高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理11分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理111課件新人教A版選修2幻燈片2

第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用第一章計(jì)數(shù)原理1高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理11分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理111課件新人教A版選修2幻燈片22主題1:分類加法計(jì)數(shù)原理某志愿者從杭州奔赴北京參加公益活動(dòng),假設(shè)每天有4個(gè)航班,5列火車.主題1:分類加法計(jì)數(shù)原理31.該志愿者要完成的一件事是什么?提示:從杭州乘火車或飛機(jī)奔赴北京參加公益活動(dòng).1.該志愿者要完成的一件事是什么?42.有幾類方案可完成這件事?每類方案又各有幾種方法?每種方法是否都能完成這件事?提示:兩類方案,第一類方類:乘飛機(jī),有4種方法;第二類方案:坐火車,有5種方法.每種方案中的每種方法都能完成這件事.2.有幾類方案可完成這件事?每類方案又各有幾種方法?每種方法53.該志愿者從杭州到北京共有多少種不同方法?提示:共有4+5=9種不同的方法.3.該志愿者從杭州到北京共有多少種不同方法?6結(jié)論:分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=____種不同的方法.m+n結(jié)論:m+n7【微思考】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理考慮完成一件事的第1類方案與第2類方案中的每一種方法有沒有重復(fù)或遺漏?提示:每種方法都可以獨(dú)立地完成這件事,它們之間沒有重復(fù)或遺漏.【微思考】8主題2:分步乘法計(jì)數(shù)原理某志愿者從麗水奔赴北京參加公益活動(dòng),中間在杭州停留,假設(shè)每天從麗水到杭州有3次汽車,從杭州到北京有4個(gè)航班.主題2:分步乘法計(jì)數(shù)原理91.該志愿者要完成這件事需要幾個(gè)步驟?提示:兩個(gè),即先坐汽車到杭州,再?gòu)暮贾莩孙w機(jī)到北京.2.完成每一步各有幾種方法?提示:第一步(坐汽車):有3種方法,第二步(乘飛機(jī)):有4種方法.1.該志愿者要完成這件事需要幾個(gè)步驟?103.該志愿者從麗水到北京共有多少種不同的方法?提示:共有3×4=12種方法.3.該志愿者從麗水到北京共有多少種不同的方法?11結(jié)論:分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=_____種不同的方法.m×n結(jié)論:m×n12【微思考】1.分步乘法計(jì)數(shù)原理的特征是什么?提示:分步就是說完成這件事的任何一種方法,都要分成若干個(gè)步驟,要完成這件事必須且只需連續(xù)完成這若干個(gè)步驟后,這件事才算完成.【微思考】132.第1步采用不同的方法對(duì)第2步方法的選取有沒有影響?提示:第1步與第2步互相獨(dú)立,沒有影響.2.第1步采用不同的方法對(duì)第2步方法的選取有沒有影響?14【預(yù)習(xí)自測(cè)】1.從A地到B地,可乘汽車、火車、輪船三種交通工具,如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次,火車發(fā)4次,輪船發(fā)2次,那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法為(

)A.1+1+1=3

B.3+4+2=9C.3×4×2=24 D.以上都不對(duì)【預(yù)習(xí)自測(cè)】15【解析】選B.乘汽車有3種方法,乘火車有4種方法,坐輪船有2種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有3+4+2=9種不同的走法.【解析】選B.乘汽車有3種方法,乘火車有4種方法,坐輪船有2162.某體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門,北側(cè)有3個(gè)大門,某學(xué)生到該體育場(chǎng)練習(xí)跑步,則他進(jìn)出門的方案有(

)A.12種B.7種C.24種D.49種2.某體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門,北側(cè)有3個(gè)大門,某學(xué)生到該體育場(chǎng)17【解析】選D.該學(xué)生從南側(cè)進(jìn)、南側(cè)出有4×4=16種方案;從北側(cè)進(jìn)、北側(cè)出有3×3=9種方案;從一側(cè)進(jìn)另一側(cè)出有2×4×3=24種方案,所以共有16+9+24=49種方案.【解析】選D.該學(xué)生從南側(cè)進(jìn)、南側(cè)出有4×4=16種方案;從183.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)的展開式中共有(

