數(shù)學與人的發(fā)展(二)

07十月2023數(shù)學與人的發(fā)展（二）重慶三峽學院查中偉07十月2023一門學科實現(xiàn)公理化的標志：一是它有一套基本術(shù)語，或原始概念；二是它有一組基本命題，或原始命題，或公理；三是其余的概念全由原始概念出發(fā)予以定義，其余的命題全由公理出發(fā)予以推理論證。起源于數(shù)學的公理化方法已經(jīng)產(chǎn)生廣泛影響，這種影響已經(jīng)越出數(shù)學范圍而進入其他自然科學領(lǐng)域，已經(jīng)越出自然科學而進人人文科學領(lǐng)域。數(shù)學的公理思想使數(shù)學作為文化具有更實際的意義。

一、公理方法的作用07十月2023數(shù)學的公理思想產(chǎn)生廣泛影響經(jīng)歷了一個過程，數(shù)學自身的公理化程度和水平也經(jīng)歷了不同的發(fā)展階段。牛頓力學建立了公理系統(tǒng)，即他的三大定律，這具有實質(zhì)公理化特征。對普通學生，從中學到大學本科，實質(zhì)公理化方法就已足夠的了，也是必要的。公理化不僅使數(shù)學本身的內(nèi)在統(tǒng)一性、和諧性得到充分的揭示，而且有利于人們更清晰地從微觀到宏觀看世界；公理化也不僅是使人更易認識世界，而且為數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造提供必要的啟示和工具；同時還對人自身邏輯思維的發(fā)展起極為積極的推動作用；公理方法在一定范圍內(nèi)也使思維經(jīng)濟有效。一、公理方法的作用07十月2023

算術(shù)公理，它由以下五條組成：

1．1屬于非空集(1只是一個符號)；

2．的每個元素有后繼數(shù)；

3．1不是任何元素的后繼數(shù)；

4．若，則(即兩元素之后繼數(shù)相等時，兩元素自身也相等)；

5．設(shè)，若1屬于，又若當屬于時，亦必屬于，則。

一、公理方法的作用07十月2023什么是“物質(zhì)”？“物質(zhì)是獨立于人的意識之外的客觀存在?！比绻@是關(guān)于物質(zhì)的定義，從邏輯上說，它使用了意識、客觀、存在等概念，那么這些概念就應(yīng)當是已知的。然而，什么叫“存在”呢?存在是“不依賴人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀世界，即物質(zhì)?！边@里又用“物質(zhì)”的概念定義了“存在”，而前面是用“存在”定義了“物質(zhì)”的。在黑格爾那里，“存在”是基本概念，是不必再加定義的，因而也就避免了起碼應(yīng)避免的邏輯缺陷。一、公理方法的作用07十月2023

“等腰三角形兩底角相等”為例看看是如何運用的。在三角形中，若，那么。下面是證明：作，交于。因為凡直角皆相等(大前提)，又和皆為直角(小前提)，所以(結(jié)論)；

一、公理方法的作用07十月2023

因為有兩邊對應(yīng)相等的兩直角三角形必全等(大前提)，又在和中，(小前提)，所以(結(jié)論)；因為凡全等三角形的對應(yīng)角相等(大前提)，又(小前提)，所以即(結(jié)論)。三段論中含3個項，大項、中項、小項，中項起中間作用，在結(jié)論中不出現(xiàn)。

一、公理方法的作用07十月2023

例子：“凡羊有兩只角，是一只羊，有兩只角”，這里，“羊”是中項，“兩只角”(的動物)是大項，是小項?？匆粋€哲學中的三段論：

——世界是物質(zhì)的，

——意識是世界的一部分，

——所以，意識是物質(zhì)的。

一、公理方法的作用07十月2023

大前提應(yīng)修改為“世界的本源是物質(zhì)的”。下面按修改后的大前提再作一三段推論：

——世界的本源是物質(zhì)的．

——意識是世界的一部分．

——所以，意識的本源是物質(zhì)的。物質(zhì)與意識是有密切聯(lián)系的，卻不能看成是一回事，也不能把一者看成是包含另一者的。太陽與地球緊密聯(lián)系著，但太陽是太陽，地球是地球。

一、公理方法的作用07十月2023唯物論認為物質(zhì)是第一性的，意識是第二性的，這就是說，意識的本源是物質(zhì)的。但決不認為意識本身就是物質(zhì)的或者意識是物質(zhì)的一部分。否則，并不是正確的認識了物質(zhì)與意識的關(guān)系，而是混淆了兩者的關(guān)系。

