適用于老高考舊教材2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)理專(zhuān)題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)課件

專(zhuān)題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)上篇內(nèi)容索引010203高考小題突破9函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考小題突破10基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用高考小題突破11導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用04培優(yōu)拓展客觀題中的函數(shù)構(gòu)造問(wèn)題內(nèi)容索引050607◎高考增分大題六導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用培優(yōu)拓展洛必達(dá)法則速求參數(shù)范圍培優(yōu)拓展雙變量問(wèn)題的轉(zhuǎn)化08培優(yōu)拓展函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題與極值點(diǎn)偏移問(wèn)題考情分析

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中起連接和支撐作用的主干知識(shí),其知識(shí)、觀點(diǎn)、思想和方法貫穿于中學(xué)代數(shù)的全過(guò)程,而導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中處于特殊的地位,它與高等數(shù)學(xué)銜接緊密,它不僅是一種代數(shù)運(yùn)算工具,也是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn).因此,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)成為高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.近幾年高考命題的趨勢(shì)是穩(wěn)中求變、變中求新,新中求活;命題的數(shù)量多為“三小一大”或“二小一大”;命題的難度分為易、中、難三個(gè)層次,小題有時(shí)也會(huì)出難度較大的把關(guān)題,大題為難度較大的壓軸題,大題所處試卷的位置多為倒數(shù)第一個(gè)題或倒數(shù)第二個(gè)題,預(yù)計(jì)這一趨勢(shì)會(huì)保持下去.備考策略1.夯實(shí)基礎(chǔ):牢固掌握有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本概念、公式、定理,了解公式、定理的來(lái)龍去脈以及各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系.明確重點(diǎn)考查的內(nèi)容:(1)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、基本初等函數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等;(2)大題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題中的綜合運(yùn)用,重點(diǎn)是解決與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值相關(guān)的不等式和方程問(wèn)題.2.掌握方法:特殊值法可以讓一般問(wèn)題特殊化,抽象問(wèn)題具體化,從而減少計(jì)算量.對(duì)于識(shí)別函數(shù)的圖象,求解函數(shù)不等式,判別函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的單調(diào)性,可以利用函數(shù)的一些特殊值,當(dāng)一次取值不能達(dá)到目標(biāo)時(shí),可考慮多次取值、混合選取,看能否達(dá)到目標(biāo).3.強(qiáng)化解題能力:注重解題能力的提升和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)過(guò)程中,一是要注重學(xué)習(xí)并形成函數(shù)建模能力和利用導(dǎo)數(shù)解模的能力;二是要注重邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;三是要注重分類(lèi)與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.真題感悟1.(2021·全國(guó)甲·文4)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(

)答案D

解析

借助函數(shù)的圖形可知,對(duì)于A,函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于C,函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性,不合題意;對(duì)于D,根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),符合題意.故選D.2.(2021·全國(guó)乙·文8)下列函數(shù)中最小值為4的是(

)A.y=x2+2x+4 答案C

解析

A項(xiàng),y=(x+1)2+3,故ymin=3,故該項(xiàng)不符合題意;B項(xiàng),設(shè)t=|sin

x|,則

3.(2021·全國(guó)乙·理4)設(shè)函數(shù)f(x)=,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1答案B

解析

函數(shù)

,故該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(-1,-1).將該函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=f(x-1)+1,其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,即為奇函數(shù).故選B.答案A

解析

設(shè)f(x)=(3x-3-x)cos

x,則f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),排除B,D選項(xiàng).又f(1)=(3-3-1)cos

1>0.故選A.答案B

解析

函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞).當(dāng)a>0時(shí),若b≤0,則x>0時(shí),f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)最大值,不符合題意.6.(2021·全國(guó)甲·理13)曲線y=在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為

.

答案

5x-y+2=07.(2021·全國(guó)甲·理21)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=

(x>0).(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.知識(shí)精要1.函數(shù)的概念(1)求函數(shù)的定義域的方法是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來(lái)列出相應(yīng)的不等式(組)求解.(2)求函數(shù)值域要優(yōu)先考慮定義域,常用方法:配方法、分離常數(shù)法、換元法、單調(diào)性法、基本不等式法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法.用導(dǎo)數(shù)求極值結(jié)合端點(diǎn)得最值

