數(shù)字圖像處理與分析-第3章-圖像變換

數(shù)字圖像處理技術(shù)第三章圖像變換儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院2011.6

第三章圖像變換3.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算3.2離散傅立葉變換3.3快速離散傅立葉變換3.4離散余弦變換3.5小波變換

圖像變換是一種簡化圖像處理過程和提高圖像處理效果的技術(shù)。離散傅立葉變換離散余弦變換小波變換

◆相關(guān)基礎(chǔ)知識－線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算

設(shè)系統(tǒng)的特性可表示成對輸入圖像進(jìn)行T運(yùn)算，并令f1(x,y)與T[f1(x,y)]、f2(x,y)與T[f2(x,y)]分別代表兩對不同的輸入和輸出圖像，則當(dāng)系統(tǒng)滿足：

T[f1(x,y)+f2(x,y)]=T[f1(x,y)]+T[f2(x,y)]

(3.1)關(guān)系時，稱系統(tǒng)具有疊加性。當(dāng)系統(tǒng)滿足：

T[kf(x,y)]=kT[f(x,y)]

(3.2)關(guān)系時，稱系統(tǒng)具有齊次性。３.1.1線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算

同時滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。由于圖像是二維的，所以這樣的系統(tǒng)稱為二維線性系統(tǒng)，由式(3.1)和式(3.2)定義的運(yùn)算稱為二維線性運(yùn)算。顯然，二維線性系統(tǒng)應(yīng)一般地滿足：T[∑kifi(x,y)]=∑kiT[fi(x,y)]

(3.3)凡不滿足疊加性和齊次性的系統(tǒng)都屬于非線性系統(tǒng)。

３.1.1線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算

二維δ函數(shù)定義為：

(3.4)且(3.5)３.1.2沖擊函數(shù)

δ函數(shù)的定義說明：δ在其出現(xiàn)的x=0，y=0處為無限大，在其它位置上值為零，但它包含的體積為1。δ函數(shù)是一種廣義函數(shù)，也稱為分配函數(shù)。

３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算

在數(shù)學(xué)上，δ函數(shù)可由矩形函數(shù)的極限而求得。二維矩形函數(shù)定義為：

(3.6)

矩形函數(shù)可看作是邊長為單位值的正方體，如圖3.1(a)所示。顯然，其體積為1。

３.1.2沖擊函數(shù)

rect(x,y)1x1/2y1/2３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算

一般地，對于如圖所示的邊長為|x|≤1/2n和|y|≤1/2n，高為n2的二維矩形函數(shù)，有定義：

(3.7)

顯然，當(dāng)x=∞時，有δ(x,y)=limrn(x,y)

,n=∞。

３.1.2沖擊函數(shù)

３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算

δ函數(shù)具有如下的一些性質(zhì)：（1）δ函數(shù)是偶函數(shù)

（2）卷積性質(zhì)（也稱為位移性）

(3.9)上式說明，函數(shù)f(x,y)與δ(x,y)的卷積結(jié)果仍為原函數(shù)f(x,y)，記為

３.1.2沖擊函數(shù)

３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算同理有：（3）可分離性

（4）乘積性

３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算（5）篩選性當(dāng)時

（6）指數(shù)函數(shù)

３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算３.1.3二維線性移不變系統(tǒng)1、點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)系統(tǒng)對單位脈沖函數(shù)δ(x,y)產(chǎn)生的輸出稱為脈沖響應(yīng)，并表示為h(x,y)。一般也將h(x,y)稱為點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，且（3.14）

３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算３.1.3二維線性移不變系統(tǒng)2、移不變系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)的單位脈沖輸入為δ(x-α,y-β)，也即輸入的單位脈沖函數(shù)延遲了α、β單位時，輸出為h(x-α,y-β)，即輸出結(jié)果性態(tài)不變，僅在位置上延遲了α、β單位，則稱這樣的系統(tǒng)為移不變系統(tǒng)。

顯然，對于移不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的輸出僅與輸入函數(shù)的性態(tài)有關(guān)，與輸入函數(shù)作用的起點(diǎn)無關(guān)。且：（3.15）３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算3、線性移不變系統(tǒng)如果一個系統(tǒng)既是線性系統(tǒng)，又是移不變系統(tǒng)，則該系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)。

對于一個二維線性移不變系統(tǒng)，設(shè)其輸入為f(x,y)，輸出為g(x,y)，線性移不變系統(tǒng)的運(yùn)算為T,則有：

（由式3.9a）

（線性疊加原理）

(齊次性;x,y為變量)

(移不變性

,卷積表示)