辯證唯物主義還認為，在一定條件下，物質(zhì)可以變精神，精神可以變物質(zhì)。一、公理方法的作用07十月2023數(shù)學的事實還證明，數(shù)學是要求嚴格遵守形式邏輯的，這一點不僅不妨礙辯證思維的發(fā)展，而且還為把握辯證邏輯提供了必需的基礎(chǔ)。

當我們說到公理的作用的時候，并不是說人文學科、社會學科都應(yīng)當建立在公理的基礎(chǔ)上，甚至它們能不能做到這一點我們也還不知道。但是，至少，公理的方法也是能給我們在人文科學、社會科學中進行推理的時候亦須注意或借鑒的基本事項。一、公理方法的作用07十月20231.歸納，類比不完全歸納是發(fā)現(xiàn)的開始，是創(chuàng)造的開始，是十分珍貴的思維形式之一。另一方面的事實是，兒童從小就有歸納的經(jīng)歷，1～2歲的小孩的語言符號就在迅速增加，第二信號系統(tǒng)在迅速擴張。其所以能這樣，原因之一就是他們首先是接觸歸納，并且能接受歸納。小孩子數(shù)(shǔ)數(shù)(shù)，開始學個位數(shù)困難一點，然后學十幾、二十幾，也困難一點，再往后學三十幾、四十幾、……的兩位數(shù)就不是很困難了，到了小學高年級，很大很大的數(shù)也能數(shù)(shǔ)。這也是歸納能力的表現(xiàn)。

二、數(shù)學直覺的作用07十月2023

可能有3個問題：一是不太清楚兒童是有歸納能力(不完全歸納)；二是不太清楚不完全歸納的珍貴；三是不太清楚在加強收斂性訓練、演繹訓練的同時，不僅不應(yīng)磨損了兒童的歸納品質(zhì)，而且還繼續(xù)關(guān)注他們在這方面的發(fā)展。

二、數(shù)學直覺的作用

怎么算?只要舍得花時間，一個個加就是了；如果要加到9999，時間上也花不起了。高斯小時候就有一個辦法，兩頭相加，1+99=100，2+98=100，這樣，首尾共有49對，還有中間一個50不與什么數(shù)搭對了，于是結(jié)果馬上出來了：

49×100+50=4950，

二、數(shù)學直覺的作用

與高斯同樣的思想，任何等差級數(shù)的求和都容易了，特別是正整數(shù)列求和：

。平方數(shù)求和呢?通常見到的是，一下子公式就給出來了：隨后便要求用數(shù)學歸納法證明。

二、數(shù)學直覺的作用

，，，這似乎還看不出什么來。我們還作些觀察，并列出一個表來看，為了方便，我們使用兩個記號：，

二、數(shù)學直覺的作用我們看到了第8項，似已(由不完全歸納)看出

，這樣，似可得到二、數(shù)學直覺的作用12345678136101521283615143055911402041數(shù)學歸納法其所以是必要的，是因為它的邏輯嚴謹，是進一步的可靠性保證，它的證明所包含的兩個步驟是必不可少的，還要強調(diào)的是：少了一步都有危險。完全歸納與不完全歸納相互聯(lián)系，相互依賴，各有優(yōu)點又各有缺陷。不完全歸納的優(yōu)點是發(fā)現(xiàn)，開拓，思維形式多樣、活潑。缺陷則在它的嚴謹性、可靠性上尚有疑問。兩者皆可貴，兩者聯(lián)合起來更珍貴。

二、數(shù)學直覺的作用類比是不能登上論證推理的大雅之堂的，可是，類比是非常重要的發(fā)現(xiàn)式思維，非常重要的創(chuàng)造性思維。它和不完全歸納一樣，雖不屬于論證推理，但它們都屬于似真推理，它們不最后確證真理，卻是逼近真理的必要途徑之一。(不完全)歸納由個別(或特殊)去發(fā)現(xiàn)一般(或普遍)，類比則是由此去發(fā)現(xiàn)彼或由彼去發(fā)現(xiàn)此。歸納是發(fā)現(xiàn)同類事物之間的聯(lián)系，類比是發(fā)現(xiàn)不同類別之間的聯(lián)系。歸納和類比都是想象的具體形式。

二、數(shù)學直覺的作用是一個發(fā)散級數(shù)(其和不存在，或為無窮大)，但是的情況則不同。又恰是上面那個發(fā)散級數(shù)給人以啟示，人們得到結(jié)論：當時發(fā)散，而當時它是收斂的。特別，當時，即級數(shù)是收斂的。

