立體幾何證明題課件

1.1.2.2.3.3.4.4.O5.O5.例2、如圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,點E在PD上,且PE:ED=2：1，問在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論；MFO6.例2、如圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,點E在PD7.7.8.8.證明過程分析：a⊥POPA⊥

a

AO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aA

aOP三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。結(jié)論匯總1：板書證明過程9.證明過程分析：a⊥POPA⊥AO⊥aa⊥平面PAOPO平A

aOP結(jié)論匯總2：三垂線定理基本圖形的特點分析1:一面2:四線3:三垂直線面垂直線射垂直線斜垂直探究問題4：三垂線定理的圖形有哪些特點？（構(gòu)成元素、三垂的解釋）10.AaOP結(jié)論匯總2：三垂線定理基本圖形的特點分析1:一面2PCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點

PA⊥平面ABC

∴AC是斜線PC在平面ABC上的射影∵BC

平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BC結(jié)論應用：11.PCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？12.線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面

的垂線和斜線，AO是PO在平面

的射影,a

,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理13.在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一PAO14.14.例1已知：正方體中，AC是面對角線，BD'是與AC異面的體對角線.求證：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′15.例1已知：正方體中，AC是面對角線，BD'是與16.16.17.17.【變式練習1】如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將△AEF折起到△A1EF的位置，連結(jié)A1B，A1C.求證：(1)EF⊥平面A1EC；(2)AA1⊥平面A1BC.18.【變式練習1】18.19.19.20.20.21.21.用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直

22.用線面垂直的性質(zhì)22.【證明】如圖，∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1.而AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AM.連結(jié)A1C.可以證明Rt△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C.而A1C∩BC＝C，所以AM⊥平面A1BC，所以A1B⊥AM.23.【證明】如圖，∠ACB＝90°，23.空間角的計算一找——二證——三求解24.空間角的計算一找——二證——三求解24.25.25.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直線A1B與直線CD所成角；(2)求直線A1B和直線B1C所成角（3）求直線A1O和直線AD1所成的角.（4）求直線A1C和直線AD所成的角的余弦值D1ABA1CB1C1DO26.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.D1直線與平面所成的角27.直線與平面所成的角27.線面角相關(guān)概念αP斜線PA與平面

所成的角為PABl平面的斜線A斜足A斜線PA在平面內(nèi)的射影垂足BB平面的垂線28.線面角相關(guān)概念αP斜線PA與平面所成的角為PABl平面的1.斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的射影所成的角2.平面的垂線與平面所成的角為直角3.一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，則這條直線與平面所成的角的00角一條直線與平面所成的角的取值范圍是29.1.斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的射影所成的角2.30.30.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直線A1B和平面ABCD所成的角；(2)求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.（3）求直線A10和平面ABCD所成的角.D1ABA1CB1C1DO31.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.D1例2如圖，AB為平面

的一條斜線，B為斜足，AO⊥平面

，垂足為O，直線BC在平面

內(nèi)，已知∠ABC=60°，

OBC=45°，求斜線AB和平面α所成的角.ABCOαD32.例2如圖，AB為平面的一條斜線，B為斜足，A33.33.34.34.一、二面角的定義及二面角的平面角平面的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做一個半平面。從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。（1）半平面——（2）二面角——lαβι35.一、二面角的定義及二面角的平面角平面的一條直線把平面分為兩αβBOAa(3)二面角畫法——如下圖l36.αβBOAa(3)二面角畫法——如下圖l36.l

AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD5（4）二面角的記法——“面1—棱—面2”37.lAB二面角－AB－l二面角－l－

上述變化過程中圖形在變化，形成的“角度”的大小如何來確定？38.上述變化過程中圖形在變化，形成的“角度”的大小αβB。OA(5)二面角的平面角——垂直于二面角的棱的任一平面與兩個半平面的交線所成的角叫做二面角的平面角。從二面角的棱上任一點在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。①二面角的平面角與點（或垂直平面）的位置無任何關(guān)系，只與二面角的張角大小有關(guān)。αβB。OAB1。O1A1②二面角就是用它的平面角來度量的。一個二面角的平面角多大，我們就說個二面角是多少度的二面角。（注）39.αβB。OA(5)二面角的平面角——垂直于二面角的棱注意二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)

lOAB

AOB40.注意二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1(6)二面角的范圍：[0。,180。]（7）直二面角——平面角為直角的二面角叫做直二面角OAB41.(6)二面角的范圍：[0。,180。]（7）直二面角——平面二面角的平面角:

ABP

l二面角的平面角必須滿足：3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)二面角的平面角的范圍:0

180

二面角的大小用它的平面角的大小來度量以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。A1B1P1注意:(與頂點位置無關(guān))∠APB=∠A1P1B142.二面角的平面角:ABP一、幾何法：找出平面角，求解三角形1、定義法:以二面角的棱a上任意一點O為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA,OB，則∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB在一個平面內(nèi)選一點A向另一平面作垂線AB，垂足為B，再過點B向棱a作垂線BO，垂足為O，連結(jié)AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法:過二面角內(nèi)一點A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于點O，則∠BOC就是二面角的平面角。aABCO2、三垂線法:ABOa43.一、幾何法：找出平面角，求解三角形1、定義法:以二面角的棱a例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.（1）找出二面角A1-BD-A；(2)找出二面角A1-BD-B1；.（3）E是BB1的中點，找出平面A1DE與平面ABCD所成銳角D1ABA1CB1C1DE44.例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中.D1PABCD過E作ED⊥PC于D，則∠BDE就是此二面角的平面角。連結(jié)BD，過B作BE⊥AC于E，E

∵△ABC為正△，∴BE=在Rt△PAC中，E為AC中點，則DE=在Rt△DEB中tan∠BDE=∴∠BDE=arctan例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。三垂線法:45.PABCD過E作ED⊥PC于D，則∠BDE就是此二面角練習3：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大?。唬?）求二面角A-PC-B的大小。PABCDE若△ABC是△PBC在平面ABC的投影，則二面角θ滿足：46.練習3：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，A47.47.求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補求出二面角的大小。

mn如圖：二面角的大小等于-<m,n>2、平面法向量法:48.求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面2、平面法向量法:求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補求出二面角的大小。mnαβ如圖：二面角的大小等于<m,n>49.2、平面法向量法:求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向量的例4:在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，

AD=

SA=AB=BC=1，求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值大小.xyz解：以A為原點，如圖