切線長的判定

切線的判定

在理解圓的切線的定義的基礎(chǔ)上，了解判定圓的切線的三種方法。

掌握切線的判定定理。

能運(yùn)用切線判定定理解答一些有關(guān)的問題，學(xué)會(huì)在解答與切線有關(guān)問題時(shí),能正確的添加輔助線.

學(xué)習(xí)要求:導(dǎo)入新課:思考:直線和圓的位置關(guān)系?如何判定直線和圓的位置關(guān)系?觀察并思考:ol此圖表達(dá)了直線和圓的什么位置關(guān)系?一:講授新課:

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道直線和圓有三種不同的位置關(guān)系：相離、相切、相交。其中相切應(yīng)是關(guān)注的重點(diǎn)。當(dāng)直線和圓有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切.此時(shí)，直線叫做圓的切線，這種位置關(guān)系具有一條重要的性質(zhì)，即“直線l和⊙O相切

d＝r”。這就是說，如果圓心到直線的距離等于半徑，那么直線和圓相切、反之，也成立。因此，在⊙O中，經(jīng)過半徑OA的外端A，作直線l⊥OA，則圓心O到直線l的距離等于半徑r，故l必和⊙O相切。這一事實(shí)就是下面的定理：

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

二:定理說明:說明：在此定理中，題設(shè)是“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，結(jié)論為“直線是圓的切線”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線，

下面兩個(gè)反例說明只滿足其中一個(gè)條件的直線不是圓的切線：

例題講解:三:：

(1)題目中“半徑”已有，只需證“垂直”即可得直線與圓相切。

例1．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，D在AB的延長線上，BD＝OB，C在

圓上，∠CAB＝30°，求證：DC是⊙O的切線。

證明：連OC、BC，∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°

∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等邊三角形

∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°

∴∠DCO＝90°

∴DC⊥OC

∴DC是⊙O的切線。

關(guān)于切線的判定問題，常見類型有：

(2)題目中“垂直”已有，只需證“距離等于半徑”，即可得直線與圓相切。

例2．已知：如圖,⊙O的半徑為4cm，OA⊥OB，OC⊥AB于C，OB＝4

cm，

OA＝2

cm，求證：AB與⊙O相切。

證明：∵OA⊥OB，OC⊥AB

∴△AOB是直角三角形

又∵OA＝2

cm，OB＝4

cm

∴AB＝

＝10

根據(jù)三角形面積公式有：AB·OC＝OA·OB

∴OC＝

＝

＝4(cm)，OC是⊙O的半徑。

直線AB經(jīng)過半徑OC的外端C，并且垂直于半徑OC所以AB與⊙O相切。

(3)題目的條件中“垂直”和“距離等于半徑”都沒有明確顯示出來，就必須先作出“垂直”，再證“距離等于半徑”。

例3．如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝∠C，小圓與AB相切，求證：AC為小

圓的切線。

證明：作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D

設(shè)小圓的半徑為r。

∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴OD＝OE

又∵AB與大圓相切，∴OD＝r，∴OE＝r

故由切線判定定理知，AC為小圓切線。

課堂練習(xí):1．判斷：

(1)經(jīng)過半徑的一個(gè)端點(diǎn)，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切

(2)若一條直線與圓的半徑垂直，則這條直線是圓的切線

(3)以直角邊為半徑的圓一定與另一條直角邊相切。

(4)以等腰三角形斜邊的中點(diǎn)為圓心，直角邊的一半為半徑的圓，與兩

條直角邊相切。

2．下列命題中的假命題是：

A．和圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線

B．過直徑一端且垂直于這直徑的直線是圓的切線

C．點(diǎn)A在直線l上，⊙O半徑為r，若OA＝r時(shí)，則l是⊙O的切線

D．⊙O的直徑為a，則O點(diǎn)直線的距離為d，若d＝

a時(shí)，則l是⊙O的切線。

3．如圖，AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，PA交⊙O于點(diǎn)C，若AB＝6

cm，PB＝8cm，則AC＝，PC＝cm。

4．已知：如圖,⊙O的直徑長6cm，OA＝OB＝5cm，AB＝8cm，求證：AB

與⊙O相切。

5．已知：如圖，ABCD為直角梯形，AB⊥BC，CD＝AD＋BC，求證：以CD

為直徑的圓與AB相切。

分析：要證明以CD為直徑的圓與AB相切，只要證明圓心O到AB的距離等

于⊙O直徑的一半即可。

本講著重介紹了“切線的判定定理”利用此定理判定一條直線是否為

圓的切線時(shí)，必須注意直線是否符合題設(shè)的兩個(gè)條件，二者缺一不可.

課堂小結(jié):

要判定一條直線是圓的切線，我們已學(xué)過三種方法.

判定方法根據(jù)方法1和圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線切線定義方法2和圓心距離d等于圓的半徑r的直線是圓的切線直線l和⊙O相切

d＝r方法3過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線切線判定定理

在證明一條直線是圓的切線時(shí)，常常要添加輔助線，一般有以下兩種情況：

(1)如果已知直線過圓上某一點(diǎn)，則可作出過這點(diǎn)的半徑，并證明直線

與這條半徑垂直。

(2)若已知直線和圓的公共點(diǎn)沒有確定，這時(shí)應(yīng)過圓心作已知直線的垂

線，再證明圓心到直線的距離等于半徑。

同圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，若題中有切線，就有直角三角形存在。因此解直角三角形與解切線有關(guān)的問題有著直接的聯(lián)系和應(yīng)用應(yīng)予以關(guān)注。

課后作業(yè):1．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，

如圖，求證：DE是⊙O的切線。動(dòng)畫演示

分析：因?yàn)镈E經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)D，所以要證明DE為切線，可連結(jié)OD，

再證明DE⊥OD。

2．如圖(10)，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝

BC，E和F分別為AB和AC的中點(diǎn)，EF與AD交于G，以EF為直徑作⊙O，求證：⊙O與BC相切。分析：要證明以EF為直徑的⊙O與BC相切，只要過O作OH⊥BC于H，證

明OH等于直徑EF的一半。動(dòng)畫演示

3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P、B、C在一直線上，且PA2＝PB·PC，求證：PA是⊙O的切線。

分析：∵PA過⊙O上一點(diǎn)A，要證PA為切線，只要證PA⊥AO，為此，作

直徑AD，并連結(jié)CD，只要證PA⊥AD即可。

4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O外，AE交⊙O于C，CD是⊙O

的切線，交BE于點(diǎn)D，且DE＝DB，求證：BE是⊙O的切線。