二、數(shù)學直覺的作用歐拉不愧為偉大的數(shù)學大師，當然也可稱他是一位善于歸納、類比的大師，他還是一位善于創(chuàng)造性地運用符號的大師(使用最經(jīng)濟有效的符號表達)。就在前一個求和的基礎(chǔ)上，他還探討了以下級數(shù)的和：這個和是。而且他還猜測(是某個正整數(shù))。

二、數(shù)學直覺的作用2.直覺雖然我們可以把直覺明確敘說為直接的覺察，但似乎也不能給人以明晰的感覺：直覺究竟是什么？然而，我們可在進一步的具體討論中去把握。直覺是指對事物直接的覺察、領(lǐng)悟甚至是印象?！斑@個人看來不是個好人?！睘槭裁矗俊皯{我的直覺。”說不出很明確的理由來。日常生活中的這種直覺多的是。數(shù)學直覺則是指對數(shù)學對象或問題(性質(zhì)、關(guān)系或結(jié)構(gòu))的直接領(lǐng)悟或覺察。

二、數(shù)學直覺的作用

1617年，笛卡兒還在軍營里服役，但服役期間就經(jīng)常思考數(shù)學問題，并解決過一些問題。1619年11月10日，他帶著一系列思索入睡了，一連作了幾個夢，這天晚上他感到自己“發(fā)現(xiàn)了一種不可思議的科學的基礎(chǔ)”，笛卡兒后來說：“第二天，我開始懂得這驚人發(fā)現(xiàn)的基本原理”。笛卡兒1619年的這一直覺發(fā)現(xiàn)，于1637年出版《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》一書，時隔18年，直覺作了先導。

二、數(shù)學直覺的作用1880年，龐加萊在尋求單復變自守函數(shù)的變換方法時，進行了長時間的工作，但毫無所獲，有一天，他決定暫時把工作擱下來，去鄉(xiāng)下旅行，然而當他剛登上車時，一個新穎的思想突然閃現(xiàn)，問題的答案可能就是那個非歐幾何變換。伯克利數(shù)學研究所所長開普蘭斯基在談到自己的體驗時說：“當一個難題糾纏你時，你會在長時間內(nèi)一無進展。有時某些東西數(shù)月甚至數(shù)年被你忽視，而后你突然間有了意想不到的發(fā)現(xiàn)，可你卻不知道它是從什么地方冒出來的?！?/p>

二、數(shù)學直覺的作用

3.直覺的特性心理學上，把直覺分為三個層次：直覺判斷，猜測，洞察；從直覺的不同特點看，直覺又分為辨識直覺、關(guān)聯(lián)直覺、審美直覺；從對直覺形成的不同理解上看，又可分為綜合型的、類推型的和選擇型的。這里，我們所要討論的是直覺的一些共同特點。

(1)非邏輯性

(2)偶然性，自發(fā)性

(3)易逝性

(4)情感性

二、數(shù)學直覺的作用

這些特點對增強自己直覺能力有許多實際的、具體的啟示：

a．當你百思不得其解時，有意無意地擱置一下，去做做別的事情，這種轉(zhuǎn)換期間獲得靈感的可能性是存在的。

b．當你持久的思索仍找不到答案的時候，暫時忘卻它，可能還會增加產(chǎn)生其他聯(lián)想的機會，不僅在不同的工作之間而且在工作與休閑之間轉(zhuǎn)換。c．有意思地進行各種形式的學術(shù)交流是十分必要的，閱讀同一學科的不同觀點的論文，甚至閱讀一點不同學科的論文或著作，尤其要有面對面的學術(shù)交流或思想碰撞。

d．與人合作是重要的，學術(shù)自由是重要的。

二、數(shù)學直覺的作用e．別忘了一些特殊的時辰有特殊的作用，別忘了一些特殊的地點和場合也有特殊的效果。

f．直覺出現(xiàn)的突然性、易逝性直接提醒我們，偶然進發(fā)出來的思想火花應(yīng)及時記載下來。

g．被記下的思想還需要進一步去琢磨它，因為直覺的可靠性還需要再檢驗。

h．直覺出現(xiàn)的非邏輯性、隨機性、易逝性等等，都不表明偶然性在支配一切。勤于思索是最重要的基礎(chǔ)，沒有這一必要基礎(chǔ)，一切機遇都會喪失。

