè)問題曾長期被人們忽視，直到19世紀(jì)后半葉才由德國數(shù)學(xué)家戴德金(RichardDedekind，1831-1916)注意到并經(jīng)過多年的苦心研究成功地解決，戴德金認(rèn)識到，由于實(shí)數(shù)是和直線上的點(diǎn)一一對應(yīng)的，因此刻畫實(shí)數(shù)域的完備性問題等同于刻畫直線上的點(diǎn)沒有間隙，即直線的連續(xù)性問題。戴德金的方法是把直線分成左右兩部分，進(jìn)而把“直線上沒有間隙”這一形象的表述轉(zhuǎn)化為“或者左邊的部分有最大的點(diǎn)，或者右邊的部分有最小的點(diǎn)”，即“一定存在一個(gè)分點(diǎn)”這樣數(shù)字化的表述.5.戴德金原理定義1.1.2定義1.1.35.戴德金原理例1.1.4戴德金原理設(shè)(A,B)是實(shí)數(shù)域的一個(gè)戴德金分劃，則要么下類4中有最大數(shù)，要么上類B中有最小數(shù).這個(gè)原理可等價(jià)地表述為:設(shè)(A,B)是實(shí)數(shù)域的一個(gè)戴德金分劃，則存在唯一的實(shí)數(shù)c使得6.確界原理定義1.1.4實(shí)數(shù)域的完備性除可用戴德金原理刻畫外，還有其他等價(jià)的刻畫，下面介紹確界原理，它在后面的討論中發(fā)揮著重要的作用.命題1.1.3實(shí)數(shù)集S是有界集當(dāng)且僅當(dāng)S既有上界又有下界.6.確界原理定義1.1.5設(shè)有非空數(shù)集S，若存在數(shù)aεeR滿足下列性質(zhì):一個(gè)非空數(shù)集，若有下界，則一定有無窮多個(gè)下界，把最大的下界稱為下確界，即6.確界原理定義1.1.6設(shè)有非空數(shù)集S，若存在數(shù)βεR滿足下列性質(zhì):6.確界原理定理1.1.1(確界原理)若非空數(shù)集ScR有上界，則S存在唯一的上確界;若非空數(shù)集S有下界，則S存在唯一的下確界.數(shù)集是數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集.在幾何上，一個(gè)數(shù)集S的上界具有這樣的性質(zhì):它的右邊沒有數(shù)集S中的點(diǎn)，因此它的右邊都是數(shù)集S的上界，換句話說，S的所有上界的集合是數(shù)軸上的正向射線，該射線的端點(diǎn)就是數(shù)集S的上確界。確界的存在性反映了實(shí)數(shù)集的連續(xù)性這一重要特性，即實(shí)數(shù)布滿了整個(gè)數(shù)軸且實(shí)數(shù)集是完備的.02初等函數(shù)1.函數(shù)的概念函數(shù)是定義在兩個(gè)非空數(shù)集之間的映射.2.函數(shù)的一些特性下面回顧函數(shù)的幾種簡單特性.2.函數(shù)的一些特性2.函數(shù)的一些特性顯然，如果l是函數(shù)的一個(gè)周期，那么nl(nεZ+)也是該函數(shù)的周期，我們把函數(shù)的最小正周期稱為函數(shù)的周期，畫周期函數(shù)的圖像時(shí)，只要在長度為一個(gè)周期的區(qū)間上描繪出函數(shù)的部分圖像，然后將此圖像一個(gè)周期一個(gè)周期地向左、向右平移，就得到整個(gè)函數(shù)的圖像.3.函數(shù)的運(yùn)算以上兩個(gè)函數(shù)的四則運(yùn)算法則可推廣到任意有限個(gè)函數(shù)的情形.再回顧函數(shù)之間的復(fù)合運(yùn)算，兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)用“對應(yīng)關(guān)系傳遞”的方法能生成更多的函數(shù)，例如，函數(shù)z=ny與y=x-1構(gòu)成新函數(shù)z=m(x-1)，這里，z是y的數(shù)，y又是x的函數(shù)，于是通過媒介，得到z是x的函數(shù).3.函數(shù)的運(yùn)算4.基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)?(x)=xa，aεR是常數(shù)4.基本初等函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)?(x)=ax,1≠a>0，定義域?yàn)镽4.基本初等函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)?(x)=logax,1≠a>0，定義域?yàn)?0,+∞)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)不同，三角函數(shù)是通過幾何圖形即單位圓周上的弧與弦等對象及相關(guān)的三角形來定義的，因此探討三角函數(shù)需要借助幾何圖形.4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)，這六個(gè)函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)·觀察到，最基本的三角函數(shù)是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，其他四個(gè)三角函數(shù)都可由這兩個(gè)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算表示:4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)4.基本初等函數(shù)4.三角函數(shù)5.反函數(shù)及其存在條件5.反函數(shù)及其存在條件5.反函數(shù)及其存在條件6.反三角函數(shù)反三角函數(shù)是一類基本初等函數(shù)，也是一個(gè)多值函數(shù)，因此不能狹義地理解為三角函數(shù)的反函數(shù)，為限制反三角函數(shù)是單值函數(shù)，需要定義反三角函數(shù)的主值，歐拉提出反三角函數(shù)的概念，并首先使用“arc+三角函數(shù)名”的形式表示反三角函數(shù)，反三角函數(shù)包括反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割六個(gè)函數(shù).6.反三角函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增且是奇函數(shù)，如圖1-2-16所示.6.反三角函數(shù)6.反三角函數(shù)6.反三角函數(shù)由反三角函數(shù)定義容易觀察出下列等式成立:應(yīng)用三角函數(shù)的加法公式(1.2.6)，可得如下等式:6.反三角函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)，由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)是一類重要的函數(shù)，一方面，初等函數(shù)本身就有很多應(yīng)用:另一方面，對其他函數(shù)的研究也常常要直接或間接地借助初等函數(shù).7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)在工程技術(shù)上是常用的一類初等函數(shù).7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)7.雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切函數(shù)的反函數(shù)，分別稱為反雙曲正弦、反雙曲余弦、反雙曲正切函數(shù)，依次記為arsinh、arcosh和artanh.與反三角函數(shù)的不同之處