高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專(zhuān)題講練：立體幾何第1講 素養(yǎng)提升之立體幾何選填專(zhuān)項(xiàng)沖刺 解析版

第1講素養(yǎng)提升之立體幾何選填專(zhuān)項(xiàng)沖刺目錄第一部分：知識(shí)強(qiáng)化第二部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：空間幾何體外接球突破二：空間幾何體內(nèi)切球突破三：用基底表示向量突破四：向量模及最值突破五：向量數(shù)量積最值突破六：空間向量的平行與垂直突破七：異面直線所成角突破八：直線與平面所成角

突破九：二面角

突破十：空間距離突破十一：立體幾何綜合問(wèn)題

第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)第一部分：知識(shí)強(qiáng)化1、空間向量的數(shù)量積1.1、定義：已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個(gè)空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;1.2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長(zhǎng)度的問(wèn)題;(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問(wèn)題;1.3、向量的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱(chēng)為向量在向量上的投影向量．類(lèi)似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱(chēng)為向量在平面上的投影向量．這時(shí)，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．1.4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積或等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積.2、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積3、空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示3.1、兩個(gè)向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特別提醒：在中，應(yīng)特別注意，只有在與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)，才能寫(xiě)成.例如，若與坐標(biāo)平面平行，則，這樣就沒(méi)有意義了.3.2、向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則，即空間向量長(zhǎng)度公式表示的是向量的長(zhǎng)度，其形式與平面向量長(zhǎng)度公式一致，它的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度3.3、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)，則3.4、兩點(diǎn)間的距離公式已知，則4、用向量法求空間距離4.1、點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：4.2、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長(zhǎng)度.5、用向量法求空間角5.1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則①②.5.2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）5.3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；第二部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：空間幾何體外接球1．（2022·四川成都·一模（理））已知邊長(zhǎng)為的菱形中，，沿對(duì)角線把折起，使二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，三棱錐中，，平面平面，取BD中點(diǎn)E，連接CE，AE，則，而平面平面，平面，則平面，平面，因此平面平面，同理平面平面，令點(diǎn)分別為正，正的中心，在平面內(nèi)分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，它們交于點(diǎn)O，連OC，因此平面，平面，而分別為三棱錐的外接球被平面，平面所截得的小圓圓心，則是三棱錐的外接球的球心，而，，顯然四邊形為正方形，，則球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積.故選：A2．（2022·對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）高三階段練習(xí)）已知正三棱錐，若平面，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖一所示：因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又因?yàn)閹缀误w為正三棱錐，所以,，又因?yàn)?所以，所以,所以，所以，即兩兩垂直，將三棱錐補(bǔ)成以為鄰邊的正方體，如圖二所示：則三棱錐的外接球即為補(bǔ)形后的正方體的外接球，所以，即，所以球=.故選：B.3．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高三階段練習(xí)）三棱錐中，平面，其外接球表面積為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，三角形ABC的平面圖如圖1：