名師點(diǎn)析分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函數(shù)值域的并集.2.函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)奇偶性:①定義:若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則有:f(x)是偶函數(shù)?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數(shù)?f(-x)=-f(x).②判斷方法:定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)相乘可得偶函數(shù)).(2)函數(shù)單調(diào)性判斷方法:定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.(3)函數(shù)周期性的常用結(jié)論:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±(a≠0),則T=2a;若f(x+a)=f(x-b),則T=a+b;若f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸:直線x=a和直線x=b(a≠b),則T=2|b-a|;若f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和(b,0),則T=2|b-a|(類(lèi)比正、余弦函數(shù)).3.函數(shù)的圖象(1)函數(shù)圖象的判斷方法:①找特殊點(diǎn);②看性質(zhì):根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷圖象的位置,對(duì)稱性,變化趨勢(shì)等;③看變換:看函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.(2)若y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x);若y=f(x)對(duì)?x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),則f(x)的圖象關(guān)于直線(3)函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)y=f(a-x)和y=f(b+x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱;y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱;y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(4)利用圖象可解決函數(shù)的最值、方程與不等式的解(集)以及求參數(shù)范圍問(wèn)題.4.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)互為反函數(shù),其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1,a>1兩種情況討論,著重關(guān)注兩函數(shù)圖象的異同.5.函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)命題函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的根,即函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).是一個(gè)數(shù)值,不是函數(shù)圖象上的點(diǎn)

6.常用的導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則

7.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(1)若f'(x)>0在(a,b)內(nèi)恒成立,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)若f'(x)<0在(a,b)內(nèi)恒成立,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.名師點(diǎn)析f'(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件;f'(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件.8.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的等價(jià)關(guān)系函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f'(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f'(x)≥0?f(x)在(a,b)上為增函數(shù).f'(x)≤0?f(x)在(a,b)上為減函數(shù).9.函數(shù)的極值、最值(1)若在點(diǎn)x=x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值;x0為極大值點(diǎn)

若在點(diǎn)x=x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值.(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值,且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得.(3)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f(a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則f(a)為函數(shù)的最大值,f(b)為函數(shù)的最小值.名師點(diǎn)析開(kāi)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)不一定有最值,若有唯一的極值,則此極值一定是函數(shù)的最值.10.與ex,lnx有關(guān)的常用不等式的結(jié)論(1)由f(x)=ex圖象上任一點(diǎn)(m,f(m))的切線方程為y-em=em(x-m),得ex≥em(x+1)-mem,當(dāng)且僅當(dāng)x=m時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)m=0時(shí),有ex≥x+1;當(dāng)m=1時(shí),有ex≥ex.

因y=ex的圖象在其切線上面

高考小題突破9

考點(diǎn)一函數(shù)的概念與表示規(guī)律方法函數(shù)的求值方法(1)形如f(g(x))的函數(shù)求值時(shí),應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.(2)對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問(wèn)題,必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.答案

(1)B

(2)ln2

以f(-2)+f(log26)=6.故選B.(2)若f(a)>0,則f(f(a))=-ef(a)<0,與f(f(a))=4矛盾,所以f(a)≤0,所以f2(a)+2f(a)+4=4,解得f(a)=0或-2.若a>0,-ea=0無(wú)解.由-ea=-2,得a=ln

2;若a≤0,a2+2a+4=0無(wú)解,a2+2a+4=-2無(wú)解.綜上,a=ln

2.考點(diǎn)二函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用考向1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性典例突破2(1)(2022·江蘇鹽城、南京一模)已知f(x)=則當(dāng)x≥0時(shí),f(2x)與f(x2)的大小關(guān)系是(

)A.f(2x)≤f(x2) B.f(2x)≥f(x2)C.f(2x)=f(x2) D.f(2x)>f(x2)(2)(2022·江蘇連云港二次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=x是偶函數(shù),則m的值是(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2(3)(2022·廣西柳州三模)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)的奇函數(shù),且f(-2)=0,若對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有

<0成立,則不等式f(x)<0的解集為(

)A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)答案

(1)B

(2)A

(3)C

解析

(1)當(dāng)0≤x≤2時(shí),0≤x2≤2x≤4.∵f(x)在(-∞,4]上單調(diào)遞增,∴f(2x)≥f(x2);當(dāng)2<x<4時(shí),4<2x<x2<16,∵f(x)在(4,16)上單調(diào)遞減,∴f(2x)>f(x2);當(dāng)x≥4時(shí),2x≥x2≥16,∵f(x)在[16,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(2x)≥f(x2).綜上,f(2x)≥f(x2).故選B.∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.又f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),∴-xf(-x)=xf(x),即g(-x)=g(x),∴函數(shù)g(x)是定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)的偶函數(shù),∴g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.由f(-2)=0,得f(2)=0.當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0?xf(x)<0=2f(2)?g(x)<g(2),∴x>2;當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0?xf(x)>0=-2f(-2)?g(x)>g(-2),∴-2<x<0.綜上,不等式f(x)<0的解集為(-2,0)∪(2,+∞).故選C.規(guī)律方法1.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性,應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減”的原則.2.利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法:應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為f(m)<f(n)的形式,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”,應(yīng)注意m,n應(yīng)在定義域內(nèi)取值,若不等式一邊為常數(shù),應(yīng)將常數(shù)化為含“f”的形式.如已知f(a)=0,f(x-b)<0,則f(x-b)<f(a).對(duì)點(diǎn)練2(1)已知函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞減.令g(x)=f(x)-ex,若g(t)<g(4-t),則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(

)A.(1,+∞) B.(-∞,1)C.(2,+∞) D.(-∞,2)(2)(2022·安徽黃山二模)已知函數(shù)f(x)=-x|x|,且f(m+2)+f(2m-1)<0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)(3)(2021·新高考Ⅰ·13)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=

.

