（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）概率的定義

概率的定義一、頻率三、概率的一般定義與性質(zhì)二、概率的統(tǒng)計(jì)定義下頁(yè)一、頻率1.隨機(jī)事件的發(fā)生可能性有大小之分

投一枚均勻的骰子，考察下列事件發(fā)生的可能性大?。?/p>

Ａ＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)２”；Ｂ＝“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”．

頻率的定義：如果在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生了r次，則稱比值r/n

為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fn(A)．即fn(A)＝

2.隨機(jī)事件的發(fā)生頻率在某種意義反應(yīng)了事件發(fā)生的可能性大小下頁(yè)一、頻率

大量次的觀察發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．3.頻率具有穩(wěn)定性例1.拋一枚硬幣,觀察事件“正面向上”發(fā)生的規(guī)律．實(shí)驗(yàn)者總次數(shù)正面次數(shù)fn(H)蒲豐404020480.5070K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005下頁(yè)二、概率的統(tǒng)計(jì)定義頻率的性質(zhì)：⑴.0≤fn(A)≤1;⑵.fn

(Ω)=1⑶.若A1，A2，…，An

是兩兩互不相容的事件，則概率有哪些性質(zhì)？先考察一下頻率的性質(zhì)下頁(yè)

定義1

在一組不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了nA．當(dāng)n很大時(shí)，頻率fn(A)＝穩(wěn)定地在一數(shù)值p

附近擺動(dòng)，且這種擺動(dòng)幅度隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加有愈來(lái)愈小的趨勢(shì)，我們就稱數(shù)值p為隨機(jī)事件A的概率，記為P(A)，即P(A)=p.三、概率的一般定義與性質(zhì)1.

概率的一般（公理化）定義

定義2

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是它的樣本空間．對(duì)于E中的每一事件A對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),稱P(A)為事件A的概率．如果P(A)滿足下列三個(gè)條件：

(1)非負(fù)性

P(A)≥0;(2)規(guī)范性

P(Ω)=1;(3)可列可加性對(duì)于兩兩互不相容的可數(shù)個(gè)事件A1，A2，…，有下頁(yè)三、概率的一般定義與性質(zhì)性質(zhì)1

P(Φ)=02.

概率性質(zhì)證明：令A(yù)n=Φ(n=1,2,…)，則Φ=A1∪A2∪…，且AiAj=Φ(i≠j，i,j=1,2,…)由可列可加性有P(Φ)=P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…=P(Φ)+P(Φ)+…再由P(Φ)≥0得，P(Φ)=0．下頁(yè)三、概率的一般定義與性質(zhì)性質(zhì)2

若A1,A2,…,An,是兩兩互不相容的事件，則有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)．2.

概率性質(zhì)證明：令A(yù)n+1

=An+2

=…=Φ，即有AiAj=Φ(i≠j，i,j=1,2,…)由可列可加性有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+P(Φ)+…=P(A1)+P(A2)+…+P(An)．下頁(yè)三、概率的一般定義與性質(zhì)

性質(zhì)3設(shè)A是A的對(duì)立事件，則P(A)=1-P(A)．AA證明：由于A∪A=Ω，A=f，所以有P(Ω)=P(A)+P(A)，2.

概率性質(zhì)．下頁(yè)三、概率的一般定義與性質(zhì)則P(B－A)=P(B)－P(A)ＡΩＢ證明：由于

B=A∪(B－A)且A(B－A)=Φ

P(B)=P(A)+P(B－A)于是P(B－A)=P(B)－P(A)．推論１

Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB)．AB推論２若，則P(B)≥P(A)性質(zhì)4

設(shè)A、B為二事件，若性質(zhì)5

設(shè)任意兩個(gè)事件A、B，則P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)．證明:

由右圖1可知

A∪B=A＋(B－AB)且由概率可加性及性質(zhì)4得P(A∪B)=P(A)+P(B－AB)=P(A)+P(B)－P(AB）A(B－AB)=Φ，ABＡＢ推論1

P(A∪B

）≤P(A)+P(B)

推論2

設(shè)隨機(jī)事件A1，A2，A3

，則A1A2A3下頁(yè)三、概率的一般定義與性質(zhì)推論3

設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)隨機(jī)事件，則下頁(yè)三、概率的一般定義與性質(zhì)例1.求證證明:

由于且與互不相容，于是下頁(yè)例2.設(shè)A、B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,求下列各事