圖1其中是等腰的外接圓的圓心，是AC的垂直平分線，是BC的垂直平分線，在的外部，依題意有，

；三棱錐的直觀圖如圖2：

圖2外接圓的圓心為PB的中點(diǎn)D，過(guò)作垂直于平面ABC的垂線，過(guò)D作垂直于平面PAB的垂線，兩垂線必相交于外接球的球心O，外接球的半徑，三棱錐P-ABC的高為PA，則有，在中，，三棱錐的體積為；故選：D.4．（2022·江蘇·南京師大附中高三階段練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面為正三角形，則其外接球體積最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)二面角的大小為，中點(diǎn)為，正方形的中心為，則，，，則，到底面的距離為，設(shè)球心到底面的距離為，而正方形的外接圓半徑為，則，而由得，，恒成立，故最小值為，，即外接球體積最小值為，故選：C5．（2022·安徽·阜陽(yáng)師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)是長(zhǎng)方體的外接球球心，為球面上一點(diǎn)，，若與所成的角為，則四棱錐的體積的最大值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】連接，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，所以是與所成角，所以，由于，所以四邊形是正方形，所以，所以三角形是等邊三角形，所以，所以，所以長(zhǎng)方體是正方體，設(shè)外接球的半徑為，則，球心到平面的距離為，所以四棱錐的體積的最大值為.故答案為：6．（2022·湖南師大附中高二階段練習(xí)）三棱錐中，，則三棱錐的外接球表面積為_(kāi)__________.【答案】【詳解】解：由題意，如圖，在△中，，∴，∵，面，，∴⊥面，又面，∴在△中，同理可得，，∵面，，∴面，又面，∴∴棱中點(diǎn)為外接球球心，外接球半徑為，∴外接球表面積為.故答案為：.7．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）在正四面體中，為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作該正四面體外接球的截面，記最大的截面面積，最小的截面面積為，則__________；若記該正四面體內(nèi)切球和外接球的體積分別為和，則__________．【答案】

【詳解】將正四面體放置于正方體中，如圖所示，可得正方體的外接球就是正四面體的外接球，外接球的球心O為正方體的體對(duì)角線DF的中點(diǎn)，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正方體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)橥饨忧虻闹睆降扔谡襟w的對(duì)角線長(zhǎng)，所以外接球的半徑為，E為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)E作該正四面體外接球的截面，當(dāng)截面過(guò)球心O時(shí)，截面面積最大，最大值為，當(dāng)截面到球心O的距離最大時(shí)，截面圓的面積取最小值，此時(shí)球心O到截面的距離為，可得截面圓的半徑為，從而截面面積的最小值為．所以；設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為G，半徑為，取底面BCD的中心H，連接AH，則AH為正四面體的高，G在AH上，H在DE上，正四面體的每個(gè)面的面積為，，正四面體的高，故正四面體的體積為，連接G與正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)可以得到4個(gè)的正三棱錐，每個(gè)正三棱錐體積為，則，所以，求得，故正四面體內(nèi)切球的體積，正四面體外接球的半徑為，外接球的體積為，．故答案為：；27．突破二：空間幾何體內(nèi)切球1．（2022·福建·浦城縣第三中學(xué)高三期中）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，陽(yáng)馬居二，鱉臑居一.”下圖解釋了這段話中由一個(gè)長(zhǎng)方體得到塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑的過(guò)程.在一個(gè)長(zhǎng)方體截得的塹堵和鱉臑中，若塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為1，則鱉臑體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為，所以直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，，設(shè)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，所以鱉臑體積.故選：C2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四面體中，截面經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心，且與、分別截于、.如果截面將四面體分為體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐與三棱錐的表面積分別為，，則必有（

）A． B． C． D．的大小不能確定【答案】C【詳解】解：連接、、、，，，則，，又，而以上等式右邊的每個(gè)三（四）棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，又面公共，故，即.故選：C．3．（2022·福建·高三階段練習(xí)）已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，則有，也即，解得：，正三棱錐的體積，也即，解得：，所以，故選：B.4．（2022·河北張家口·高二期中）球O為正四面體的內(nèi)切球，，是球O的直徑，點(diǎn)M在正四面體的表面運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】##【詳解】如圖，為中點(diǎn)，為中心，平面，設(shè)球O的半徑為r，，正四面體中，易求得所以正四面體的高為，所以根據(jù)體積公式得：，解得，因?yàn)辄c(diǎn)M在正四面體的表面運(yùn)動(dòng)，所以，所以．故答案為：．5．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知球是棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球，則球的體積為_(kāi)_______，平面截球的截面面積為_(kāi)_______．【答案】