答案

(1)C

(2)D

(3)1

解析

(1)∵函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞減,∴函數(shù)g(x)=f(x)-ex在R上單調(diào)遞減.由g(t)<g(4-t),得t>4-t,解得t>2,∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,+∞).故選C.(2)∵f(x)=-x|x|的定義域?yàn)镽,且f(-x)=x|x|=-f(x),∴f(x)為R上的奇函數(shù).當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=-x2,且f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2,且f(x)單調(diào)遞減.又f(x)是連續(xù)函數(shù),∴f(x)是R上的減函數(shù).又f(m+2)+f(2m-1)<0,∴f(m+2)<f(1-2m),(3)∵函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)].整理得,a·2x-2-x=-(a·2-x-2x),即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1.考向2函數(shù)的奇偶性與周期性典例突破3(1)(2021·全國(guó)甲·理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函A.-21 B.-22 C.-23 D.-24答案

(1)D

(2)D

解析

(1)(方法一)∵f(x+1)是奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1).①∵f(x+2)是偶函數(shù),∴f(x+2)=f(-x+2).②令x=1,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b),由②得f(3)=f(1)=a+b.∵f(0)+f(3)=6,∴-(4a+b)+a+b=6,解得a=-2.令x=0,由①得f(1)=-f(1),∴a+b=-a-b,∴b=2,∴f(x)=-2x2+2,x∈[1,2],(方法二)由f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱,關(guān)于直線x=2軸對(duì)稱,且f(-x+1)=-f(x+1),∴f(x)為周期函數(shù),且周期T=4|1-2|=4,(方法三)∵f(x+1)是奇函數(shù),∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函數(shù),∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期為4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).∵當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.即4a+b=-6,(2)由g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,可知g(x)=g(4-x).∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期為4.當(dāng)x=0時(shí),f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,∴f(4)=f(0)=1.當(dāng)x=2時(shí),g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.當(dāng)x=1時(shí),f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.規(guī)律方法函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性及周期性的關(guān)系注:在客觀題中,已知函數(shù)圖象的對(duì)稱關(guān)系求其周期,可類(lèi)比正、余弦曲線的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系,能直接得周期,不用利用函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行繁瑣的推證.(2)(2022·江蘇南京、鹽城二模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(1-x)+f(1+x)=2,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-x2,若f(x)≥x+b對(duì)一切x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)b的最大值為

.

解析

(1)(方法一)∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),∴f(x)=f(-x).∵f(1+x)=f(1-x),∴f(2-x)=f(x),∴f(2-x)=f(-x),∴f(x)為周期函數(shù),且周期T=2.(方法二)由f(x)為偶函數(shù),得其圖象的對(duì)稱軸為直線x=0.∵f(1+x)=f(1-x),∴直線x=1為f(x)圖象的對(duì)稱軸,∴f(x)為周期函數(shù),且周期T=2|1-0|=2.(2)(方法一)∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由f(1-x)+f(1+x)=2,得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱.當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),-x∈[0,1],則f(-x)=-2x-x2=-f(x),則f(x)=2x+x2.結(jié)合圖象可知當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x+b相切時(shí),b取得最大值.(方法二)設(shè)g(x)=f(x)-x.∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),∴g(x)也為奇函數(shù).∵f(1-x)+f(1+x)=2,∴g(1-x)+(1-x)+g(1+x)+(1+x)=2,即g(1-x)+g(1+x)=0,即函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,則由對(duì)稱性可知,函數(shù)g(x)的周期為2.當(dāng)x∈[0,1]時(shí),g(x)=f(x)-x=2x-x2-x=-x2+x,∴g(x)在[0,1]上的最考點(diǎn)三函數(shù)的圖象及其應(yīng)用考向1函數(shù)圖象的判斷典例突破4(1)(2022·全國(guó)乙·文8)下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-3,3]的大致圖象如圖所示,則該函數(shù)是(