)A.60項(xiàng) B.12項(xiàng)C.30項(xiàng) D.以上都不對(duì)3.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)的展開式中19【解析】選B.完成這件事需分兩步,第一步:從第一個(gè)括號(hào)中取一字母有3種方法;第二步:從第二個(gè)括號(hào)中取一字母有4種方法.故共有3×4=12項(xiàng).【解析】選B.完成這件事需分兩步,第一步:從第一個(gè)括號(hào)中取一204.加工某個(gè)零件分三道工序,第一道工序有5人可以選擇,第二道工序有6人可以選擇,第三道工序有4人可以選擇,從中選3人每人做一道工序,則選法有________種.4.加工某個(gè)零件分三道工序,第一道工序有5人可以選擇,第二道21【解析】選第一、第二、第三道工序各一人的方法數(shù)依次為5,6,4,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,選法總數(shù)為N=5×6×4=120.答案:120【解析】選第一、第二、第三道工序各一人的方法數(shù)依次為5,6,225.現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任取一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國(guó)畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法?(仿照教材P5例3的解析過程)5.現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.23【解析】(1)從中任取一幅畫,有三類方法:第1類方法是從國(guó)畫中取一幅有5種不同方法;第2類方法是從油畫中取一幅有2種不同方法;第3類方法是從水彩畫中取一幅有7種不同方法.所以不同取法的種數(shù)是5+2+7=14.【解析】(1)從中任取一幅畫,有三類方法:24(2)從三種畫中各取一幅,可分成三個(gè)步驟完成:第1步,從國(guó)畫中取1幅,有5種方法;第2步,從油畫中取1幅,有2種方法;第3步,從水彩畫中取1幅,有7種方法.所以不同取法的種數(shù)是5×2×7=70.(2)從三種畫中各取一幅,可分成三個(gè)步驟完成:25類型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【典例1】(1)(2017·日照高二檢測(cè))如圖所示,在A,B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路,則電路不通,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通,則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有(

)類型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用26A.16種 B.15種C.9種 D.8種A.16種 B.15種27(2)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為________.(2)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax228【解題指南】(1)根據(jù)題意,可將其分為1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)焊接點(diǎn)脫落的情形,即分成四類,按照分類加法計(jì)數(shù)原理求解.(2)分a=0與a≠0兩種情況,當(dāng)a≠0時(shí)再借助判別式討論求解.【解題指南】(1)根據(jù)題意,可將其分為1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)29【解析】(1)選B.按照可能脫落的個(gè)數(shù)可分成四類:第一類:1個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有4種情況.第二類:2個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有6種情況.即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).第三類:3個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有4種情況.即(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).【解析】(1)選B.按照可能脫落的個(gè)數(shù)可分成四類:30第四類:4個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有1種情況.即(1,2,3,4).所以共有4+6+4+1=15種情況.第四類:4個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有1種情況.即(1,2,3,4).31(2)當(dāng)a=0時(shí),關(guān)于x的方程為2x+b=0,此時(shí)有序數(shù)對(duì)(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均滿足要求;當(dāng)a≠0時(shí),由Δ=4-4ab≥0,ab≤1,此時(shí)滿足要求的有序數(shù)對(duì)為(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).綜上,滿足要求的有序數(shù)對(duì)共有13個(gè).答案:13(2)當(dāng)a=0時(shí),關(guān)于x的方程為2x+b=0,32【延伸探究】1.若將典例1(1)中的“圖形”改變成“如下圖形”,結(jié)果如何?【延伸探究】33【解析】按照可能脫落的個(gè)數(shù)可分成四類:第一類:1個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有2種情況,即1,4.第二類:2個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有6種情況,即(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4).第三類:3個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有4種情況,即(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).【解析】按照可能脫落的個(gè)數(shù)可分成四類:34第四類:4個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有1種情況,即(1,2,3,4).所以共有2+6+4+1=13種情況.第四類:4個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有1種情況,即(1,2,3,4).352.若將典例1(1)中增加條件“已知焊接點(diǎn)2是正常的”,結(jié)果如何?2.若將典例1(1)中增加條件“已知焊接點(diǎn)2是正常的”,結(jié)果36【解析】由于焊接點(diǎn)2正常,所以可能脫落的個(gè)數(shù)可分成三類:第一類:1個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有3種情況,即1,3,4.第二類:2個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有3種情況,即(1,3),(1,4),(3,4).第三類:3個(gè)焊接點(diǎn)脫落,有1種情況,即(1,3,4).所以共有3+3+1=7種情況.【解析】由于焊接點(diǎn)2正常,所以可能脫落的個(gè)數(shù)可分成三類:37【方法總結(jié)】1.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的步驟【方法總結(jié)】382.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.2.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣39【補(bǔ)償訓(xùn)練】(1)某興趣小組有男生10名,女生9名,要從中選出一名組長(zhǎng),不同的選法共有(

)A.8種 B.7種C.19種 D.90種【補(bǔ)償訓(xùn)練】40(2)書架上層放4本不同的數(shù)學(xué)書,中層放6本不同的外語書,下層放5本不同的語文書,從中任取1本,不同的取法種數(shù)為(