【詳解】正方體內(nèi)切球半徑是該正方體棱長(zhǎng)的一半，球的半徑，球的體積；是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，球與平面、、分別相切于的中點(diǎn)，平面截球所得的截面為的內(nèi)切圓，的內(nèi)切圓半徑，所求截面面積.故答案為：；.突破三：用基底表示向量1．（2022·甘肅·測(cè)試·編輯教研五高二期末（理））如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意知，故選：C.2．（2022·內(nèi)蒙古·包頭一中高二期中（理））已知空間四邊形ABCO中，，，，M為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖所示：點(diǎn)N在BC上，且，∴，由，，，為中點(diǎn)，，，．故選：D．3．（2022·河南·宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，G是與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)闉槿庵?，所以?故選：.4．（2022·四川·射洪中學(xué)高二期中（理））如圖，在三棱錐中，設(shè)，，，若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，，故選：A.突破四：向量模及最值1．（2022·四川南充·高三期中（文））如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，、分別是棱、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，設(shè)點(diǎn)，其中、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，因?yàn)槠矫?，則，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值.故選：C.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，且平面，則長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】以D為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，，.取的中點(diǎn)為H，連接，.在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又面，面，所以面.同理可證：面.又，所以平面平面．因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)P只能在線段上運(yùn)動(dòng)．易知，設(shè)（），，則，，，．當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值36．故PC長(zhǎng)度的取值范圍為．故選：C3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，面，則的長(zhǎng)為（

）．A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，所以，有，，故?故選：A.4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上（包括邊界）移動(dòng)，且滿足，則線段的長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C． D．3【答案】D【詳解】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（a，b，0），則（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2），＝（a?2，b?2，?2），＝（1，2，?2），∵P⊥E，，∴a＋2b?2＝0，∴點(diǎn)P的軌跡是一條線段，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，可取到最大值9，∴線段P的長(zhǎng)度的最大值為3．故選：D．5．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第十中學(xué)高二階段練習(xí)）向量，若，則__________．【答案】【詳解】由題意知向量，，，且，所以且，解得，故，，則，所以，故答案為：.6．（2022·河南·高二階段練習(xí)）設(shè)，向量，且，則___________.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，解得，則.因?yàn)?，所以，解得，則..故答案為：7．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因?yàn)?、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，，因?yàn)?，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因?yàn)?，可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.故答案為：.突破五：向量數(shù)量積最值1．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)高二期中）在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)、最短時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，可得平面，，?dāng)，最短時(shí)，面，且，則正四面體中，為的中心，為的中點(diǎn)，如圖所示，又因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2，在正三角形中，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，故選：C．2．（2022·浙江臺(tái)州·高二期中）已知點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)（包括邊界），則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【詳解】如圖，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，，則，，，當(dāng)或，或時(shí)，最大，為1.故選：C.3．（2022·貴州·高二期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面ACD，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG.易得，，因?yàn)槠矫?，平面，，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以H為線段FG上的點(diǎn).由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因?yàn)?，所以平面，?因?yàn)?，所以?.因?yàn)椋?故選：B.4．（2022·廣東·江門(mén)市廣雅中學(xué)高二期中）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N是矩形內(nèi)（包括邊界）的任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)正方體的中心為O，連接OP，OM，ON．由正方體的性質(zhì)可知，，，那么，又，所以.當(dāng)與反向，且時(shí)，有最小值，此時(shí)；當(dāng)與同向，且時(shí)，有最大值，此時(shí)，即的取值范圍為．故選：B5．（2022·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因?yàn)镸N是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，最小，且最小為；所以，所以的取值范圍為，故選：B6．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則，，所以，，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，故選：A突破六：空間向量的平行與垂直1．（2022·安徽·亳州二中高二期中）設(shè)，向量，，，且，，則（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【詳解】因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，故，故，，故，故，故選：D.2．（2022·山東·聊城市茌平區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，，，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋?，解得，，?,，又因?yàn)?，所以，即，解得．所?4,，,,，所以,2,，,,，所以，，，設(shè)與的夾角為，則．故選：A.3．（2022·黑龍江·大慶二中高二階段練習(xí)）已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C4．（2022·河南·北大公學(xué)禹州國(guó)際學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，平面平面是等邊三角形，四邊形是矩形，且，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【詳解】分別取的中點(diǎn)O，G，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則．設(shè)，則．因?yàn)?，所以，解得，所以．故選:C5．（2022·山東·萊州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知向量，點(diǎn)．在直線上，存在一點(diǎn)E，使得，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)__________．【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，所以，，，，因?yàn)?，所以，解得，又，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.6．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知，，且與垂直，則的值為_(kāi)__________.【答案】【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以，解得：，所以的值為，故答案為：.突破七：異面直線所成角1．（2022·廣東·肇慶市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，分別是正方形的邊的中點(diǎn)，將沿著折起到的位置，使平面平面，連接，，則所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又平面，平面平面，平面平面，所以平面，又分別是正方形的邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.設(shè)所成的角為，則.故選：C.2．（2022·河北張家口·高二期中）如圖，在三棱錐中，平面，是正三角形，，，F(xiàn)是棱上一點(diǎn)，且滿足，則異面直線與所成角的余弦值是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，易知，，，，，，設(shè)，則，已知，因?yàn)?，，所以，可得，即，所以，所以，則，∴異面直線與所成角的余弦值為．故選：B．3．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合），且．若直線與所成角的余弦值是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，．因?yàn)榈酌鏋榫匦危裕訢P，DC，DA兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．所以，．因?yàn)?，所以，則．設(shè)直線MN與BD所成角為，則．因?yàn)?，則，化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍去）．故選：B4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，線段AB，SC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，若異面直線EC與BF所成角的余弦值為，則（

