(專題精選)初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)難題匯編含答案

（專題精選）初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)難題匯編含答案一、選擇題1．如圖，已知點A（4，0），O為坐標(biāo)原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D．當(dāng)OD=AD=3時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【詳解】過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2．由勾股定理得：DE=．設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴，即，解得：．∴BF+CM=．故選A．2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜1 B．﹣3＜x＜﹣1 C．x＜1 D．﹣3＜x＜1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)是（﹣3，0），∴當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣3＜x＜1．所以答案為：D．【點睛】此題考查拋物線的性質(zhì)，利用對稱軸及圖象與x軸的一個交點即可求出拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo).3．已知拋物線，其頂點為，與軸交于點，將拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，點的對應(yīng)點分別為，若四邊形為矩形，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，，結(jié)合矩形的性質(zhì)，列出關(guān)于c的方程，即可求解．【詳解】∵拋物線，其頂點為，與軸交于點，∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵將拋物線繞原點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，點的對應(yīng)點分別為，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，解得：．故選D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的幾何變換以及矩形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，關(guān)于原點中心對稱的點的坐標(biāo)特征以及矩形的對角線相等，是解題的關(guān)鍵．4．二次函數(shù)為常數(shù)，且)中的與的部分對應(yīng)值如表：············下列結(jié)論錯誤的是()A． B．是關(guān)于的方程的一個根；C．當(dāng)時，的值隨值的增大而減??； D．當(dāng)時，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)中的x與y的部分對應(yīng)值表，可以求得a、b、c的值然后在根據(jù)函數(shù)解析式及其圖象即可對各個選項做出判斷．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)的x與y的部分對應(yīng)值可知：當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，聯(lián)立以上方程：，解得：，∴；A、，故本選項正確；B、方程可化為，將代入得：，∴是關(guān)于的方程的一個根,故本選項正確；C、化為頂點式得：，∵，則拋物線的開口向下，∴當(dāng)時，的值隨值的增大而減??；當(dāng)時，的值隨值的增大而增大；故本選項錯誤；D、不等式可化為，令，由二次函數(shù)的圖象可得：當(dāng)時，，故本選項正確；故選：C．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正確結(jié)論的序號是()A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的開口方向可得出的符號，再由拋物線與軸的交點可得出的值，然后進一步根據(jù)對稱軸以及拋物線得出當(dāng)、、時的情況進一步綜合判斷即可．【詳解】由圖象可知，a＜0，c=1，對稱軸：x=，∴b=2a，①由圖可知：當(dāng)x=1時，y＜0，∴a+b+c＜0，正確；②由圖可知：當(dāng)x=?1時，y＞1，∴a?b+c＞1，正確；③abc=2a2＞0，正確；④由圖可知：當(dāng)x=?3時，y＜0，∴9a?3b+c＜0，正確；⑤c?a=1?a＞1，正確；∴①②③④⑤正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了拋物線的函數(shù)圖像性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．6．如圖，坐標(biāo)平面上，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣k的圖形與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其頂點為D，且k＞0．若△ABC與△ABD的面積比為1：4，則k值為何？()A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出頂點和C的坐標(biāo)，由三角形的面積關(guān)系得出關(guān)于k的方程，解方程即可．【詳解】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，∴頂點D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC＝k，∵△ABC的面積＝AB?OC＝AB?k，△ABD的面積＝AB(4﹣k)，△ABC與△ABD的面積比為1：4，∴k＝(4﹣k)，解得：k＝．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、拋物線的頂點式；根據(jù)三角形的面積關(guān)系得出方程是解決問題的關(guān)鍵．7．某二次函數(shù)圖象的頂點為，與軸交于、兩點，且．若此函數(shù)圖象通過、、、四點，則、、、之值何者為正？（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可以得到該函數(shù)的對稱軸，開口方向和與x軸的交點坐標(biāo)，從而可以判斷a、b、c、d的正負(fù)，本題得以解決．【詳解】∵二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（2，-1），此函數(shù)圖象與x軸相交于P、Q兩點，且PQ=6，∴該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線x=2，∴圖形與x軸的交點為（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函數(shù)圖象通過（1，a）、（3，b）、（-1，c）、（-3，d）四點，∴a＜0，b＜0，c=0，d＞0，故選：D．【點睛】此題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．8．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，本題得以解決．【詳解】由圖象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①錯誤，當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＝2，故②正確，當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，由a+b+c＝2得，a+c＝2﹣b，則a﹣b+c＝（a+c）﹣b＝2﹣b﹣b＜0，得b＞1，故④正確，∵，a＞0，得，故③正確，故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a＞0)經(jīng)過點M(﹣1，2)和點N(1，﹣2)，則下列說法錯誤的是()A．a(chǎn)+c＝0B．無論a取何值，此二次函數(shù)圖象與x軸必有兩個交點，且函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度必大于2C．當(dāng)函數(shù)在x＜時，y隨x的增大而減小D．當(dāng)﹣1＜m＜n＜0時，m+n＜【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)對各項進行判斷即可．【詳解】解：∵函數(shù)經(jīng)過點M(﹣1，2)和點N(1，﹣2)，∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2，∴a+c＝0，b＝﹣2，∴A正確；∵c＝﹣a，b＝﹣2，∴y＝ax2﹣2x﹣a，∴△＝4+4a2＞0，∴無論a為何值，函數(shù)圖象與x軸必有兩個交點，∵x1+x2＝，x1x2＝﹣1，∴|x1﹣x2|＝2＞2，∴B正確；二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a＞0)的對稱軸x＝﹣＝，當(dāng)a＞0時，不能判定x＜時，y隨x的增大而減??；∴C錯誤；∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0，∴m+n＜0，＞0，∴m+n＜；∴D正確，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的問題，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)c＞0 B．b＞0 C．a(chǎn)+c＜0 D．a(chǎn)+b+c＝0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】A.由圖象可知：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故A錯誤；B.由對稱軸可知：x＝＜0，∴b＜0，故B錯誤；C.由對稱軸可知：x＝＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1時，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴a+c＝a﹣3a＝﹣2a＞0，故C錯誤；故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于中等題型．11．如圖是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為.下列結(jié)論：①；②；③；④若是拋物線上兩點，則.其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】由拋物線開口方向得到a＜0，根據(jù)對稱軸得到b=-2a＞0，由拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，則可對①進行判斷；由b=-2a可對②進行判斷；利用拋物線的對稱性可得到拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），則可判斷當(dāng)x=3時，y=0，于是可對③進行判斷；通過二次函數(shù)的增減性可對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，

