2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊(cè)同步備課試題2-1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（7大題型）（解析版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（7大題型）分層作業(yè)題型目錄考查題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系考查題型二：作差法比較兩數(shù)(式)的大小考查題型三：作商法比較兩數(shù)(式)的大小考查題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假考查題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式考查題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小考查題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍考查題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)100米以外（含100米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為秒，人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得．故選：B．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的為（

）A．與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示為“”B．小明的身高為，小華的身高為，則小明比小華矮可表示為“”C．的兩邊之和大于第三邊，記三邊分別為，，，則可表示為“且且”D．若某天的最低溫度為7℃，最高溫度為13℃，則這天的溫度可表示為“7℃13℃”【答案】C【解析】對(duì)于A，應(yīng)表示為“”，對(duì)于B，應(yīng)表示為“”，對(duì)于D，應(yīng)表示為“7℃13℃”，故A，B，D錯(cuò)誤．故選：C．3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過Mcm.設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c>M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c<M【答案】A【解析】長(zhǎng)、寬、高之和不超過Mcm，.故選：A.4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用不等式表示，某廠最低月生活費(fèi)a不低于300元（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意：生活費(fèi)a不低于300元，即.故選：B5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績(jī)x不低于100分，英語成績(jī)y和語文成績(jī)z的總成績(jī)高于200分且低于240分，用不等式組表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分表示為，英語成績(jī)y和語文成績(jī)z的總成績(jī)高于200分且低于240分表示為，即.故選：D.考查題型二：作差法比較兩數(shù)(式)的大小6．（2023·高一單元測(cè)試），和同時(shí)成立的條件是．（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】，因?yàn)椋?，所以，所以或，故所寫答案只要滿足上述兩個(gè)不等條件其中一即可，如等.故答案為：（答案不唯一）.7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）比較大?。?【答案】【解析】因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，設(shè)，，則（填“>”“<”或“=”）．【答案】>【解析】.因則.，又，.則，即.故答案為：9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，，則，的大小關(guān)系為．【答案】【解析】，所以.故答案為：10．（2023·廣西桂林·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則與的大小關(guān)系為：（用“”、“”、“”填寫）.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.11．（2023·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，則(填“”、“”、“”或“”).【答案】【解析】由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故答案為：.考查題型三：作商法比較兩數(shù)(式)的大小12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則、、、中最小的是.【答案】【解析】因?yàn)椋?，，因?yàn)?，，所以，即故答案為?3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)），則的大小關(guān)系為．【答案】≥【解析】因?yàn)?，則由所以故答案為：14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果，，那么，，從小到大的順序是【答案】【解析】因?yàn)槿齻€(gè)式子很明顯都是負(fù)數(shù)，所以，所以；同理，所以。綜上：故答案為：15．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）若，求證：．【解析】證明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．考查題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假16．（多選題）（2023·高一單元測(cè)試）下列命題不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，則不等式的性質(zhì)可得，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則由不等式的性質(zhì)可得，所以D正確，故選：ABC17．（多選題）（2023·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知為實(shí)數(shù)，若，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A，由不等式性質(zhì)可知不等式兩邊同時(shí)加減同一個(gè)實(shí)數(shù)，不等號(hào)方向不改變，即A正確；對(duì)于B，易知，又，若時(shí)，；若時(shí)，；若時(shí)，；所以并不一定成立，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可知，當(dāng)時(shí)，，，所以，即C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由不等式性質(zhì)易知時(shí)，，即D錯(cuò)誤；故選：AC18．