）A． B．4 C．2 D．3【答案】B【詳解】如圖示，以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向聯(lián)立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè).則，，，，，，.所以，.因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的余弦值為，所以，解得：t=4.即4.故選：B5．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高二期中）已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，SD⊥平面ABCD，邊AB、SC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).若直線EC與BF所成角的余弦值為，則SD＝（

）A．2 B． C．4 D．1【答案】C【詳解】以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz.設(shè)，則，，，，所以，所以，.因?yàn)橹本€EC與BF所成角的余弦值為，所以，解得，也即.故選：C.突破八：直線與平面所成角

1．（2022·江蘇·南京田家炳高級(jí)中學(xué)高二期中）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=AA1=2BC，E為DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D的中點(diǎn)，則直線EF與平面A1CD所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】側(cè)棱AA1垂直于底面，則，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，設(shè)平面A1CD的法向量為，，則，取，則，即直線EF與平面A1CD所成角的正弦值為.故選：C2．（2022·福建省德化第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在四棱雉中，平面，，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，是的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接交于點(diǎn)，以分別為軸，過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)與平面所成的角為，則，所以，，所以與平面所成的角的正切值為，故選：B3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知圓錐的底面圓心為，頂點(diǎn)為，側(cè)面展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為，，是底面圓周上的兩點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，，，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為，所以，于是，所以，所以，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，0，，，，，，，，，，，，，，，，，平面的法向量為，0，，與平面所成角的正弦值為，，所以與所成角的余弦值為．故選：A4．（2022·浙江·余姚中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓柱中，點(diǎn)在圓上，，，點(diǎn)、在圓上，且滿足，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為_(kāi)_________.【答案】【詳解】取中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，則，設(shè)，直線的方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為，即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.故答案為：.5．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知幾何體如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在DG上，若直線MB與平面BEF所成的角為45°，則___________.【答案】##【詳解】把該幾何體補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖，，連接，由平面，平面，得，同理，．又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面內(nèi)的直線在平面上的射影是，即是直線MB與平面BEF所成的角，，，．，．故答案為：．6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是__________________．【答案】【詳解】因?yàn)锳BCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），因?yàn)?，所以F是CC1四等分點(diǎn)（靠近C），所以F（0,2,1），所以，設(shè)平面D1EF的一個(gè)法向量為，則，即，令c＝2，則，故，又，平面D1EF，所以，即，所以，所以，故，因?yàn)?≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，因?yàn)椋詜MD|在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝時(shí)，|MD|取最大值，所以|MD|的最大值為，當(dāng)x＝2時(shí)，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值為，所以|MD|的取值范圍是．故答案為：.突破九：二面角