)(2)函數(shù)y=2x2-e|x|在區(qū)間[-2,2]上的圖象大致為(

)答案

(1)A

(2)D

(2)(方法一)易知函數(shù)y=2x2-e|x|為偶函數(shù),故函數(shù)在[-2,2]上的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.當(dāng)0≤x≤2時(shí),y=2x2-ex.由當(dāng)x=2時(shí),y=8-e2>0,排除A;由y'=4x-ex,得當(dāng)x=0(方法二)取x=2,則y=2×4-e2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除A,B;當(dāng)0≤x≤2時(shí),y=2x2-ex,則y'=4x-ex.由函數(shù)零點(diǎn)的判定可知,y'=4x-ex在[0,2]內(nèi)存在零點(diǎn)且兩側(cè)不同號(hào),即函數(shù)y=2x2-ex在[0,2]內(nèi)不單調(diào),排除C.故選D.規(guī)律方法函數(shù)圖象的識(shí)別方法:確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì),如:定義域、奇偶性、單調(diào)性等,特別是利用一些特征點(diǎn)排除不符合要求的圖象.在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí),往往要對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判別.對(duì)點(diǎn)練4(1)(2020·浙江·4)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[-π,π]上的圖象可能是(

)(2)(2022·山東濟(jì)南一模)函數(shù)f(x)=x-sinx的部分圖象大致為(

)答案

(1)A

(2)B

解析

(1)因?yàn)閒(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcos

x+sin

x)=-f(x),x∈[-π,π],所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故排除C,D,當(dāng)x∈

時(shí),xcos

x+sin

x>0,所以排除B.故選A.(2)由f(x)=x-sin

x,得f'(x)=1-cos

x≥0,所以f(x)是增函數(shù),排除選項(xiàng)A;令g(x)=1-cos

x,則g'(x)=sin

x.當(dāng)x∈[0,π]時(shí),g(x)≥0,所以f'(x)為增函數(shù),即f(x)在[0,π]上的圖象的傾斜程度逐漸增大.故選B.考向2函數(shù)圖象的應(yīng)用

(2)(2022·河南鄭州二模)若函數(shù)f(x)=是定義在R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-∞,1]∪{2} B.{1}∪[2,+∞)C.(-∞,1] D.[2,+∞)答案

(1)D

(2)B

作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象,如圖所示,直線y=mx-2過(guò)定點(diǎn)(0,-2).由圖可知,當(dāng)m<0時(shí),不滿足題意;當(dāng)m=0時(shí),滿足題意;當(dāng)m>0時(shí),考慮直線y=mx-2與曲線y=x2+3x(x>0)相切的情況.(2)如圖,作出函數(shù)y=x-2和y=x2-2x的圖象.由

得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.當(dāng)m<1時(shí),f(x)在(m,1]上單調(diào)遞減,不符合題意;當(dāng)m=1時(shí),符合題意;當(dāng)1<m<2時(shí),m-2>m2-2m,不符合題意;當(dāng)m≥2時(shí),符合題意,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{1}∪[2,+∞).故選B.規(guī)律方法函數(shù)圖象的應(yīng)用主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,借助于函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律,求解不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問(wèn)題.的圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

答案

(1)C

(2)[-1,2)

解析

(1)由f(x+2)=-f(x),可得f(x)=f(x+4),∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).由f(x)為奇函數(shù),得f(-x)=-f(x),∴f(x+2)=f(-x),∴f(1+x)=f(1-x),即f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.又由當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,可得函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.(2)畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示.由圖可知,當(dāng)m=-1時(shí),直線y=x與函數(shù)圖象恰好有3個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)m=2時(shí),直線y=x與函數(shù)圖象只有2個(gè)公共點(diǎn),故m的取值范圍是[-1,2).考點(diǎn)四函數(shù)的綜合問(wèn)題典例突破6(1)(2021·陜西咸陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sinx+a,函數(shù)

答案

(1)A

(2)C

即2

022f(-x)+f(x)=1,即f(x)+f(-x)=0.又x∈[-1,1],所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).因?yàn)閒(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,解題技巧函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略問(wèn)題類(lèi)型解題策略函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性周期性與奇偶性結(jié)合此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解對(duì)點(diǎn)練6(1)已知函數(shù)f(x)=ln(|x|-1)+2x+2-x,則使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范圍是(

)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-2,-1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)(2022·安徽安慶二模)已知定義在區(qū)間[-1,3]上的函數(shù)f(x),滿足f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)=x-1-x3,則滿足不等式f(2a+1)>f(a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

解析

(1)由|x|-1>0,得|x|>1,得x>1或x<-1.∵f(-x)=ln(|-x|-1)+2-x+2x=ln(|x|-1)+2x+2-x=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).當(dāng)x>1時(shí),y=lg(x-1)為增函數(shù).設(shè)g(x)=2x+2-x(x>1),則g'(x)=(2x-2-x)·ln

