華師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試卷及答案

華師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試題一、選擇題。（每小題只有一個(gè)正確答案）1．下列二次根式中，與同類二次根式的是（）A． B． C． D．2．方程的根是（）A．，B．C．，D．3．用放大鏡觀察一個(gè)五邊形時(shí)，不變的量是（）A．各邊的長(zhǎng)度 B．各內(nèi)角的度數(shù) C．五邊形的周長(zhǎng) D．五邊形的面積4．有一首《對(duì)子歌》中唱到：天對(duì)地，雨對(duì)風(fēng)，大陸對(duì)長(zhǎng)空．現(xiàn)將“天，雨，大，空”四個(gè)字書(shū)寫(xiě)在材質(zhì)、大小完全相同的卡片上，在暗箱攪勻后，隨機(jī)抽取兩張，恰為“天”、“空”二字的概率為（）A． B． C． D．5．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)為，，．以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作的位似圖形，若點(diǎn)D坐標(biāo)為則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．如圖所示為二次函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論：①；②時(shí)，y隨x的增大而增大；③方程的根是，；④．其中正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線，，，上，若直線且間距相等，，，則的值為（）A． B． C． D．9．如圖①，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6、8，按如圖②方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)CB重合，折痕為，則與的面積之比為（）A． B． C． D．10．某校校園內(nèi)有一個(gè)大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個(gè)邊長(zhǎng)為3米的小正方形組成，且每個(gè)小正方形的種植方案相同．其中的一個(gè)小正方形ABCD如圖乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五邊形EFBCG區(qū)域上種植花卉，則大正方形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖象大致是（）A．B．C．D．二、填空題11．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.12．已知點(diǎn)，，均在拋物線上，則m，n的大小關(guān)系是m__________n．13．《九章算術(shù)》是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中重要的著作之一，奠定了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就《九章算術(shù)》記載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問(wèn)戶高、廣各幾何？”大意：有一扇形狀是矩形的門(mén)，它的高比寬多6尺8寸，它的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，問(wèn)它的高與寬各是多少？利用方程思想設(shè)矩形門(mén)寬為x尺，則依題意所列方程為_(kāi)_________．（1丈=10尺，1尺=10寸）14．如圖，在中，，棱長(zhǎng)為1的立方體的表面展開(kāi)圖有兩條邊分別在，上，有兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________．15．如圖，中，，．P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊上，且始終保持，若為直角三角形，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________．三、解答題16．計(jì)算或解方程：（1）計(jì)算：（2）解方程：．17．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．（1）說(shuō)明方程是倍根方程；（2）若一元二次方程是倍根方程，且方程有一個(gè)根為4，求b、c的值．18．古城鄧州有著上千年的歷史，文化資源豐富，其中的鄧州古城墻也是鄧州歷史的見(jiàn)證，給鄧州的多少代人都留下了美好的回憶．鄧州古城墻遺址修復(fù)項(xiàng)目已啟動(dòng)，一期將完成修復(fù)水上樓段的城墻和城門(mén)，修復(fù)成功后將成為鄧州繼花洲書(shū)院和編外雷鋒紀(jì)念館等景觀后的又一亮點(diǎn)．了解到這一信息后，某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”的同學(xué)們利用周末時(shí)間開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，他們實(shí)地參觀了這一遺址，并準(zhǔn)備測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算古城墻遺址距離地面的高度．如圖，古城墻遺址建立在一段斜坡上，測(cè)得這段古城墻的高度為2.4米，又在地面上的C點(diǎn)測(cè)得城墻的底部A的仰角為，頂部B的仰角為，請(qǐng)根據(jù)以上條件求出這段古城墻距地面的高度（結(jié)果精確到0.1）（，，，）19．對(duì)于一些比較復(fù)雜的方程，可以利用函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根的情況．問(wèn)題：探究方程的實(shí)數(shù)根的情況．下面是“啟迪”數(shù)學(xué)興趣小組的探究過(guò)程，請(qǐng)幫補(bǔ)充：（1）先設(shè)函數(shù)注意到函數(shù)解析式中含有絕對(duì)值，所以可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，y=________；（2）在如圖所示的坐標(biāo)系中，已經(jīng)畫(huà)出了當(dāng)時(shí)的函數(shù)圖象，請(qǐng)根據(jù)（1）中的解析式，通過(guò)描點(diǎn)、連線，畫(huà)出當(dāng)時(shí)的函數(shù)圖象；（3）畫(huà)出直線，由此可知方程的實(shí)數(shù)根有__________個(gè)．（4）當(dāng)關(guān)于x的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為_(kāi)_________．20．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BE，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若EF＝3，求DE的長(zhǎng)．21．為了落實(shí)國(guó)務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：．經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于28元/千克，設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該產(chǎn)品銷售單價(jià)定為多少時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（3）當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)時(shí)，該農(nóng)產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)不低于102元？22．如圖1所示，邊長(zhǎng)為4的正方形與邊長(zhǎng)為的正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在對(duì)角線上．