1．（2022·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高二期中）已知菱形中，，沿對(duì)角線AC折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，設(shè)中點(diǎn)為，，則平面，，故以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2，則，，，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則滿足，即，令，可得，故，則，即二面角的余弦值為.故選：D2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中，中點(diǎn)為，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得，0，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為鈍角，二面角的余弦值.故選：.3．（2022·山東·日照一中高二階段練習(xí)）已知菱形中，，沿對(duì)角線折疊之后，使得平面平面，則平面與平面的夾角的余弦值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又平面平面，平面平面，所以平面，如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，則，又取平面的一個(gè)法向量為，所以，故選：D．4．（2022·河南·安陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（理））在矩形中，，，沿對(duì)角線把矩形折成二面角的平面角為時(shí)，則__________.【答案】【詳解】分別過(guò)兩點(diǎn)作，，垂足為,如下圖所示：根據(jù)勾股定理可求出：，沿對(duì)角線把矩形折成二面角的平面角為時(shí)，則，.5．（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，，且，若，，則平面APB與平面PBC夾角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】##【詳解】在平面內(nèi)作，垂足為，因?yàn)?，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD，故AB⊥PD，又,平面PAD，平面PAD從而AB⊥平面PAD，又平面PAD，故，又,，平面,平面.可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.所以，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則即令，則，故.設(shè)是平面的法向量，則即令，則，故.則平面APB與平面PBC夾角的余弦值為故答案為：6．（2022·福建·泉州七中高二階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，//，且，若，，則二面角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn),連接，，由已知可得//，//∵，∴，，∴，，∴平面，∴，又∵，∴∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，∵，∴,∴，，，.所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即，令，則，，∴.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即，令，則，，∴.則，由圖可知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.故答案為：.突破十：空間距離1．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，在線段上，且，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)為平面的法向量，且，則即取,故點(diǎn)到平面的距離.故選：B.2．（2022·安徽·合肥市第七中學(xué)高二期中）如圖，ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

因?yàn)?，所以，?所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：D.3．（2022·山西省運(yùn)城中學(xué)校高二期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】如圖，是底面正的中心，平面，平面，則，，則，又，，，直線交于點(diǎn)，，以直線為軸，為軸，過(guò)平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，設(shè)與和都垂直，則，取，則，，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線與間的距離等于．故選：D．4．（2022·浙江·高二期中）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，平面與平面之間的距離為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，所以平面與平面之間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面之間的距離，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，，，所以點(diǎn)到平面之間的距離為，即平面與平面之間的距離為.故選：C.5．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長(zhǎng)為4，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____.【答案】3【詳解】連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，是等邊三角形，點(diǎn)在直線上的射影在邊上（靠近的四等分點(diǎn)），由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，∴為銳角，，為異面直線與所成角，即.在菱形中，，，，．設(shè)，則，，，，，，，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：3.6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡(jiǎn)稱(chēng)為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱AB上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為_(kāi)__________；若點(diǎn)P在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，M為CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面的距離的最小值為_(kāi)__________.【答案】

【詳解】①以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則設(shè)，由得，所以，所以若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為.②設(shè)點(diǎn)，由得，所以，由題得所以設(shè)平面的法向量為，所以，令，則由題得，所以點(diǎn)P到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)M到平面的最小距離為.故答案為：；.突破十一：立體幾何綜合問(wèn)題