2>0,∴g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)=lg(x-1)+2x+2-x在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減.又f(x+1)<f(2x),(2)設(shè)g(x)=f(x+1).∵f(x)的定義域?yàn)閇-1,3],∴(1+x)∈[-1,3],得x∈[-2,2].由f(1+x)=f(1-x),得g(x)=g(-x),∴g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,即g(x)為偶函數(shù).∵當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)=x-1-x3單調(diào)遞減,∴g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,∴g(x)在[-2,0)上單調(diào)遞增.∴f(2a+1)>f(a),∴g(2a)>g(a-1),高考小題突破10考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)典例突破1(1)(2020·全國(guó)Ⅰ·理12)若2a+log2a=4b+2log4b,則(

)A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2(2)(2022·江西上饒六校聯(lián)考)已知y=f(x)是x∈R上的奇函數(shù),且對(duì)?x∈R,都(3)(2022·陜西安康二模)已知函數(shù)f(x)=ax+b的圖象如圖所示,則函數(shù)y=loga(|x|+b)的圖象可以是(

)答案

(1)B

(2)B

(3)D

解析

(1)由指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因?yàn)?2b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a<22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.由f(a)<f(2b)可得a<2b.故選B.(3)由f(x)=ax+b的圖象得0<a<1,-1<b<0.y=loga(|x|+b)的定義域?yàn)?-∞,b)∪(-b,+∞).由loga(|-x|+b)=loga(|x|+b),得y=loga(|x|+b)為偶函數(shù).又∴y=loga(|x|+b)在(-b,+∞)上單調(diào)遞減.故選D.規(guī)律方法求解指數(shù)型函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)的數(shù)學(xué)思想(1)分類(lèi)討論的思想:對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值,當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí),要注意分a>1和0<a<1兩種情況討論.(2)轉(zhuǎn)化的思想:基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的,在解題中可相互轉(zhuǎn)化.對(duì)點(diǎn)練1(1)(2022·山西呂梁一模)若a2+log2a=3b2+3log8b,則(

)(2)(2022·廣東一模)已知函數(shù)f(x)=ln|x|,g(x)=ex-e-x,則下圖對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是(

)A.f(x)+g(x) B.f(x)-g(x)(3)(2022·陜西寶雞三模)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x,則f(log27)=

.

解析

(1)由題可知,a,b>0,a2+log2a=3b2+3log8b>b2+log2b,a2+log2a<4b2+3log8b+1=(2b)2+log22b.又函數(shù)f(x)=x2+log2x(x>0)為增函數(shù),所以b<a<2b.故選B.(2)由圖可知該函數(shù)為奇函數(shù),f(x)+g(x)和f(x)-g(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),故A,B不符合題意;當(dāng)x>0時(shí),f(x)g(x)單調(diào)遞增,故C不符合題意;單調(diào)遞減,∴圖象應(yīng)該在x軸上方且無(wú)限靠近x軸.故選D.(3)∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2x,考點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)與方程考向1確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍典例突破2(1)如圖是二次函數(shù)f(x)=x2-bx+a的部分圖象,則函數(shù)g(x)=ex+f'(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)(2)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=f(1-x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案

(1)B

(2)C

函數(shù)g(x)=f(1-x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù),就是y=f(1-x)的圖象與直線y=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù),如右圖,可知其圖象有三個(gè)交點(diǎn),即g(x)=f(1-x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C.規(guī)律方法1.判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的方法:主要利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷.2.判斷函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法:(1)解方程:當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí),可通過(guò)解方程,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷;(3)通過(guò)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷,畫(huà)函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.對(duì)點(diǎn)練2(1)(2022·河南開(kāi)封一模)函數(shù)f(x)=lnx-的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3)(2)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.4答案

(1)C

(2)B

∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(2,e).故選C.(2)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即考向2已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍典例突破3(1)函數(shù)f(x)=ax|logax|-1(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.(1,+∞)(2)(2022·山西呂梁一模)若函數(shù)f(x)=|3-2x-x2|的圖象和直線2x+ay+7=0有四個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

答案

(1)B

(2)(-∞,-1)

當(dāng)a>1時(shí),兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),如圖1;當(dāng)0<a<1時(shí),若兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),規(guī)律方法已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根),求參數(shù)的取值范圍常用的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍.(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象,再數(shù)形結(jié)合求解.對(duì)點(diǎn)練3(1)已知a>0,函數(shù)f(x)=2ln(ax)-x,若函數(shù)F(x)=f(f(x))-x恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)C.(e,+∞) D.[e,+∞)(2)(2021·廣西桂林二模)已知函數(shù)f(x)=x(2lnx-a)+1有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

答案

(1)C

(2)(2-2ln2,+∞)