二、數(shù)學直覺的作用

在人類文明中，有物質(zhì)文明和精神文明兩翼；在人類知識寶庫中，有科學技術(shù)和人文、社會兩翼；在人類創(chuàng)造之中，有直覺與邏輯的兩翼；很巧，人的大腦也有兩翼：左半腦和右半腦——這構(gòu)成了奇特的人類現(xiàn)象。1.直覺與邏輯的互補一個人的邏輯能力和直覺能力都是必要的，但很難說清什么比例是最佳的，由于兩種能力的性質(zhì)不同，更難以用定量的方式刻畫這種比例。一個具有創(chuàng)造力的人，決不能只有其一而缺另一。

三、左右腦開發(fā)當創(chuàng)造(包括學習中的創(chuàng)造)過程中直覺出現(xiàn)以后，隨之而來的一般是邏輯的加工和整理?？茖W工作的最終產(chǎn)品不是直覺，它必須有明確的結(jié)論和相應(yīng)的理論系統(tǒng)。相比于邏輯，直覺有時更困難，直覺更需要人的想象力、創(chuàng)造力。然而，對直覺成果的邏輯加工也不是一件簡單的事。甚至有這樣的例子，從直覺的意義上人們無法接受的東西，邏輯上卻證明了它的存在，人們還是不能不接受它，即使不情愿，即使你厭惡它。這是邏輯與直覺的互補作用。

三、左右腦開發(fā)2.左右腦問題左腦主要是語言的，分析的，數(shù)理的，以及邏輯推理的功能，其運行猶如串行的、繼時的信息處理，是因果式的思考方式，循序漸進，以線性方式處理信息。左腦是“語言中樞”，負責理解文字、語言、數(shù)字計算，將復雜的問題或事物細分成單個的要素，有條理地展開思維，具有確定性、收斂性的特點，并負責解決可行性問題。這是左腦的特點，也是優(yōu)點，卻同時也預示了左腦的缺點。左腦能處理抽象領(lǐng)域里的問題，卻無法處理形象領(lǐng)域里的問題；左腦在邏輯領(lǐng)域里暢行，卻難以處理非邏輯領(lǐng)域的問題；左腦在語言文字、符號數(shù)字所及的范圍大顯神通，卻不能處理尚未能用符號、語言表達而只能依賴直覺的問題。

三、左右腦開發(fā)

右腦具有形象性、非邏輯性，它有“縱觀全局”的本領(lǐng)，它的觸角可以伸展到意想不到的角落，它能處理尚未用語言符號正式表達的問題。右腦抗干擾，能在任何狀態(tài)中(甚至在睡眠狀態(tài)下)不停地工作。頓悟、靈感常常在無意識狀態(tài)下產(chǎn)生，這正是右腦的作用。所以，右腦是靈感、直覺、想象等創(chuàng)造性思想火花閃現(xiàn)的地方，是頓悟的發(fā)源地。如果不重視(不完全)歸納、類比、聯(lián)想及一般的直覺訓練，不重視非形式化內(nèi)容或不重視對數(shù)學思想實質(zhì)的介紹，右腦的訓練也就很微弱，右腦的許多優(yōu)點就難以發(fā)揚，右腦的開發(fā)就會碰到極大的困難。

三、左右腦開發(fā)左右腦都有突出的優(yōu)點，同時又都有各自的局限，因此，左右腦的同時開發(fā)是重要的，左右腦的相互配合是更重要的。左右腦的同時開發(fā)是人的全面發(fā)展的重要內(nèi)容。因此，同時注意邏輯訓練和直覺訓練的教育是關(guān)系人的全面發(fā)展的大事情，是關(guān)系培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的大事情。右腦有很多特點，但右腦需要左腦的刺激，需要左腦確定任務(wù)，并由左腦提供給右腦以能量和愉快心境的必要條件，以及對右腦形成的初看起來并無依據(jù)的“原材料”進行邏輯加工，進行分析、整理。三、左右腦開發(fā)左腦有很多特點，但左腦需要右腦提供材料，甚至在抽象時也需要右腦配合，例如在強抽象(內(nèi)涵增加，外延縮小)和完全理想化的抽象(如物理學中的質(zhì)點概念，幾何學中的點線面概念)中，需要右腦的綜合、想象來加以輔助。左腦猶如一位專門家，右腦則猶如一位萬能博士；左腦好比一個善于分析的戰(zhàn)術(shù)指揮官，右腦則是一位能“縱觀全局”的戰(zhàn)略家；左腦宛如一盤盤錄像帶，看到的情景，聞到的氣味，聽到的音頻，被收錄下來，像一座巨型倉庫，為了便于提取、組合，右腦就給錄像帶進行分類、編排并貼上標簽。左右腦是能彼此配合的。三、左右腦開發(fā)

3.關(guān)注右腦開發(fā)