（1）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1所示，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；（2）（類比探究）如圖2所示，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)上述結(jié)論是否還成立？若成立，寫(xiě)出推理過(guò)程，若不成立，說(shuō)明理由；（3）（拓展延伸）當(dāng)時(shí)，正方形若按圖1所示位置開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，在正方形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A、F、C在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段的長(zhǎng)__________．23．如圖，△ABC中，AB＝8，sinA＝，AC＝6．（1）求作一個(gè)點(diǎn)D，使得點(diǎn)A，B，C，D圍成一個(gè)以AC為對(duì)角線的平行四邊形；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）求出（1）中所作的平行四邊形的面積．24．如圖，直線與x軸交于，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）點(diǎn)為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交拋物線和直線于點(diǎn)C，D．①若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為多少時(shí)，面積最大，最大值是多少？②在（2）的題干條件下，若與相似，則稱此時(shí)的點(diǎn)P為“相似點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出“相似點(diǎn)”P(pán)的坐標(biāo)．參考答案1．B【分析】將每個(gè)選項(xiàng)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A.，與不是同類二次根式；B.，與是同類二次根式；C.與不是同類二次根式；D.與不是同類二次根式；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查同類二次根式，利用二次根式的性質(zhì)將每個(gè)選項(xiàng)化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】先提公因式x可得，即，，即可求解．【詳解】解：提公因式x可得：，∴，，解得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適的求解方法是解題的關(guān)鍵．3．B【解析】解：∵用一個(gè)放大鏡去觀察一個(gè)三角形，∴放大后的三角形與原三角形相似，∵相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，∴各邊長(zhǎng)都變大，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，∴對(duì)應(yīng)角大小不變，故選項(xiàng)B正確；．∵相似三角形的面積比等于相似比的平方，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵相似三角形的周長(zhǎng)得比等于相似比，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．點(diǎn)睛：此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長(zhǎng)得比等于相似比．4．D【分析】首先畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，然后從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解可得．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中恰為“天”、“空”的有2種結(jié)果，恰為“天”、“空”的概率為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．B【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=，解得：sinα=，∵α為銳角，∴α=30°．故選B．6．C【分析】根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以即可．【詳解】∵和是位似圖形，且位似比為，又知A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，3)，∴A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)，即C(，)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查位似變換．如果位似變換以原點(diǎn)為位似中心，位似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于k或-k．7．D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，，即可判定①；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸交于和，可得對(duì)稱軸，即可判定②和③；根據(jù)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取得最小值可判定④．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，故；與y軸交于負(fù)半軸，故，∴，即①正確；∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于和，∴方程的根是，，即③正確；對(duì)稱軸為，∴時(shí)，y隨x的增大而增大，即②正確；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取得最小值，即，∴，即④正確；綜上，正確的說(shuō)法有①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)題意，可以得到BG的長(zhǎng)，再根據(jù)∠ABG=90°，AB=3，可以得到∠BAG的正切值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠BAG=∠α，從而可以得到tanα的值．【詳解】解：作CF⊥l4于點(diǎn)F，交l3于點(diǎn)E，設(shè)CB交l3于點(diǎn)G，由已知可得，GE∥BF，CE=EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC=2，∴GB=1，∵l3∥l4，∴∠α=∠GAB，∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，∴∠ABG=90°，∴，∴tanα的值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．D【分析】由折疊可得，，根據(jù)勾股定理可得，，的長(zhǎng)度，即可求面積比．【詳解】解：，，，折疊，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，勾股定理，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理求線段的長(zhǎng)度．10．A【詳解】試題分析：S△AEF=AE×AF=，S△DEG=DG×DE=×1×（3﹣x）=，S五邊形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG==，則y=4×（）=，∵AE＜AD，∴x＜3，綜上可得：（0＜x＜3）．故選A．考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象；動(dòng)點(diǎn)型．