1．（2022·陜西·漢陰縣第二高級(jí)中學(xué)一模（理））如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，，，點(diǎn)M在棱上，且，平面與平面的夾角為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．平面平面 B．C．點(diǎn)M到平面的距離為 D．多面體的體積為【答案】D【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)G，連接交于N，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以⊥，且N是的中點(diǎn)，所以且，又，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以，又因?yàn)槠矫?，所以⊥平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)H，由四邊形是菱形，，則，所以是正三角形，所以，所以，又平面，以A為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，重合，此時(shí)平面與平面的夾角為，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，兩式相減得：，令，得，故，平面的法向量可取，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，結(jié)合B，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，解得：，取，得，故，所以點(diǎn)M到平面的距離，故C正確；對(duì)于D，，故，梯形的面積為，，故，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，，，點(diǎn)G是P在平面內(nèi)的射影，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，取的中點(diǎn)D，連接，為等邊三角形，∴，由題意知平面，平面，故,又，，則，所以，而平面,所以平面,又平面,所以平面平面,平面平面,∴點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影在直線上，連接PG，則，在中，，，則，，故，則,∴點(diǎn)G是的重心.以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的垂線為x軸，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，則，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為,故選:C.另解：同解法一得出點(diǎn)G是的重心.如圖，取的中心E，連接EG，則,故，則異面直線與所成的角為，因?yàn)槠矫?，故平面，連接CE，在中，，，,∴，故異面直線與所成角的余弦值為,故選：C.3．（2022·江西宜春·高二階段練習(xí)（理））在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，且．若點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．平面B．直線和直線所成的角為C．過(guò)點(diǎn)的平面與四棱錐表面交線的周長(zhǎng)為D．當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一個(gè)橢圓【答案】D【詳解】由題意可知因?yàn)槠矫?，平面，所以，又底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，軸，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，所以由題意,所以，設(shè)平面的法向量，所以，解得，因?yàn)椋云矫?，A正確；因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以直線和直線所成的角為，B正確；延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，則過(guò)點(diǎn)的平面與四棱錐的截面為，取的中點(diǎn)為，則，又，所以，所以，所以為中點(diǎn)，即為靠近的四等分點(diǎn)，同理為靠近的四等分點(diǎn)，所以，則,則截面周長(zhǎng)為，C正確；因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離，設(shè)與平面交于，由A得因?yàn)槠矫妫?所以，即為定值，所以的軌跡為圓，D錯(cuò)誤；故選：D4．（多選）（2022·廣東·高三階段練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．直線⊥平面B．直線平面C．異面直線AP與所成角的取值范圍是D．三棱錐體積為定值【答案】ABD【詳解】分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，對(duì)于A：設(shè)邊長(zhǎng)為1，則,，所以，因?yàn)?，所以，即，又平面，所以直線平面，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)辄c(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，所以設(shè)點(diǎn)，則，由上可知：平面的法向量為，，因?yàn)槠矫妫灾本€平面，故B正確；對(duì)于C：，設(shè)異面直線AM與所成角為，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，綜上，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)椋c(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P到直線的距離不變，即的面積不變，又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離恒為，所以點(diǎn)到平面的距離不變，即三棱錐的高不變，所以三棱錐的體積為定值，而，故D正確，故選：ABD5．（多選）（2022·湖南省桃源縣第一中學(xué)高三期中）如圖，正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得B．三棱錐的體積為定值C．若動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，為半徑的球面上，則的最小值為D．過(guò)點(diǎn)，，作正方體的截面，則截面多邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是【答案】BCD【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，在正方體中，以為直徑的球面，半徑，則直線與該球面沒(méi)有公共點(diǎn)，故不存在點(diǎn)，使得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，因?yàn)椋驗(yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，故，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)，，，因?yàn)?，所以，故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，截面多邊形如圖(1)所示，其側(cè)面展開(kāi)圖如圖(2)所示，

圖(1)

