第3章多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題及答案

第三章多維隨機(jī)變量及其分布一、填空題隨機(jī)點（X"）落在矩形域［x}<x<x2,y{<y<y2］的概率為Fg,）—Fg,戸）+Fg,力）一F（“，力）?2、 （X,/）的分布函數(shù)為F（x,y）,則F（—s,y）= —.3、 （X』）的分布函數(shù)為Fgy）,則F（"0,刃=Fgy）4、(X,K)的分布函數(shù)為Fgy),則F(x,+oo)=Fx(x)5、設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為0<x<2,2<y<4

其它6、隨機(jī)變M（x,r）的分布如下，寫出其邊緣分布.7、設(shè)f（x.y）是X"的聯(lián)合分布密度，人（切是X的邊緣分布密度，則ff（x）=1.J-8X8、二維正態(tài)隨機(jī)變x和丫相互獨立的充要條件是參數(shù)p=_o

9、如果隨機(jī)變雖:(X,Y)的聯(lián)合槪率分布為\123(11116918213aPTOC\o"1-5"\h\z6 4 2則久0應(yīng)滿足的條件是_a+陸一」若X與丫相互獨立，則a=_—_，0=_—_?18 18 1810、設(shè)X,Y相互獨立，X?N(0J),y?N(0?l),貝|J(X,Y)的聯(lián)合概率密度-±-—1/(兒刃=_一￡2Z=X+Y的概率密度"Z)=_ —4_?一2兀 " ~y!27ry/2 ■12、設(shè)( )的聯(lián)合分布函數(shù)為( 、A+7 一 一 x>0,y>0F(兀y)=] (l+x+y)?(1+x)"(1+)、)~ 則a=_i_o0二、證明和計算題1、袋中有三個球，分別標(biāo)著數(shù)字1,2,2,從袋中任取一球，不放回，再取一球，設(shè)第一次取的球上標(biāo)的數(shù)字為X,第二次取的球上標(biāo)的數(shù)字丫，求(X,Y)的聯(lián)合分布律.解：p{x=i,y=i)=l-oP{X=1,Y=2}丄1=1TOC\o"1-5"\h\z3 311P{X=2,Y=l}=—?一=一32 3211P{X=2,Y=2}= _2 32、三封信隨機(jī)地投入編號為123的三個信箱中，設(shè)X為投入1號信箱的信數(shù)，丫為投入2號信箱的信數(shù).求(X,Y)的聯(lián)合分布律.解：解：X的可能取值為0,123 丫的可能取值為04,23P{x=o,y=o}=*3P{X=0,Y=\}=-r23P{x=o,r=2)=3f-=yp(x=o,r=3}=lP{X=tY=0}=^P{X=l,y=l}=3x2333x1P{X=\,Y=2}=—P{X=1』=3}=0p(x=2,y=o)=|iP{X=2,Y=\}=^p{x=3,y=0}=lP{X=2.Y=2}=0P{X=2,Y=3}=0P{X=3,Y=1}=P{X=3,Y=2}=P{X=3,丫=3}=0273一276一273一27O丄27327227127O*12.3問3、設(shè)函數(shù)1F(x,y)二<x+2y>1x+2y<lF(x,y)是是某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分解：F(x,y)布不因P{0<2,說明理由。并是某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函o<1}=F(2,1)-F(0z1)-F(2,0)+F(0,0)=1-1-1+0=-KO故F(x,y)不'+□0是某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函-2g(y[^a4、設(shè)g(x)>0,且］gWclx=1t有/(x,y)=0,其它證明：f(x.y)可作為二維連續(xù)型隨機(jī)變雖:的概率密度函數(shù)。證明：易驗證g)“，又匚口g陽尸廠「2：(仃)艸=第％「響加訂二（訕“符合概率密度函數(shù)的性質(zhì)，可以是二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。5、在［0,兀］上均勻地任取兩數(shù)X與Y,求P{cos（X+Y）<0}的值。解：/(x,y)=<P',0-X,y-^,P{cos(X+K)<0=P{-<X+Y<-)=-x>0,y>0其它TOC\o"1-5"\h\zx>0,y>0其它6、設(shè)隨機(jī)變量（x,y）的密度函數(shù)為/（x,>■）=［ke⑴確定常數(shù)￡ ⑵求(X”)的分布函數(shù)⑶求p(o<x<io<y<2)解：⑴J：dyj： =1忙嚴(yán)則：宀/—”-工?[-”']；=善 ?譏=12(2)F(x,y)=JJJj2e^3u+4v)dudv=12—(1-e~3x)(1-嚴(yán))=(1一嚴(yán))(1一宀) x>0,y>0F(x,y)=0(3)P{0<X<l,0<y<2)=F(l,2)+F(0,0)-F(l,0)—F(0,2)=(1一小)(1—八)+0=0.950217、設(shè)隨機(jī)變雖：（X,Y）的概率密度為+xy/300<x<t0<y<2+xy/300<x<t0<y<2其它求P{X+Y>\}解：P{X+Y>\}=JJfg)嗎=J：必(H+耳)dy.v+y>l " '

