2024屆海南省儋州市第五中學數(shù)學九年級第一學期期末考試模擬試題含解析

2024屆海南省儋州市第五中學數(shù)學九年級第一學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是關于x的一元二次方程，那么m的值為（）A．2或－2 B．2 C．－2 D．02．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O，，，于點H，且DH與AC交于G，則OG長度為A． B． C． D．3．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，∠CDB＝25°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，則∠E的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．55° D．60°4．如圖，矩形的面積為4，反比例函數(shù)（）的圖象的一支經(jīng)過矩形對角線的交點，則該反比例函數(shù)的解析式是（）A． B． C． D．5．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，則這個方程根的情況是（）A．有兩個正根B．有一正根一負根且正根的絕對值大C．有兩個負根D．有一正根一負根且負根的絕對值大6．已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，給出以下結(jié)論：；當時，函數(shù)有最大值；方程的解是，；，其中結(jié)論錯誤的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．47．已知圓內(nèi)接正六邊形的邊長是1，則該圓的內(nèi)接正三角形的面積為（）A． B． C． D．8．矩形的長為4，寬為3，它繞矩形長所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的全面積是（）A．24 B．33 C．56 D．429．如圖，點D是△ABC的邊AB上的一點，過點D作BC的平行線交AC于點E，連接BE，過點D作BE的平行線交AC于點F，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．10．將二次函數(shù)的圖象先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象對應的函數(shù)表達式是（）A． B．C． D．11．一個鐵制零件(正方體中間挖去一個圓柱形孔)如圖放置，它的左視圖是()A．B．C．D．12．某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是，則這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．拋物線的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線，則關于的一元二次方程的解為____．14．已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．如圖分別是當取四個不同數(shù)值時此二次函數(shù)的圖象．發(fā)現(xiàn)它們的頂點在同一條直線上，那么這條直線的表達式是_________．15．如圖，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，點E為AB邊上的任意一點，四邊形EFGB也是矩形，且EF=2BE，則S△AFC=__________cm2.16．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cosα＝．下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.1．其中正確的結(jié)論是_____．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）17．如圖，點B是反比例函數(shù)上一點，矩形OABC的周長是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面積之和為68，則反比例函數(shù)的解析式是_____．18．點A（﹣5，y1），B（3，y2）都在雙曲線y＝，則y1，y2的大小關系是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，于點,為等腰直角三角形，，當繞點旋轉(zhuǎn)時，記.(1)過點作交射線于點，作射線交射線于點.①依題意補全圖形，求的度數(shù);②當時，求的長.(2)若上存在一點，且，作射線交射線于點，直接寫出長度的最大值.20．（8分）已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足為H，連接BC，過點D作DE⊥BC于點E，DE交AC于點F（1）如圖1，求證：BD平分∠ADF；（2）如圖2，連接OC，若AC＝BC，求證：OC平分∠ACB；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AB，過點D作DN∥AC交⊙O于點N，若AB＝3，DN＝1．求sin∠ADB的值．21．（8分）某商場銷售一種名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡量減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）當每件襯衫降價多少元時，商場每天獲利最大，每天獲利最大是多少元？22．（10分）如圖①，是平行四邊形的邊上的一點，且，交于點．（1）若，求的長；（2）如圖②，若延長和交于點，，能否求出的長？若能，求出的長；若不能，說明理由．23．（10分）如圖,AB=16,O為AB中點,點C在線段OB上(不與點O,B重合),將OC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧CD于點P，Q，且點P，Q在AB異側(cè)，連接OP.（1）求證：AP=BQ；（2）當BQ=時,求的長(結(jié)果保留)；（3）若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部，求OC的取值范圍.24．（10分）在“慈善一日捐”活動中，為了解某校學生的捐款情況，抽樣調(diào)查了該校部分學生的捐款數(shù)（單位：元），并繪制成下面的統(tǒng)計圖．（1）本次調(diào)查的樣本容量是________，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為________元；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）該校共有學生參與捐款，請你估計該校學生的捐款總數(shù)．25．（12分）如圖，△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點且∠DBC＝∠A，連接OE延長與圓相交于點F，與BC相交于點C．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，BC＝8，求弦BD的長．26．如圖，，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝CE．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得：|m|=1，且m+1≠0，再解即可．【題目詳解】解：由題意得：|m|=1，且m+1≠0，

解得：m=1．

故選：B．【題目點撥】此題主要考查了一元二次方程的定義，關鍵是掌握“未知數(shù)的最高次數(shù)是1”；“二次項的系數(shù)不等于0”．2、B【解題分析】試題解析：在菱形中，，，所以，，在中，，因為，所以，則，在中，由勾股定理得，，由可得，，即，所以．故選B.3、A【分析】首先連接OC，由切線的性質(zhì)可得OC⊥CE，又由圓周角定理，可求得∠COB的度數(shù)，繼而可求得答案．【題目詳解】解：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，∵∠COB＝2∠CDB＝50°，∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．故選：A．【題目點撥】本題考查了切線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．4、D【分析】過P點作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得S矩形OEPF=S矩形OACB=1，然后根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義求解．【題目詳解】過P點作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，如圖所示：