解析

(1)由f(x)=2ln(ax)-x,得F(x)=2ln[2aln(ax)-ax]-[2ln(ax)-x]-x=2ln[2aln(ax)-ax]-2ln(ax).令F(x)=0,得ln[2aln(ax)-ax]=ln(ax).∵y=ln

x(x>0)是增函數(shù),∴2aln(ax)-ax=ax,即ln(ax)=x.令g(x)=ln(ax)-x(x>0),當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.又當(dāng)x→0時(shí),g(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→-∞,∴g(1)=ln

a-1>0,即a>e時(shí),g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e,+∞).考點(diǎn)三函數(shù)的模型及其應(yīng)用典例突破4(1)(2022·黑龍江哈爾濱九中三模)牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型:θ-θ0=(θ1-θ0)e-kt,其中t為時(shí)間(單位:min),θ0為環(huán)境溫度,θ1為物體初始溫度,θ為冷卻后溫度,假設(shè)在室內(nèi)溫度為20℃的情況下,一杯開(kāi)水由100℃降低到60℃需要10min,則k的值約為(

)(結(jié)果精確到0.001,參考數(shù)據(jù):e2≈7.389,ln2≈0.693)A.0.035 B.0.069C.0.369 D.0.740(2)(2022·河南鄭州二模)2021年,鄭州大學(xué)考古科學(xué)隊(duì)在滎陽(yáng)官莊遺址發(fā)現(xiàn)了一處大型青銅鑄造作坊.利用碳14測(cè)年確認(rèn)是世界上最古老的鑄幣作坊.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間t(單位:年)的衰變規(guī)律滿足N=N0·

(N0表示碳14原有的質(zhì)量).經(jīng)過(guò)測(cè)定,官莊遺址青銅布幣樣本中碳14的質(zhì)量約是原來(lái)的,據(jù)此推測(cè)青銅布幣生產(chǎn)的時(shí)期距今約(

)(參考數(shù)據(jù):log23≈1.6)A.2600年 B.3100年C.3200年 D.3300年答案

(1)B

(2)A

解析

(1)由題意可知θ0=20

℃,θ1=100

℃,θ=60

℃,t=10

min,則有60-20=(100-20)e-10k,解題技巧

對(duì)點(diǎn)練4(1)(2022·山西臨汾三模)盡管目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震,但科學(xué)家經(jīng)過(guò)研究,已經(jīng)對(duì)地震有所了解,地震學(xué)家查爾斯·里克林提出了關(guān)系式:lgE=4.8+1.5M,其中E為地震釋放出的能量,M為地震的里氏震級(jí).已知2008年5月12日我國(guó)發(fā)生的汶川地震的里氏震級(jí)為8.0級(jí),2017年8月8日我國(guó)發(fā)生的九寨溝地震的里氏震級(jí)為7.0級(jí),可知汶川地震釋放的能量約為九A.9.6倍

B.21.5倍C.31.6倍 D.47.4倍(2)(2022·山西運(yùn)城二模)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,全國(guó)各地對(duì)生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí)持續(xù)增強(qiáng),某化工企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣需要通過(guò)過(guò)濾使廢氣中的污染物含量減少到不高于最初的20%才達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).已知在過(guò)濾過(guò)程中,廢氣中污染物含量y(單位:mg/L)與時(shí)間t(單位:h)的關(guān)系式為y=y0e-kt(y0,k為正常數(shù),y0表示污染物的初始含量),實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)廢氣經(jīng)過(guò)5h的過(guò)濾,其中的污染物被消除了40%.則該企業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要達(dá)標(biāo)排放需要經(jīng)過(guò)的過(guò)濾時(shí)間至少約為(

)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù),參考數(shù)據(jù)ln3≈1.1,ln5≈1.6)A.12h B.16h C.26h D.33h答案

(1)C

(2)B

解析

(1)令M=8,得lg

E=4.8+1.5×8=16.8,所以E=1016.8.令M=7,得lg

E=4.8+1.5×7=15.3,所以E=1015.3,(2)由題意,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)廢氣經(jīng)過(guò)5

h的過(guò)濾,其中的污染物被消除了40%,∴(1-40%)y0=y0e-5k,∴0.6=e-5k,即該企業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要達(dá)標(biāo)排放需要經(jīng)過(guò)的過(guò)濾時(shí)間至少約為16

h.故選B.高考小題突破11考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用(2)(2022·山東臨沂一模)函數(shù)f(x)=xln(-x),則曲線y=f(x)在x=-e處的切線方程為

.

(3)已知函數(shù)f(x)=x+,若曲線y=f(x)存在兩條過(guò)(1,0)點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是

.