8、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域D={(x.y)\a<x<b^c<y<d}內(nèi)服從均勻分布,⑴求聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度.⑵問隨機(jī)變量X、Y是否獨立解：⑴根據(jù)題意可設(shè)(XV)的概率密度為a<x<b.c<y<d其它「+oc戶+oc rbrddy=M(b_a)(d-c)=LL/g〉')加7ydy=M(b_a)(d-c)于是"^7^于是"^7^其它即fx(牙)=\b-a0其它r+8 /?bdxr+8 /?bdx(b-a)(d-c)1d_cc<y<d

其它(2)因為/(x,y)=AW-A(y)>故x與y是相互獨立的.1一3?丫一3~y+3°rx>0v>09、隨機(jī)變M(X.r)的分布函數(shù)為F(x,y)= ' ' '一二:一求：0, 其它(1)邊緣密度：(2)驗證X,Y是否獨立。解:(1)dF(xyy)/dx=In3X(3"x-3^),d2F(x9y)/dxdy=In23x3^,

In23x3-v"vx>0,0<y0 其它fIn23x3*，=In3x3中x>00 其它[ph23x3"^\7x=ln3x3~>,y>0AW=iJ()〔o 其它（2）因為f（x.y）=AW-A（y）>故x與丫是相互獨立的.10、一電子器件包含兩部分，分別以x,丫記這兩部分的壽命（以小時記），設(shè)（X,Y）的分布函⑴問X和y是否相互獨立 （2）并求P{X>120,Y>120）0 x<0竹(y)=F(+H1-嚴(yán)“y>00 y0 x<0竹(y)=F(+H1-嚴(yán)“y>00 y<0易證Fx(x)Fy(y)=F(x.y),故X,Y相互獨立.⑵由⑴x,y相互獨立P{X>120,Y>120)=P{X>120}-P{K>120}=[1-P{X<120}][l-P{r<120}]=[1-Fx(120)][1-Fr(120)]= =0.091(1)

(1)系數(shù)A,B及C的值，(2)(,)的聯(lián)合概率密度(x，y)°解：⑴F(+s,+oo)=A(B+弓)(C+￡)=1F(_oc,+s)=A(B-=)(C+二)=07T 7TH+oo-oo)=A(B+^)(C--)=0F(_oc,+s)=A(B-=)(C+二)=07T 7TH+oo-oo)=A(B+^)(C--)=0乙 乙1 ti由此解得A=—,B=C=—,7T 26X-2-1°21 1 丄X-2-1°21 1 丄4 3 12Y-1 1 32Pk1 1 12 4 4試寫岀(X,Y)的聯(lián)合分布律.解:118611T6118611T61211TbnX12Pk112213、設(shè)X.Y相互獨立，且各自的分布律如下:求Z=X+Y的分布律.12416112112Y12Pk1212解：P{X=k}=PkR=0,1,2,…P{Y=y}=qyY=0,1,2,…Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=Pkqi_ki=0,1,2,…Z的全部取值為2,3,4p{z=2)=P{x=i,r=i}=P{x=i}P{r=i)=l-|=lP{z=3}=P{x=i,y=2}+P{x=2,y=1}=p{x=i}P{r=2}+P{x=2)P{y=i)=|-|+|.l=lP{Z=4}=P{X=2,r=2}=P{X=2}P{y=2}=|i=l14、X,Y相互獨立，其分布密度函數(shù)各自為V>0—e^ >0V>0AW=2 ?一 A(y)=<<00x<0<0求Z=X+Y的密度函數(shù).解：Z=X+Y的密度函數(shù)為fz(Z)= fx(x)fY(Z