)A.15 B.120 C.3 D.1(2)書架上層放4本不同的數(shù)學(xué)書,中層放6本不同的外語書,下41【解析】(1)選C.只要選出一名組長(zhǎng)即可,共有N=10+9=19種方法.(2)選A.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有4+6+5=15種不同的取法.【解析】(1)選C.只要選出一名組長(zhǎng)即可,共有N=10+9=42類型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【典例2】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),若點(diǎn)P(x,y)的橫、縱坐標(biāo)均在{0,1,2,3}內(nèi)取值.問:(1)點(diǎn)P可以表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)?(2)點(diǎn)P可以表示平面上多少個(gè)第一象限的點(diǎn)?類型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用43【解題指南】先確定P點(diǎn)橫坐標(biāo),再確定其縱坐標(biāo),用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【解題指南】先確定P點(diǎn)橫坐標(biāo),再確定其縱坐標(biāo),用分步乘法計(jì)數(shù)44【解析】(1)確定P的坐標(biāo)分兩步第1步:確定橫坐標(biāo)x,從0,1,2,3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè),有4種方法.第2步:確定縱坐標(biāo)y,從0,1,2,3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè),有4種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,所有不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為:4×4=16(個(gè)).【解析】(1)確定P的坐標(biāo)分兩步45(2)第一象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)都為正數(shù),所以橫坐標(biāo)x從1,2,3三個(gè)數(shù)中選一個(gè),有3種方法.縱坐標(biāo)y從1,2,3三個(gè)數(shù)中選一個(gè),有3種方法,所以第一象限的點(diǎn)共有3×3=9(個(gè)).(2)第一象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)都為正數(shù),所以橫坐標(biāo)x從146【方法總結(jié)】1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的步驟【方法總結(jié)】472.分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣完成一件事需要n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣48【鞏固訓(xùn)練】(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A.24 B.18 C.12 D.9【鞏固訓(xùn)練】(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖,小明從街道的E處出發(fā)49【解析】選B.E→F有6種走法,F→G有3種走法,由分歩乘法計(jì)數(shù)原理知,共6×3=18種走法.【解析】選B.E→F有6種走法,F→G有3種走法,由分歩乘法50【補(bǔ)償訓(xùn)練】從集合{1,2,3,…,10}中,選出由5個(gè)數(shù)組成的集合的子集,使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11,這樣的子集共有多少個(gè)?【補(bǔ)償訓(xùn)練】從集合{1,2,3,…,10}中,選出由5個(gè)數(shù)51【解題指南】根據(jù)子集的定義分析,把握任意兩個(gè)數(shù)的和不等于11,可以先尋找和等于11的情況,再根據(jù)子集的思想分析解決.【解題指南】根據(jù)子集的定義分析,把握任意兩個(gè)數(shù)的和不等于1152【解析】和為11的數(shù)共有5組:1與10,2與9,3與8,4與7,5與6,子集中的元素不能取自同一組中的兩數(shù),即子集中的元素取自5個(gè)組中的一個(gè)數(shù),而每個(gè)數(shù)的取法有2種,所以子集的個(gè)數(shù)為N=2×2×2×2×2=25=32.【解析】和為11的數(shù)共有5組:1與10,2與9,3與8,4與53類型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典例3】(2017·濟(jì)寧高二檢測(cè))某藝術(shù)小組有9人,每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂器,其中7人會(huì)鋼琴,3人會(huì)小號(hào),從中選出會(huì)鋼琴與小號(hào)的各1人,有多少種不同的選法?類型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用54【解題指南】先確定既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)的人數(shù),再以既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)的人為依據(jù)分類討論.【解題指南】先確定既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)的人數(shù),再以既會(huì)鋼琴又會(huì)小55【解析】由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)(把該人稱為“多面手”).只會(huì)鋼琴的有6人,只會(huì)小號(hào)的有2人,把選出會(huì)鋼琴,小號(hào)各1人的方法分為兩類:【解析】由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會(huì)鋼琴又56第一步:多面手入選,另1人只需從其他8人中任選一個(gè),故這類選法共有8種.第二步:多面手不入選,則選會(huì)鋼琴者只能從6個(gè)只會(huì)鋼琴的人中選出,選會(huì)小號(hào)者也只能從只會(huì)小號(hào)的2人中選出,故這類選法共有6×2=12(種).因此N=8+6×2=20(種),故共有20種不同的選法.第一步:多面手入選,另1人只需從其他8人中任選一個(gè),故這類選57【方法總結(jié)】運(yùn)用兩個(gè)原理解決計(jì)數(shù)問題應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)在處理具體的應(yīng)用題時(shí),首先必須弄清是“分類”還是“分步”,其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么.選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事件,可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏.【方法總結(jié)】運(yùn)用兩個(gè)原理解決計(jì)數(shù)問題應(yīng)注意的事項(xiàng)58(2)對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題,我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.(2)對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步59【鞏固訓(xùn)練】現(xiàn)有高一年級(jí)的四個(gè)班的學(xué)生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人,有多少種不同的選法?(2)每班選一名組長(zhǎng),有多少種不同的選法?(3)推選兩人做中心發(fā)言,這兩人需來自不同的班級(jí),有多少種不同的選法?【鞏固訓(xùn)練】現(xiàn)有高一年級(jí)的四個(gè)班的學(xué)生34人,其中一、二、三60【解析】(1)分四類:第一類,從一班學(xué)生中選1人,有7種選法;第二類,從二班學(xué)生中選1人,有8種選法;第三類,從三班學(xué)生中選1人,有9種選法;第四類,從四班學(xué)生中選1人,有10種選法,所以,共有不同的選法N=7+8+9+10=34(種).【解析】(1)分四類:61(2)分四步:第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長(zhǎng).