答案

(1)D

(2)2x-y+e=0

(3)(-∞,-2)∪(0,+∞)解題技巧1.求曲線y=f(x)的切線方程的三種類(lèi)型及解題方法

2.求曲線的切線方程時(shí),務(wù)必分清點(diǎn)P處的切線還是過(guò)點(diǎn)P的切線,前者點(diǎn)P為切點(diǎn),后者點(diǎn)P不一定為切點(diǎn),求解時(shí)應(yīng)先求出切點(diǎn)坐標(biāo).對(duì)點(diǎn)練1(1)已知直線l既是曲線C1:y=ex的切線,又是曲線C2:y=e2x2的切線,則直線l在x軸上的截距為(

)A.2 B.1 C.e2

D.-e2(2)(2022·新高考Ⅱ·14)曲線y=ln|x|經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為

,

.

(3)(2022·新高考Ⅰ·15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是

.

考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考向1比較大小或解不等式

A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b(2)(2021·全國(guó)乙·理12)設(shè)a=2ln1.01,b=ln1.02,c=-1,則(

)A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<a<b答案

(1)A

(2)B

(3)A

(2)∵a=ln

1.012=ln

1.020

1>ln

1.02=b,∴排除A,D.∴f'(x)≤0,且f'(x)不恒為0.∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)0≤x<2時(shí),x2≤2x?1+2x+x2≤1+2x+2x,即(1+x)2≤1+4x,∴g'(x)≥0在區(qū)間(0,2)內(nèi)成立,且g'(x)不恒為0.∴g(x)在區(qū)間[0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,∴g(0.01)>g(0)=0,即a-c>0,∴a>c.綜上可得,a>c>b.故選B.所以h(x)≤0,所以f'(x)≤0,所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.又函數(shù)f(x+1)為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,規(guī)律方法函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)比較函數(shù)值的大小:有些函數(shù)的單調(diào)性不容易判斷,可以通過(guò)求導(dǎo)的方法求出函數(shù)的單調(diào)性,再由函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,比較大小應(yīng)注意將自變量的取值放在同一單調(diào)區(qū)間;(2)解函數(shù)不等式:解函數(shù)不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性得出兩個(gè)變量的大小,然后解不等式,解題時(shí)要注意函數(shù)的定義域.對(duì)點(diǎn)練2(1)(2022·山西太原一模)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且f(x)·f'(x)>x恒成立,則(

)A.f(1)<f(-1) B.f(1)>f(-1)C.|f(1)|<|f(-1)| D.|f(1)|>|f(-1)|(2)設(shè)a=2e-0.2,b=e0.2,c=1.2,則(

)A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<b<a答案

(1)D

(2)D

(2)設(shè)f(x)=ex-x-1,則f'(x)=ex-1.當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,f'(x)單調(diào)遞減,所以f(x)≥f(0)=0,即ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,所以a=2e-0.2>2×(-0.2+1)=1.6,b=e0.2>0.2+1=1.2,所以c=1.2最小.考向2求參數(shù)的范圍或討論函數(shù)的零點(diǎn)

A.3 B.4 C.5 D.6答案

(1)B

(2)B

(3)A

當(dāng)x∈(1,e)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,(3)當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=xex+1,f'(x)=(1+x)ex+1.當(dāng)x<-1時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)-1<x<0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(-1)=-1;當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→0;當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=exln

x,f'(x)=e(1+ln

x).由圖可知f(x)=1對(duì)應(yīng)的根有1個(gè),f(x)=-1對(duì)應(yīng)的根有2個(gè),∴函數(shù)g(x)=|f(x)|-1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.故選A.解題技巧1.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,反過(guò)來(lái),若已知函數(shù)的單調(diào)性,則也可以通過(guò)其導(dǎo)數(shù)大于等于0或小于等于0求參數(shù)的范圍.2.解決不等式恒成立時(shí)求參數(shù)范圍問(wèn)題的基本方法(1)求最值法:將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題.(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離出來(lái),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式,即得參數(shù)的范圍.3.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或求參數(shù)范圍(1)對(duì)于不含參數(shù)的函數(shù),通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性或值域,作出函數(shù)的圖象,就能判斷出函數(shù)零點(diǎn)的情況;(2)若f(x)=0中的參數(shù)a易分離,轉(zhuǎn)化成a=h(x)的形式,函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為與x軸平行的直線y=a和函數(shù)y=h(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,分析y=h(x)的單調(diào)性或值域,即可判斷函數(shù)的零點(diǎn),由此也可求得參數(shù)范圍;(3)若f(x)=0中的參數(shù)不易分離,可將f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)=g(x)-h(x)的形式,那么g(x),h(x)兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),因此,作出g(x),h(x)的圖象,根據(jù)交點(diǎn)情況求零點(diǎn)個(gè)數(shù)或參數(shù)范圍.對(duì)點(diǎn)練3(1)(2021·遼寧大連二模)已知函數(shù)f(x)=sinx-ax是R上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.(-∞,-1] B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.[1,+∞)(2)(2022·陜西榆林一模)已知函數(shù)f(x)=4lnx-kx-k+8,若關(guān)于x的不等式f(x)≤0恒成立,則k的取值范圍為(