圖(2)當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，即與點(diǎn)重合，截面多邊形為正三角形，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，截面多邊形的周長(zhǎng)先增大后減小，即點(diǎn)隨著點(diǎn)的移動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，截面為平行四邊形，截面多邊形的周長(zhǎng)最大，此時(shí)周長(zhǎng)為，所以截面多邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD6．（多選）（2022·廣東惠州·高二階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中,已知E為線段的中點(diǎn),點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿足,,其中,則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí),平面與平面FAC的夾角余弦值為B．當(dāng)時(shí),四棱錐的外接球的表面積是C．的最小值為D．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì),使得平面PDF【答案】ABD【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),F為線段的中點(diǎn),以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在的直線為軸,DC所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，,,,.,,,設(shè)平面的法向量為,平面ACF的法向量為,由,即,令，得,同理，即，令，得,所以,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),點(diǎn)P為正方體的中心,設(shè)四棱錐的外接球的半徑為,由,解得,故四棱錐的外接球的表面積為,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)求點(diǎn)P使得最小,如圖,作點(diǎn)E關(guān)于線段的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作、AB的垂線,垂足分別為F和H,交于點(diǎn)P.則,設(shè),結(jié)合,,，,故,故,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于D,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，,,,,,故,,,若平面PDF,則即,解得（舍）或,故存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì),使得平面PDF,故選項(xiàng)D正確,故選:ABD．7．（2022·對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）高三階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面分別與直線交于點(diǎn)，為側(cè)面（含邊界）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).給出以下命題：①四邊形一定為菱形；②四棱錐的體積為定值；③平面與平面所成的角不大于；④的最小值為.其中正確命題的序號(hào)是______.【答案】①②④【詳解】對(duì)于①，連接，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可得：，四邊形為平行四邊形；分別為中點(diǎn)，；四邊形為正方形，，又平面，平面，，，平面，平面，平面，又平面，，四邊形為菱形，①正確；對(duì)于②，由①知：四邊形為菱形，，；，點(diǎn)到平面的距離為，，則為定值，②正確；對(duì)于③，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量；，為平面與直線的交點(diǎn)，；則當(dāng)時(shí)，，平面與平面可以大于，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，作出關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可得：，四邊形為平行四邊形，平面，又平面，又平面平面，，又，，為中點(diǎn)，即，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，即為如圖所示點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），，④正確.故答案為：①②④.8．（2022·北京·海淀教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)沿著棱從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得，且這樣的點(diǎn)有兩個(gè)；②的面積越來(lái)越小；③四面體的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】②③【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè)（），則，，令，解得：，存在唯一一個(gè)點(diǎn)P，使得，①錯(cuò)誤；，，，，設(shè)點(diǎn)P到直線距離為，則所以，因?yàn)?，?dòng)點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，即從0逐漸變到2，隨著的變大，變小，的面積越來(lái)越小，②正確；以為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離，因?yàn)椤蔚酌?，所以h不變，所以四面體的體積不變，③正確.故答案為：②③.9．（2022·北京師大附中高三階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)，重合）.給出下列說(shuō)法：①當(dāng)變化時(shí)，三棱錐的體積不變；②當(dāng)變化時(shí)，平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為；④存在點(diǎn)，使得直線.其中所有正確的說(shuō)法是______.【答案】①②【詳解】解：由題意對(duì)于①∵，∴N到面的距離相等，設(shè)為d，，∴三棱錐的體積為定值，①正確.對(duì)于②，∵面與面有公共點(diǎn)M，∴面與面有一條經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的交線，∴在面中，作該交線的平行線，則該直線平行于面，②正確.對(duì)于③，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，，，，，，，，，，，∴，，∴，∴當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為，③錯(cuò)誤.