∵拋物線的對稱軸為直線，∴b=-2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，

∴abc＜0，所以①錯誤；∵b=-2a，∴2a+b=0，所以②正確；∵拋物線與x軸的一個交點為（-1，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），

∴當(dāng)x=3時，y=0，

∴，所以③錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x=1，且拋物線開口向下，∴當(dāng)x時，y隨x的增大而增大∵點到對稱軸的距離比點對稱軸的距離近，∴y1y2，所以④正確．故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．12．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結(jié)論：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】【分析】【詳解】解：∵拋物線和x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正確；∵對稱軸是直線x﹣1，和x軸的一個交點在點（0，0）和點（1，0）之間，∴拋物線和x軸的另一個交點在（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴把（﹣2，0）代入拋物線得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②錯誤；∵把（1，0）代入拋物線得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正確；∵拋物線的對稱軸是直線x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正確；即正確的有3個，故選B．考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系13．已知拋物線y＝x2+2x﹣m﹣1與x軸沒有交點，則函數(shù)y＝的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可求m＜﹣2，即可求解．【詳解】∵拋物線y＝x2+2x﹣m﹣1與x軸沒有交點，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函數(shù)y＝的圖象在第二、第四象限，故選B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，二次函數(shù)性質(zhì)，求m的取值范圍是本題的關(guān)鍵．14．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③＜a＜；④b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱性得到函數(shù)圖象經(jīng)過（3，0），則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過（-1，0）可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而對④作判斷；從圖象與y軸的交點B在（0，-2）和（0，-1）之間可以判斷c的大小得出③的正誤．【詳解】①∵函數(shù)開口方向向上，∴a＞0；∵對稱軸在y軸右側(cè)∴ab異號，∵拋物線與y軸交點在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A（-1，0），對稱軸為直線x=1，∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），∴當(dāng)x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯誤；③∵圖象與y軸的交點B在（0，-2）和（0，-1）之間，∴-2＜c＜-1∵-，∴b=-2a，∵函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=-3a，∴-2＜-3a＜-1，∴＜a＜；故③正確④∵函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，0），∴a-b+c=0，∴b-c=a，∵a＞0，∴b-c＞0，即b＞c；故④正確；故選B．【點睛】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣3﹣2﹣101234…y…1250﹣3﹣4﹣305…給出以下結(jié)論：（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c有最小值，最小值為﹣3；（2）當(dāng)﹣＜x＜2時，y＜0；（3）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4時，y1＞y2．上述結(jié)論中正確的結(jié)論個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可對每個選項進行判斷.【詳解】解：（1）函數(shù)的對稱軸為：x＝1，最小值為﹣4，故錯誤，不符合題意；（2）從表格可以看出，當(dāng)﹣＜x＜2時，y＜0，符合題意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4時，x2離對稱軸遠，故錯誤，不符合題意；故選擇：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，拋物線與x軸的交點，仔細(xì)分析表格數(shù)據(jù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在邊長為4的正方形中，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿向點運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿方向運動，當(dāng)運動到點時，點同時停止運動．設(shè)點運動的時間為t秒，的面積為，則表示與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】本題應(yīng)分兩段進行解答,①點P在AB上運動，點Q在BC上運動；②點P在AB上運動，點Q在CD上運動，依次得出S與t的關(guān)系式，即可判斷得出答案．【詳解】解：當(dāng)點P在AB上運動，點Q在BC上運動時，此時，，函數(shù)圖象為拋物線；當(dāng)點P在AB上運動，點Q在BC上運動時，此時，，底邊AP上的高保持不變，函數(shù)圖象為一次函數(shù)；故選：D．【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)圖象，理解題意，分段求出與之間的函數(shù)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．17．函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)a、b的符號，針對二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置，開口方向，分類討論，逐一排除．【詳解】當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正確；由B、C中二次函數(shù)的圖象可知，對稱軸x=-＞0，且a＞0，則b＜0，但B中，一次函數(shù)a＞0，b＞0，排除B．故選C．18．在同一直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像的交點的個數(shù)至少有()A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象位置，畫出圖象，直接判斷交點個數(shù)．【詳解】若二次函數(shù)的圖象在第三、四象限，開口向下，頂點在原點，y軸是對稱軸；反比例函數(shù)的圖象在第一，三象限，故兩個函數(shù)的交點只有一個，在第三象限．同理，若二次函數(shù)的圖象在第三、四象限，開口向下，頂點在原點，y軸