)A.[1,+∞) B.[e,+∞)C.[4,+∞) D.[e2,+∞)(3)(2022·陜西榆林一模)已知函數(shù)f(x)=|x2+3x+1|-a|x|有四個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(5,+∞) B.(1,5)C.(1,+∞) D.(0,1)∪(5,+∞)答案

(1)D

(2)C

(3)D

解析

(1)因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù),所以f'(x)=cos

x-a≤0恒成立,即a≥cos

x.因?yàn)?1≤cos

x≤1,所以a≥1.故選D.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),f(x)≤0等價(jià)于k(x+1)≥8+4ln

x,即轉(zhuǎn)化為直線y=k(x+1)恒在函數(shù)y=8+4ln

x的圖象上方,直線過(guò)定點(diǎn)(-1,0).當(dāng)直線與曲線x0ln

x0+x0-1=0有唯一解x0=1,從而k0=4,故k≥4.(3)當(dāng)x=0時(shí),f(0)=1≠0,所以x=0不是f(x)的零點(diǎn);考點(diǎn)三函數(shù)的極值、最值考向1函數(shù)存在極值或最值的判別典例突破4(1)(2021寧夏銀川二中高三模擬)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,給出下列說(shuō)法:①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn);②-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn);③y=f(x)在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增;④y=f(x)的圖象在x=0處切線的斜率小于零.以上正確說(shuō)法的序號(hào)是(

)A.①②

B.③④ C.①③

D.②④

(2)(2022·山西呂梁一模)“c=6”是“函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

(1)C

(2)C

解析

(1)由圖得當(dāng)x∈(-∞,-3)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(-3,1)時(shí),f'(x)≥0,∴y=f(x)在(-∞,-3)上單調(diào)遞減,在(-3,1)上單調(diào)遞增,故③正確;則-3是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),故①正確;∵在(-3,1)上單調(diào)遞增,∴-1不是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn),故②不正確;∵函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0,∴切線的斜率大于零,故④不正確.故選C.(2)f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c).由f'(2)=0,得c=2或6.當(dāng)c=6時(shí),由f'(x)>0,得x>6或x<2;由f'(x)<0,得2<x<6,∴f(x)在x=2處有極大值,∴“c=6”是“函數(shù)f(x)在x=2處有極大值”的充要條件.故選C.解題技巧1.利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)存在極值或最值的方法(1)如果f'(x)在(a,x0)上滿足f'(x)<0,在(x0,b)上滿足f'(x)>0,則f(x0)為極小值點(diǎn);(2)如果f'(x)在(a,x0)上滿足f'(x)>0,在(x0,b)上滿足f'(x)<0,則f(x0)為極大值點(diǎn);(3)如果f'(x)在區(qū)間(a,b)上不變號(hào),則f(x0)不是極值點(diǎn);(4)函數(shù)的最值通過(guò)比較閉區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與極值的大小來(lái)確定,函數(shù)在區(qū)間(a,b)上有唯一極值點(diǎn),則這個(gè)極值點(diǎn)也是最大(小)值點(diǎn).2.易錯(cuò)警示(1)不能忽略函數(shù)f(x)的定義域.(2)f'(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值小.對(duì)點(diǎn)練4(1)(2022·河北邢臺(tái)月考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2022·陜西榆林三模)已知函數(shù)f(x)=x-asinx,則“a=2”是“x=是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

(1)A

(2)C

解析

(1)因?yàn)樵趚=0附近左、右兩邊的導(dǎo)數(shù)值均為負(fù)數(shù),所以0不是極值點(diǎn),導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的另外四個(gè)交點(diǎn)附近左右正、負(fù)值相反,所以函數(shù)f(x)有4個(gè)極值點(diǎn).故選A.(2)f'(x)=1-acos

x.若a=2,則f'(x)=1-2cos

x.考向2由函數(shù)的極值、最值確定參數(shù)的范圍典例突破5(1)(2022·陜西金臺(tái)一模)已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)C.(0,1) D.(0,+∞)(2)(2022·全國(guó)乙·理16)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1<x2,則a的取值范圍是

.

(2)依題意,f'(x)=2axln

a-2ex,x1,x2為方程f'(x)=0的兩根,x1<x2.令g(x)=axln

a-ex,則g'(x)=ax(ln

a)2-e.若a>1,則g'(x)在R上單調(diào)遞增,此時(shí)由x1,x2為方程f'(x)=0的兩根,可知存在x0∈(x1,x2),使g'(x)=0,所以g(x)在區(qū)間(-∞,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.又g(x1)=0,g(x2)=0,所以f(x)在區(qū)間(-∞,x1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以x1為f(x)的極大值點(diǎn),x2為f(x)的極小值點(diǎn),不符合題