（多選題）（2023·廣東佛山·高一校聯(lián)考期中）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若且，則D．若，則【答案】BC【解析】若,，則，故A錯(cuò)誤；若，則，，故B正確；若且，則，即，故C正確；若，取，，，則，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：BC19．（多選題）（2023·云南昆明·高一校考期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則【答案】AB【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)槌闪?，則，則，故A正確；B選項(xiàng)：若，，由不等式同向可加性，得，故B正確；C選項(xiàng)：令,滿足，，但，故C不正確；D選項(xiàng)：令，滿足，但，故D不正確.故選：AB.20．（多選題）（2023·福建廈門·高一廈門市海滄中學(xué)校考期中）下列說法中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】AB【解析】對(duì)于，因?yàn)?，，所以，故正確；對(duì)于，因?yàn)椋?，又，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，但，此時(shí)，故D錯(cuò)誤，故選：AB21．（多選題）（2023·山東東營(yíng)·高一利津縣高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c，若，則下列不等式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】當(dāng)，時(shí)，滿足，但，故A錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，滿足，但，故B錯(cuò)誤；因，，由不等式性質(zhì)得，故C正確；當(dāng)時(shí)，不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.22．（多選題）（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，由不等式的性質(zhì)可知同向不等式相加，不等式方向不變，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：AB.考查題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式23．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）試比較下列組式子的大?。?1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．【解析】（1），，因?yàn)椋?，即；?）．因?yàn)?，，所以，，所以，即；?）方法一（作差法）．因?yàn)?，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因?yàn)?，所以，，，所以，所以?4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）若，證明：.（2）已知，，，，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1.【解析】（1）要證，只需證，只需證,即，即證.因?yàn)?，所以，即成立，所以原不等式成立．?）假設(shè)a，b，c均小于1，即，則有，而，這與矛盾，假設(shè)不成立，故a，b，c至少有一個(gè)不小于1.25．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谥校?）設(shè)，，.試比較P與Q的大小.（2）已知，，.求證：；【解析】（1）∵，∴，∴．（2），，，又，.26．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）比較與的大?。?）已知，求證：；【解析】（1），所以.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?27．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）已知，且，證明：．（2）證明：．【解析】證明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要證，只需證，即證；即證，即證；即證，顯然成立；所以．28．（2023·福建泉州·高一福建省泉州市培元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）證明：圓的面積大于與它具有相同周長(zhǎng)的正方形的面積；（2）已知，求證：.【解析】（1）設(shè)周長(zhǎng)為，則圓的面積，正方形面積為，得，即圓的面積大于與它具有相同周長(zhǎng)的正方形的面積；（2）由得，則，而，故．29．（2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）已知為三角形的三邊長(zhǎng)，求證：(1)；(2).【解析】（1）為三角形的三邊長(zhǎng)，而，顯然，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以.（2）為三角形的三邊長(zhǎng)，則，于是得：，所以.30．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，，，求證：.【解析】證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋杂赏虿坏仁降南嗉有钥蓪⒁陨蟽墒较嗉拥?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加?又，所以，所以由不等式的同號(hào)可乘性可得.考查題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小31．（2023·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知，，判斷a，b大小關(guān)系.（填“>、=、<”）【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，故答案為?2．（2023·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┠苷f明命題“若，則”錯(cuò)誤的一組數(shù)，，是．【答案】，，（答案不唯一）【解析】因?yàn)?，若，則，所以只要滿足的，，均符合題意，故答案為：，，（答案不唯一）33．（2023·高一單元測(cè)試）下列不等式中，不成立的是．（填序號(hào)）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；⑤若，若；⑥若，則；⑦若，，則；⑧若，，則．【答案】①③⑥【解析】對(duì)于①,若,則,所以①不成立；對(duì)于②，由可知，所以成立，故②成立；對(duì)于③，如滿足，但，所以③不成立；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，即，所以④成立；?duì)于⑤，由可得，所以⑤成立；對(duì)于⑥，若，則，所以⑥不成立；對(duì)于⑦，因?yàn)?，所以，且，所以，所以⑦成立；?duì)于⑧，因?yàn)?，所以，所以，所以⑧成立，故答案?①③⑥.34．（2023·高一單元測(cè)試）若，，則0．（填“”、“”或“”）【答案】【解析】因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,故答案為:.35．