∵四邊形OACB為矩形，點P為對角線的交點，

∴S矩形OEPF=S矩形OACB=×4=1．

∴k=-1，

所以反比例函數(shù)的解析式是：.故選：D【題目點撥】考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．5、B【解題分析】先根據(jù)根的判別式得出方程有兩個不相等的實數(shù)根，設方程x2+bx-2=0的兩個根為c、d，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出c+d=-b，cd=-2，再判斷即可．【題目詳解】x2+bx?2=0，△=b2?4×1×(?2)=b2+8，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，設方程x2+bx?2=0的兩個根為c、d，則c+d=?b，cd=?2，由cd=?2得出方程的兩個根一正一負，由c+d=?b和b<0得出方程的兩個根中，正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值，故答案選：B.【題目點撥】本題考查的知識點是根的判別式及根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練的掌握根的判別式及根與系數(shù)的關系.6、A【解題分析】由拋物線開口方向得到a＜1，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x==-1得b＜1，由拋物線與y軸的交點位置得到c＞1，則abc＞1；觀察函數(shù)圖象得到x=-1時，函數(shù)有最大值；利用拋物線的對稱性可確定拋物線與x軸的另一個交點坐標為(-3，1)，則當x=1或x=-3時，函數(shù)y的值等于1；觀察函數(shù)圖象得到x=2時，y＜1，即4a+2b+c＜1．【題目詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a<1，∵拋物線的對稱軸為直線x==-1，∴b=2a<1，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c>1，∴abc>1，所以①正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-1，∴當x=-1時，函數(shù)有最大值，所以②正確；∵拋物線與x軸的一個交點坐標為(1，1)，而對稱軸為直線x=-1，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為(?3，1)，∴當x=1或x=-3時，函數(shù)y的值都等于1，∴方程ax2+bx+c=1的解是：x1=1，x2=-3，所以③正確；∵x=2時，y<1，∴4a+2b+c<1，所以④錯誤.故選A.【題目點撥】解此題的關鍵是能正確觀察圖形和靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)圖象確定a、b、c的符號，并能根據(jù)圖象看出當x取特殊值時y的符號．7、C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的邊長是1可得出圓的半徑為1，利用勾股定理可求出該內(nèi)接正三角形的邊長為，高為，從而可得出面積．【題目詳解】解：由題意可得出圓的半徑為1，∵△ABC為正三角形，AO=1，，BD=CD，AO=BO，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【題目點撥】本題考查的知識點是正多邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的邊長求出圓的半徑是解此題的關鍵．8、D【分析】旋轉(zhuǎn)后的幾何體是圓柱體，先確定出圓柱的底面半徑和高，再根據(jù)圓柱的表面積公式計算即可求解．【題目詳解】解：π×3×2×4＋π×32×2＝24π＋18π＝42π（cm2）；故選：D．【題目點撥】本題主要考查的是點、線、面、體，根據(jù)圖形確定出圓柱的底面半徑和高的長是解題的關鍵．9、D【分析】由平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)進行判斷.【題目詳解】∵DE//BC，∴，故A正確；∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF,∴，故B正確；∵DF//BE，∴，∵，∴，故C正確；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴，∵DF//BE，∴，∴，故D錯誤.故選D.【題目點撥】本題考查平行線分線段成比例性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，由平行線得出比例關系是關鍵.10、B【解題分析】拋物線平移不改變a的值，由拋物線的頂點坐標即可得出結(jié)果．【題目詳解】解：原拋物線的頂點為（0，0），向左平移1個單位，再向下平移1個單位，那么新拋物線的頂點為（-1，-1），

可設新拋物線的解析式為：y=（x-h）1+k，

代入得：y=（x+1）1-1．

∴所得圖象的解析式為：y=（x+1）1-1；

故選：B．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律；解決本題的關鍵是得到新拋物線的頂點坐標．11、C【解題分析】試題解析：從左邊看一個正方形被分成三部分，兩條分式是虛線，故C正確；故選C．考點:簡單幾何體的三視圖.12、C【分析】設這種植物每個支干長出x個小分支，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論【題目詳解】設這種植物每個支干長出個小分支，依題意，得：，解得：（舍去），．故選C．【題目點撥】此題考查一元二次方程的應用，解題關鍵在于列出方程二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的圖象，可以得到該函數(shù)圖象與軸的另一個交點，從而可以得到一元二次方程的解，本題得以解決．【題目詳解】由圖象可得，

