微積分原理（上） 課件ch05微分學基本定理及應用

微分學基本定理及應用“工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材清華大學本科優(yōu)秀教材建設項目資助微積分原理（上）第五章01微分中值定理1.極值的概念與費馬定理下面先給出函數在一點處取得極值的概念.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.1.極值的概念與費馬定理1.極值的概念與費馬定理1.極值的概念與費馬定理1.極值的概念與費馬定理2.微分中值定理洛爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理，統(tǒng)稱為微分中值定理.2.微分中值定理2.微分中值定理2.微分中值定理拉格朗日中值定理的幾何意義:閉區(qū)間上的連續(xù)曲線段，若曲線上每一點處都存在切線，則曲線上至少有一點C(c,?(c))，過該點的切線平行于連接兩點A(a,?(a))和B(b,?(b))的直線(如圖5-1-4所示).2.微分中值定理2.微分中值定理洛爾定理表明，可微函數的兩個零點之間一定有導函數的零點，因此可通過洛爾定理證明方程根的存在性及根的個數問題.02洛必達法則洛必達法則1.型不定式極限1.型不定式極限1.型不定式極限1.型不定式極限1.型不定式極限2.型不定式極限2.型不定式極限2.型不定式極限2.型不定式極限2.型不定式極限3.其他類型不定式極限3.其他類型不定式極限03泰勒公式及應用泰勒公式及應用在初等函數中，多項式是最簡單的函數。這是因為多項式函數只有加、減、乘三種運算.從而聯(lián)想到，如果能將復雜的函數近似地用多項式函數表示出來，而誤差又能滿足要求，顯然，這對函數性質的研究與函數值的近似計算都會帶來很大方便，由微分知道，如果?(x)在a點處可微，則其中o(x-a)是當xa時比x-a高階的無窮小量如果允許有誤差o(x-a)，則f)就可以用關于x-a的多項式f(a)+f(a)(x-a)近似代替如果要求誤差比(x-a)更小，例如，允許有誤差o((x-a)”)存在，我們希望用關于x-a的n次多項式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式1.泰勒公式2.基本初等函數的展開式2.基本初等函數的展開式2.基本初等函數的展開式2.基本初等函數的展開式2.基本初等函數的展開式2.基本初等函數的展開式2.基本初等函數的展開式3.泰勒公式的應用04單調性與極值1.函數的單調性我們在中學數學中學習了用代數方法研究一些函數的性態(tài)，如單調性、極值、奇偶性、周期性等，但受當時方法的限制，這些研究既不全面也不深入:導數為我們更廣泛、更深入地研究函數的性態(tài)提供了有力的工具，根據導數的幾何意義，如果曲線段y=f(x)(Vxe(a,b))在其上每點處都存在切線，且這些切線與軸正方向的夾角是銳角，有切線斜率f’(x)>0，此時函數在()內嚴格增加:如果切線與x軸正方向的夾角是角，有切線斜率f’(x)<0，此時函數在(ab)內嚴格減少，事實上，我們有下面的結論.1.函數的單調性1.函數的單調性2.函數取極值的條件2.函數取極值的條件2.函數取極值的條件05函數的凸性與函數作圖函數的凸性與函數作圖著名數學家希爾伯特(Hibert)曾說:“算術是寫下來的圖形，幾何圖形是畫下來的公式.”運用幾何圖形的直觀性和數形結合可解決一些代數問題.1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性1.函數的凸性2.曲線的漸近性定義5.5.4當曲線L上動點P沿著曲線L無限遠移時，若動點P到某直線1的距離無限趨近于零，則稱直線1是曲線L的漸近線.曲線的漸近線有三種:垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線.2.曲線的漸近性2.曲線的漸近性2.曲線的漸近性3.函數作圖我們已掌握了應用導數討論函數的單調性、凸性、極值點、拐點等的方法，從而能比較準確地描繪出一個函數的圖像，具體步驟如下.(1)求函數的定義域(確定圖像的范圍).(2)判別函數是否具有奇偶性或周期性(縮小描繪函數圖像的范圍).(3)求曲線的漸近線(包括垂直漸近線、水平漸近線及斜漸近線).(4)求函數f(x)的一階導數和二階導數，求出f’(x)=0,f’’(x)=0的解，并討論f(x)的單調性、極值、凸性及曲線的拐點，以及導數可能不存在的點的函數值.(5)計算函數的駐點、局部極值點，曲線的拐點坐標及曲線與坐標軸交點的坐標.(6)在直角坐標系中，先標明上述關鍵點的坐標，畫出漸近線，再按照曲線的性態(tài)逐段描繪.06方程求根的牛頓迭代公式方程求根的牛頓迭代公式方程的求根問題是一個基本數學問題，在應用科學和工程技術領域有著廣泛的應用。我們知道，閉區(qū)間上連續(xù)函數的零點存在定理給出了方程有根的一個很一般的充分條件，但這只是一個存在性定理，只保證了根的存在性，而沒有給出如何求根。在許多實際問題中，往往需要求出誤差可以很小的根的近似值，例如，實際應用中存在許多求函數的最大值、最小值問題，如果函數的最值是在開區(qū)間內取得的，該最值點即為極值點，而求函數f(x)的極值問題，可歸結為求方程x)=0的根的問題，再有，應用科學和工程技術領域有許多問題最后歸結為求代數方程的根的問題，代數學基本定理告訴我們，每個n次代數方程都有n個復根(重根按重數計算)，但只有n≤4的方程有求根公式，挪威數學家阿貝爾和意大利數學家拉菲尼獨立證明了當≥5時便沒有一般性的求根公式法國數學家伽羅瓦給出了當n≥5時特殊系數條件下存在求根公式的充要條件，順帶發(fā)明群論這一數學分支，對一般的高階多項式，可以應用數值方法求解方程的近似根，而設計一個快速收斂的數值算法，進而求出一個給定方程的誤差可任意小的近似根，在理論及實際應用中都具有非常重要的意義.方