（3.16）

即：線性移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)）的卷積。３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算同理有：（3.17）由3.16和3.17可得：(3.18)３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算所以，二維線性移不變系統(tǒng)的輸入、輸出和運(yùn)算關(guān)系可描述為：

h(x,y)３.1線性系統(tǒng)的基本理論與運(yùn)算3.2離散傅立葉變換

離散傅立葉變換(DFT）描述了離散信號的時域表示與頻域表示之間的關(guān)系，是線性系統(tǒng)分析和信號處理中的一種最有效的數(shù)學(xué)工具，并在圖像處理領(lǐng)域獲得了極為廣泛的應(yīng)用。

3.2離散傅立葉變換３.2.1一維離散傅里葉變換

設(shè)f(x)是在時域上等距離采樣得到的N點(diǎn)離散序列，x是離散實(shí)變量，u為離散頻率變量，則離散傅里葉變換對定義為：

(3.19)

(3.20)其中，F(xiàn)(u)為正變換，f(x)=F-1{F(u)}為反變換；是正變換核，是反變換核。３.2.1一維離散傅里葉變換其中，R(u)和I(u)分別為F(u)的實(shí)部和虛部，指數(shù)形式為

（3.23）且，(3.24)其中，|F(u)|稱為f(x)的傅里葉頻譜，反映了f(x)的幅頻特性；Φ(u)稱為相位角，反映了f(x)的相頻特性。

根據(jù)歐拉公式有：

（3.21）所以，F(xiàn)(u)一般是復(fù)數(shù)，并可以寫成（3.22）1、二維離散傅里葉變換

３.2.2二維離散傅里葉變換設(shè)f(x,y)是在空間域上等間隔采樣得到的M×N的二維離散信號，x和y是離散實(shí)變量，u和v為離散頻率變量，則二維離散傅里葉變換對一般地定義為：

(u=0,1,…,M-1；v=0,1,…,N-1)(3.26)

(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1)

(3.27)

1、二維離散傅里葉變換

３.2.2二維離散傅里葉變換在圖像處理中，有時為了討論上的方便，取M=N，并考慮到正變換與反變換的對稱性，就將二維離散傅里葉變換對定義為：

(3.28)(3.29)

其中，

x,y,u,v=0,1,…,N-1；

３.2.2二維離散傅里葉變換

將二維離散傅里葉變換的頻譜的平方定義為f(x,y)的功率譜，記為：

(3.31)反映了二維離散信號的能量在空間頻率域上的分布情況。

1、二維離散傅里葉變換

與一維時的情況類似，可將二維離散傅里葉變換的頻譜和相位角定義為：

(3.30a)

(3.30b)

2、圖像傅里葉變換的意義

３.2.2二維離散傅里葉變換

（1）簡化計(jì)算，也即傅里葉變換可將空間域中復(fù)雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻率域中簡單的乘積運(yùn)算。

（2）對于某些在空間域中難于處理或處理起來比較復(fù)雜的問題，利用傅里葉變換把用空間域表示的圖像映射到頻率域，再利用頻域?yàn)V波或頻域分析方法對其進(jìn)行處理和分析，然后再把其在頻域中處理和分析的結(jié)果變換回空間域，從而可達(dá)到簡化處理和分析的目的。

（3）某些只能在頻率域處理的特定應(yīng)用需求，比如在頻率域進(jìn)行圖像特征提取、數(shù)據(jù)壓縮、紋理分析、水印嵌入等。1、基圖像

３.2.3二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)

由二維離散傅里葉反變換式（3.29）：可知，由于u和v均有0,1,…,N-1的N個可能的取值，所以f(x,y)由N2個頻率分量組成，每個頻率分量都與一個特定的(u,v)值相對應(yīng)；且對于某個特定的(u,v)值來說，當(dāng)(x,y)取遍所有可能的值(x=0，1，…，N-1；y=0，1，…，N-1）時，就可得到對應(yīng)于該特定的(u,v)值的一幅基圖像?；鶊D像可表示為:

1、基圖像

３.2.3二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)

顯然，對應(yīng)于不同（u,v）值的基圖像共有N2幅。2、可分離性

３.2.3二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)式(3.28)和式(3.29)的二維離散傅里葉變換對可寫成如下的分離形式：

(3.33)(3.34)

上述的可分離表示形式說明，可以連續(xù)運(yùn)用兩次一維DFT來實(shí)現(xiàn)一個二維DFT。

３.2.3二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)然后再對F(x,v)沿x方向進(jìn)行一維的(行)變換而得到最后結(jié)果：(3.36)2、可分離性

以式(3.33)：為例，可先沿y軸方向進(jìn)行一維的(列)變換而求得：

(3.35)3、平均值

３.2.3二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)一幅圖像的灰度平均值可表示為：

(3.37)如果將u=v=0代入式(3.28)：

可得：(3.38)所以，一幅圖像的灰度平均值可由DFT在原點(diǎn)處的值求得，即：

(3.39a)4、周期性

３.2.3二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)對于M×N的圖像和二維離散傅里葉變換對的一般定義式(3.26)和(3.27)，F(xiàn)(u,v)的周期性定義為：