拋物線與x軸的一個交點為（1，0），對稱軸是直線，

則拋物線與軸的另一個交點為（-3，0），

即當時，，此時方程的解是，

故答案為：．【題目點撥】本題考查了拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．14、【分析】已知拋物線的頂點式，寫出頂點坐標，用x、y代表頂點的橫坐標、縱坐標，消去a得出x、y的關系式．【題目詳解】解：二次函數(shù)中，頂點坐標為：，設頂點坐標為（x，y），∴①，②，由①2+②，得，∴；故答案為：.【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點式求頂點坐標的方法是解題的關鍵，注意運用消元的思想解題．15、9【解題分析】連接BF，過B作BO⊥AC于O，過點F作FM⊥AC于M.Rt△ABC中,AB=3,BC=6,.∵∠CAB=∠BAC,∠AOB=∠ABC,∴△AOB∽△ABC,,.∵EF=BG=2BE=2GF，BC=2AB，∴Rt△BGF和Rt△ABC中,,∴Rt△BGF∽Rt△ABC，∴∠FBG=∠ACB,∴AC∥BF,∴S△AFC=AC×FM=9.【題目點撥】△ACF中，AC的長度不變，所以以AC為底邊求面積．因為兩矩形相似，所以易證AC∥BF，從而△ACF的高可用BO表示．在△ABC中求BO的長度，即可計算△ACF的面積．16、①、②、④.【分析】①先利用等腰三角形的性質(zhì)可得一組角相等，又因有一組公共角，所以由三角形相似的判定定理即可得；②根據(jù)為等腰三角形，加上、AB的值可得出底邊CD的值，從而可找到兩個三角形有一組相等的邊，在加上①中兩組相等的角，即可證明全等；③因只已知為直角三角形，所以要分兩種情況考慮，利用三角形相似可得為直角三角形，再結(jié)合的值即可求得BD；④設，則，由∽得，從而可得出含x的等式，化簡分析即可得.【題目詳解】①（等邊對等角）又∽,所以①正確；②作于H，如圖在中，又由等腰三角形三線合一性質(zhì)得，當時，則又在和中，，所以②正確；③為直角三角形，有兩種情況：當時，如圖1∽在中，可解得當時，如圖2在中，可解得綜上或，所以③不正確；④設，則由∽得，即故，所以④正確.綜上，正確的結(jié)論有①②④.【題目點撥】本題考查了等腰三角形的定義和性質(zhì)、三角形全等的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合．17、y=．【題目詳解】解：設矩形OABC的兩邊分別為,b則+b=10，2+b2=68∵(+b)2=2+b2+2∴2=(+b)2-(2+b2)=32∴=16∴反比例函數(shù)的解析式是【題目點撥】本題考查①矩形、正方形面積公式；②完全平方公式；③反比例函數(shù)面積有關的問題．此種試題，相對復雜，需要學生掌握矩形、正方形面積公式，并利用完全平方公式和反比例函數(shù)相關的問題．18、y1＜y1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式，即可得到y(tǒng)1，y1的值，進而即可比較大?。绢}目詳解】∵點A(﹣5，y1)，B(3，y1)都在雙曲線y＝上，當x＝﹣5時，y1＝﹣，當x＝3時，y1＝，∴y1＜y1．故答案是：y1＜y1．【題目點撥】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的縱坐標大小比較，掌握反比例函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式，是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）①見解析，45°②7；（2）見解析，【分析】（1）①作于點H,交的延長線于點，證明?AHO≌?AGB,即可求得∠ODC的度數(shù)；②延長交于點，利用條件可求得AK、OK的長度，于是可求OD的長；（2）分析可知，點B在以O為圓心，OB為半徑的圓上運動（個圓），所以當PB是圓O的切線時，PQ的值最大，據(jù)此可解.【題目詳解】解：（1）①補全圖形如圖所示，過點作于點H,交的延長線于點，∵，，，∴∠AGB=∠AHO=∠C=，∴∠GAH=，∴∠OAH+∠HAB=∠GAB+∠HAB=,∴∠OAH=∠GAB,四邊形為矩形，∵為等腰直角三角形，∴OA=AB,∴?AHO≌?AGB,∴AH=AG,∴四邊形為正方形，∴∠OCD=45°，∴∠ODC=45°；②延長交于點，∵，OA=5，∴AK=4,∴OK=3,∵∠ODC=45°，∴DK=AK=4∴；（2）如圖，∵繞點旋轉(zhuǎn)，∴點B在以O為圓心，OB為半徑的圓上運動（個圓），∴當PB是圓O的切線時，PQ的值最大，∵∴∴∠OPB=45°,∴OQ=OP=10，∴.∴長度的最大值是.【題目點撥】本題考查了與旋轉(zhuǎn)有關的計算及圓的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形、分析出點的運動軌跡是解題關鍵.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）sin∠ADB的值為．【分析】(1)根據(jù)等角的余角相等即可證明；(2)連接OA、OB．只要證明△OCB≌△OCA即可解決問題；(3)如圖3中，連接BN，過點O作OP⊥BD于點P，過點O作OQ⊥AC于點Q，則四邊形OPHQ是矩形，可知BN是直徑，則HQ=OP=DN=，設AH=x，則AQ=x+，AC=2AQ=2x+1，BC=2x+1，CH=AC﹣AH=2x+1﹣x=x+1，在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=()2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2即(2x+1)2=()2﹣x2+(x+1)2，解得x=3，BC=2x+1=15，CH=x+1=12求出sin∠BCH，即為sin∠ADB的值．【題目詳解】(1)證明：如圖1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD=∠BED=10°，∴∠DAH+∠ADH=10°，∠DBE+∠BDE=10°，∵∠DAC=∠DBC，∴∠ADH=∠BDE，∴BD平分∠ADF；(2)證明：連接OA、OB．∵OB=OC=OA，AC=BC，∴△OCB≌△OCA(SSS)，∴∠OCB=∠OCA，∴OC平分∠ACB；(3)如圖3中，連接BN，過點O作OP⊥BD于點P，過點O作OQ⊥AC于點Q．則四邊形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN=∠BHC=10°，∴BN是直徑，則OP=DN=，∴HQ=OP=，設AH=x，則AQ=x+，AC=2AQ=2x+1，BC=AC=2x+1，∴CH=AC﹣AH=2x+1﹣x=x+1在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=()2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2，即(2x+1)2=()2﹣x2+(x+1)2，整理得2x2+1x﹣45=0，(x﹣3)(2x+15)=0，解得：x=3(負值舍去)，BC=2x+1=15，CH=x+1=12，BH=1∵∠ADB=∠BCH，∴sin∠ADB=sin∠BCH===．即sin∠ADB的值為．【題目點撥】本題考查了圓的垂徑定理、銳角三角函數(shù)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．21、（1）每件應該降價20元；（2）當每件降價15元時，每天獲利最大，且獲利1250元【分析】（1）設每件應該降價元，則每件利潤為元，此時可售出數(shù)量為件，結(jié)合盈利1200元進一步列出方程求解即可；（2）設每件降價元時，每天獲利最大，且獲利元，然后進一步根據(jù)題意得出二者的關系式，最后進一步配方并加以分析求解即可.【題目詳解】（1）設每件應該降價元，則：，整理可得：，解得：，，∵要盡量減少庫存，在獲利相同的情況下，降價越多，銷售越快，∴每件應該降價20元，答：每件應該降價20元；（2）設每件降價元時，每天獲利最大，且獲利元，則：，配方可得：，∵，∴當時，取得最大值，且，即當每件降價15元時，每天獲利最大，且獲利1250元，答：當每件降價15元時，每天獲利最大，且獲利1250元.【題目點撥】本題主要考查了一元二次方程與二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意正確找出等量關系是解題關鍵.22、（1）；（2）能，【分析】（1）由DE∥BC，可得，由此即可解決問題；