（2023·海南儋州·高一?？计谥校┤绻?，那么(填“”或“”)【答案】【解析】因?yàn)椋?，根?jù)不等式的性質(zhì)可得，.故答案為：.36．（2023·河南·高一統(tǒng)考期中）給出下列三個(gè)論斷：①；②；③且.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.【答案】若，且，則.【解析】若選擇①③作為條件，②作為結(jié)論：若，且，則；若選擇①②作為條件，③作為結(jié)論：若，，則，故，但也可能大小0，故選擇①②作為條件，③作為結(jié)論的命題不正確；若選擇②③作為條件，①作為結(jié)論：若，且，則，故，但與大小關(guān)系不確定，故選擇②③作為條件，①作為結(jié)論的命題不正確.故答案為：若，且，則.37．（2023·北京房山·高一統(tǒng)考期中）若a，b同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①；②．請(qǐng)寫出一組a，b的值．【答案】或其他任意合理答案【解析】容易發(fā)現(xiàn)，若將①式轉(zhuǎn)化為②式，需使即與異號(hào)，顯然應(yīng)使，當(dāng)時(shí)，需使，則，可取；當(dāng)時(shí)，需使，則，可取.綜上，取任意異號(hào)兩數(shù)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值皆為合理答案.故答案為：或其他任意合理答案.38．（2023·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）若，，，則，的大小關(guān)系是.【答案】【解析】由,有，，則，故,故答案為：.考查題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍39．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯(cuò)誤，故選：B.40．（2023·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以．故選：D.41．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）實(shí)數(shù)、滿足，.(1)求實(shí)數(shù)、的取值范圍；(2)求的取值范圍．【解析】（1）由，，則，所以，所以，即，因?yàn)?，由，所以，所以，所以，∴，?）設(shè)，則，解得，∴，∵，．∴，，∴，42．（2023·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）（1）已知，．求和的取值范圍．（2）已知，，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)可得，；，因此，即；，即，所以，.（2）令，，即，則有，解得，而，，于是，，所以，，即，所以.43．（2023·遼寧營(yíng)口·高一校考階段練習(xí)）（1）已知，求與的取值范圍；（2）已知，試求的取值范圍【解析】（1）由于，，，即；又，，(2)，，，又，，故.1．（2023·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)校考期末）若、為實(shí)數(shù)，則“”是“或”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，若，則，此時(shí)有，若，則，此時(shí)有，所以，若，則“或”，即“”“或”；若“或”，若，不妨取，，則；若，不妨取，，則.所以，“”“或”.因此，“”是“或”的充分不必要條件.故選：A.2．（2023·陜西安康·高二校聯(lián)考期末）王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個(gè)學(xué)習(xí)小組的釘釘群，群的成員由學(xué)生、家長(zhǎng)、老師共同組成．已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長(zhǎng)人數(shù)，家長(zhǎng)人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)．則該釘釘群人數(shù)的最小值為（

）A．18 B．20 C．22 D．28【答案】C【解析】依題意，設(shè)教師、家長(zhǎng)、女生、男生人數(shù)分別為，且，于是，則，又，解得，因此，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，即該釘釘群人數(shù)的最小值為22.故選：C3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由且，可得,當(dāng)，時(shí)，滿足，但不滿足且,則“且”是“”的充分不必要條件,故選：A.4．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）若a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．3 B．5 C．7 D．以上答案都不對(duì)【答案】B【解析】根據(jù)題意，有，等號(hào)當(dāng)時(shí)可以取得，因此所求最小值為5．故選：B.5．（2023·上海寶山·高三上海交大附中校考開學(xué)考試）對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)a、b，有，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)（

）時(shí)成立A． B． C． D．【答案】C【解析】由，所以不等式取等號(hào)時(shí)，或，故選：C6．（2023·陜西西安·高二西安中學(xué)校考期中）設(shè)，則的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，.又，故.則.故選：C.7．（2023·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）汽油的單價(jià)會(huì)隨著各種因素不斷變動(dòng)，一段時(shí)間內(nèi)，某人計(jì)劃去加油站加兩次油，兩次加油時(shí)汽油單價(jià)不同，現(xiàn)有兩種加油方案——甲：每次加油的總金額固定；乙：每次所加的油量固定．若規(guī)定平均單價(jià)越低，則該加油方案越實(shí)惠，不考慮其他因素影響，則（

）A．甲方案實(shí)惠 B．乙方案實(shí)惠C．哪種方案實(shí)惠需由兩次油價(jià)決定 D．兩種方案一樣實(shí)惠【答案】A【解析】設(shè)兩次加油的油價(jià)分別為，且.甲方案：設(shè)每次加油總金額為，則平均油價(jià)；乙方案：設(shè)每次加油量為，則平均油價(jià).則，因?yàn)?，，且，所以，，，所以?所以，，甲方案實(shí)惠．故選：A.8．（2023·浙江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)取到最小值時(shí)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)，取到最小值，此時(shí)可得．故選：D9．（多選題）（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知，且，則下列命題中是真命題的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】CD【解析】取，，，滿足選項(xiàng)A，B中的前提條件．對(duì)于選項(xiàng)A，