(m,n=0,±1,±2,…）(3.40)5、共軛對稱性

３.2.3二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)設(shè)f(x,y)為實(shí)函數(shù)，則其傅里葉變換F(u,v)具有共軛對稱性：(3.41)(3.42)３.2.3二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)6、平移性

對于M×N的圖像f(x,y)和二維離散傅里葉變換對的一般定義式(3.26)和(3.27)，若設(shè)用符號表示函數(shù)與其傅里葉變換的對應(yīng)性，則傅里葉變換的平移性可表示為：

(3.43)(3.44)其中，式(3.43)說明，給函數(shù)乘以一個指數(shù)項(xiàng)，就相當(dāng)于把其變換后的傅里葉頻譜在頻率域進(jìn)行平移。式(3.44)說明，給傅里葉頻譜乘以一個指數(shù)項(xiàng)，就相當(dāng)于把其反變換后得到的函數(shù)在空間域進(jìn)行平移。

1、圖像傅里葉頻譜關(guān)于(M/2，N/2)的對稱性

３.2.4圖像的傅里葉頻譜特性分析設(shè)f(x,y)是一幅大小為M×N的圖像，根據(jù)離散傅立葉變換的周期性公式(3.40)：有：(3.45)再根據(jù)離散傅立葉變換的共軛對稱性式(3.42)：就可得：(3.46)1、圖像傅里葉頻譜關(guān)于(M/2，N/2)的對稱性

３.2.4圖像的傅里葉頻譜特性分析根據(jù)(3.46)，對于u=0：當(dāng)v=0時：當(dāng)v=1時：當(dāng)v=2時：┆┆當(dāng)v=N/2時：0N/2NMM/2(M,N)(M/2,N/2)ABCDvu(M/2,N)(M,N/2)1、圖像傅里葉頻譜關(guān)于(M/2，N/2)的對稱性

３.2.4圖像的傅里葉頻譜特性分析同理，對于v=0：當(dāng)u=0時：當(dāng)u=1時：當(dāng)u=2時：┆┆當(dāng)u=M/2時：0N/2NMM/2(M,N)(M/2,N/2)ABCDvu(M/2,N)(M,N/2)由此可得：

頻譜圖A區(qū)與D區(qū)和B區(qū)與C區(qū)關(guān)于坐標(biāo)(M/2,N/2)對稱。1、圖像傅里葉頻譜關(guān)于(M/2，N/2)的對稱性

３.2.4圖像的傅里葉頻譜特性分析

圖3.4和圖3.5是原點(diǎn)坐標(biāo)位于(0,0)的圖像的傅里葉變換頻譜關(guān)于(M/2,N/2)對稱的兩個例子。

關(guān)于(M/2,N/2)對稱示例1/示例2(a)圖像(b)圖像的原頻譜圖(a)圖像(b)圖像的原頻譜圖2、圖像傅里葉頻譜特性及其頻譜圖

３.2.4圖像的傅里葉頻譜特性分析(0,0）(M/2,N/2）vuvu0NM(M,N）yx0NM(M,N）vu2、圖像傅里葉頻譜特性及其頻譜圖

３.2.4圖像的傅里葉頻譜特性分析原頻譜圖－原點(diǎn)在(0,0)時的頻譜圖原點(diǎn)平移到(M/2，N/2)后的頻譜圖2、圖像傅里葉頻譜特性及其頻譜圖

３.2.4圖像的傅里葉頻譜特性分析

對于式(3.43):當(dāng)u0=M/2，v0=N/2時，有也即

也就是說，頻譜圖(a)和(b)實(shí)質(zhì)上是函數(shù)的傅里葉頻譜圖。3、傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用

３.2.4圖像的傅里葉頻譜特性分析

基本思路是:

先用(-1)(x+y)乘以圖像得(-1)(x+y)f(x,y)；然后對其進(jìn)行傅里葉正變換得到原點(diǎn)在(M/2,N/2)之處的F(u,v)；接著根據(jù)圖像的頻率特性，利用有關(guān)的低通頻率濾波器，或高通頻率濾波器等，對其進(jìn)行濾波處理；再將處理的結(jié)果進(jìn)行傅里葉反變換；最后給反變換的結(jié)果再乘以(-1)(x+y)就可得到最終的結(jié)果。

典型的應(yīng)用有：去除圖像噪聲、圖像數(shù)據(jù)壓縮、圖像識別、圖像重構(gòu)和圖像描述等。

3.3