（2）由PB∥DC，可得，可得PA的長．【題目詳解】（1）∵為平行四邊形∴，，又∵∴又∵∴，∴．（2）能∵為平行四邊形，∴，，∴∴∴【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．23、（1）詳見解析；（2）；（3）4<OC<1.【分析】（1）連接OQ，由切線性質(zhì)得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL得Rt△APO≌Rt△BQO，再由全等三角形性質(zhì)即可得證.（2）由（1）中全等三角形性質(zhì)得∠AOP=∠BOQ，從而可得P、O、Q三點共線，在Rt△BOQ中，根據(jù)余弦定義可得cosB=，由特殊角的三角函數(shù)值可得∠B=30°，∠BOQ=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OQ=4，結(jié)合題意可得∠QOD度數(shù)，由弧長公式即可求得答案.（3）由直角三角形性質(zhì)可得△APO的外心是OA的中點，結(jié)合題意可得OC取值范圍.【題目詳解】（1）證明：連接OQ.∵AP、BQ是⊙O的切線，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，∴∠APO=∠BQO=90°，在Rt△APO和Rt△BQO中，，∴Rt△APO≌Rt△BQO，∴AP=BQ.（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，∴∠AOP=∠BOQ，∴P、O、Q三點共線，∵在Rt△BOQ中,cosB=，∴∠B=30°,∠BOQ=60°，∴OQ=OB=4，∵∠COD=90°，∴∠QOD=90°+60°=150°，∴優(yōu)弧QD的長=，（3）解：設點M為Rt△APO的外心，則M為OA的中點，

∵OA=1，

∴OM=4，

∴當△APO的