對(duì)于④，設(shè)，則，，若直線⊥面，，無(wú)解，∴存在點(diǎn)，使得直線，④錯(cuò)誤.故答案為：①②.第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)一、單選題1．（2022·河北·涉縣第一中學(xué)高三期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中挖掉一個(gè)體積最大的圓錐（圓錐的底面在正方體的底面上），再將該圓錐重新熔成一個(gè)圓柱，則該圓柱表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題可知體積最大的圓錐的體積為，設(shè)圓柱的高為，底面圓的半徑為，所以，即.圓柱的表面積，設(shè)則，在上是單調(diào)遞增的,易知當(dāng)，即時(shí)，取得最小值,即最小值為.故選：2．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為12的正四面體內(nèi)有一個(gè)正方體玩具，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則這個(gè)正方體玩具的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，正四面體的邊長(zhǎng)為，則正方體的邊長(zhǎng)為，正四面體的體積為，設(shè)其內(nèi)切球的半徑為，則，解得.已知正四面體的棱長(zhǎng)為12，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體玩具的外接球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，所以內(nèi)切球的半徑，內(nèi)切球的直徑，內(nèi)切球的直徑也即正方體玩具的體對(duì)角線長(zhǎng)的最大值，設(shè)此時(shí)正方體玩具的邊長(zhǎng)為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為.即正方體玩具的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為.故選：D3．（2022·廣東·肇慶市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，則它的內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，為的中點(diǎn)，底面，則為的中心，底面的面積.又，所以，所以.設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以.故選：B4．（2022·湖南·慈利縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如下圖是一個(gè)正八面體，其每一個(gè)面都是正三角形，六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O與正八面體的體積之比是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意得正方形的中心即為外接球球心，設(shè)，則，球的體積為，而，故正八面體的體積，得，故選：A5．（2022·江西·高二階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，當(dāng)時(shí)，有平面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【詳解】如下圖所示：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，則，設(shè)即，，由得即，所以則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以令，則；所以由平面可知，,即.所以.故選：C6．（2022·湖南岳陽(yáng)·高二期中）平行六面體中，則它的對(duì)角線的長(zhǎng)度為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【詳解】由于，而所以，將等式兩邊同時(shí)平方得：，，所以，即對(duì)角線的長(zhǎng)度為.故選：D.7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱的底面為正三角形，M，N分別為AC，的中點(diǎn)，若，則異面直線與MN所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【詳解】解法一：如圖，設(shè)直三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，，連接，則，，，因?yàn)?，所以在中，由勾股定理可得，?連接，交于點(diǎn)P，取的中點(diǎn)Q，連接PQ，AQ，則，，所以為異面直線與MN所成的角或其補(bǔ)角.易知，故為等邊三角形，，所以異面直線與MN所成角的大小為60°.解法二：設(shè)直三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，，連接，則，，，因?yàn)?，所以在中，由勾股定理可得，?如圖，把三棱柱補(bǔ)成一個(gè)四棱柱，連接，，則，，故為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.連接AD，易知，故為等邊三角形，，所以異面直線與所成角的大小為60°.解法三

由題可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，所在直線為y，z軸，在平面ABC上過(guò)點(diǎn)A作與AB垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為h，則，，，，所以，，，由可得，所以，得，所以，，則，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍為，所以異面直線與MN所成角的大小為60°.故選：C8．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，正方體中，M是的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線相交，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線AC異面，直線平面D．直線與直線垂直，直線∥平面【答案】D【詳解】解：因?yàn)槭钦襟w，不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，又M為的中點(diǎn)，故可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，故可得．設(shè)平面的法向量為則，即，不妨取，故可得．對(duì)A：因?yàn)?，，故BM，不相交，故錯(cuò)誤；對(duì)B：，，不存在非零實(shí)數(shù)，使得，故MB，不平行，故錯(cuò)誤；對(duì)C：，平面的法向量為，不存在非零實(shí)數(shù)，使得，故MB與平面不垂直，故錯(cuò)誤；對(duì)D：，，則，故直線MB與垂直；又，故MB與平面平行，故正確；故選：D．二、多選題9．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高二期中）如圖所示