11．x≥-3且x≠0【分析】根據(jù)代數(shù)式有意義可知，分母不為0且被開(kāi)方數(shù)大于等于0，即可得到x的取值范圍.【詳解】解：∵有意義∴x≠0，x+3≥0∴x≥-3且x≠0故答案為：x≥-3且x≠0.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是代數(shù)式有意義的條件，有兩點(diǎn)，分母不為0，被開(kāi)方數(shù)大于等于0.12．【分析】由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可求出b的值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可找出m和n的大小關(guān)系．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，m）、B（2，m），∴，∴b=2，∵點(diǎn)A(-4，m)，C（6，n）在二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象上，∴m=16-8+c=8+c；n=36+12+c=48+c，∴m＜n，故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到m，n的大小是解題的關(guān)鍵．13．【分析】設(shè)長(zhǎng)方形門(mén)的寬尺，則高是（）尺，根據(jù)勾股定理即可列得方程．【詳解】設(shè)長(zhǎng)方形門(mén)的寬尺，則高是（）尺，根據(jù)題意得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列方程是關(guān)鍵．14．10【分析】由題意得、、是直角三角形，四邊形DEGC是矩形，,易證，再根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得出，從而求出AG的值，根據(jù)即可求出三角形ABC的面積，再減去6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形的面積即為陰影部分的面積．【詳解】解：如圖：由題意得：、、是直角三角形，四邊形DEGC是矩形，,在和中，，，，，，S陰影=S△ABC-6=16-6=10，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．8或【分析】因?yàn)椤螩為定角，D、P為動(dòng)點(diǎn)，所以△PCD為直角三角形有兩種情況：∠PDC=90°時(shí)，△PCD為直角三角形，如詳解圖，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BP的長(zhǎng)；當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，△PCD為直角三角形，如詳解圖，作，根據(jù)△BFA△BAP求出BP的長(zhǎng)．【詳解】分兩種情況:∠PDC=90°時(shí)，△PCD為直角三角形，如圖：∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠APD=∠B∴∠APD=∠C∵∴點(diǎn)P為BC中點(diǎn)∴當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，△PCD為直角三角形，如圖，作，，點(diǎn)為BC中點(diǎn)∵∠APD=∠B，∠DPC=90故答案為：8或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，同時(shí)還運(yùn)用了分類討論的思想，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求線段長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．16．（1）5；（2），．【分析】（1）首先根據(jù)根式的化簡(jiǎn)、特殊銳角三角函數(shù)的值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義、絕對(duì)值的意義分別求出其值，再依次計(jì)算加減即可求出答案；（2）根據(jù)十字相乘法即可求出答案．【詳解】（1）．（2）∵，∴，則或，解得，（方法不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、解一元二次方程，熟練運(yùn)用運(yùn)算法則以及找到合適的解題方法是解答本題的關(guān)鍵．17．（1）見(jiàn)解析；（2），或，．【分析】（1）求出該方程的兩個(gè)根，判斷兩個(gè)根的關(guān)系即可．（2）根據(jù)是倍根方程，可知另一根為2或8．即可分類討論求出該一元二次方程，即可求出b、c．【詳解】（1）∵，，，．∵是的2倍，∴是倍根方程；（2）∵是倍根方程，且有一個(gè)根為4，則另一根為2或8．①當(dāng)兩根為4和2時(shí)，，∴，．②當(dāng)兩根為4和8時(shí)，，∴，，綜上所述：，或，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程以及根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)．根據(jù)題干理解倍根方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．18．6.7米．【分析】設(shè)AH長(zhǎng)為x，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用其公共邊構(gòu)造方程求解．【詳解】解：設(shè)，則，在中，即：解得：，∴（米）答：這段古城墻距離地面的高度約為6.7米．【點(diǎn)睛】本題考查仰角的應(yīng)用：要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形解三角形設(shè)計(jì)測(cè)量方法．19．（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）3；（4）【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值整理即可；（2）通過(guò)描點(diǎn)、連線，畫(huà)出圖像即可；（3）根據(jù)圖象即可求解；（4）根據(jù)圖象分析即可求解；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，；故答案是：；（2）圖象如圖：（3）由圖象可知，直線與函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，∴方程的實(shí)數(shù)根有3個(gè)；故答案是3．（4）由圖象可知，直線與的交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是；故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．20．【分析】先證明DE為的中位線，得到四邊形BCFE為平行四邊形，求出BC=EF=3，再根據(jù)中位線定理即可求解．【詳解】解：∵D、E分別是的邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為的中位線，∴DE∥BC，，∵，∴四邊形BCFE為平行四邊形，∴BC=EF=3，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形判定與性質(zhì)，熟知三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．21．（1）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)為192元；（3）當(dāng)時(shí)，日獲利不低于102元．【分析】（1）根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售量×銷售單價(jià)的利潤(rùn)，列出函數(shù)關(guān)系式．（2）用配方法將（1）的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．（3）把代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求x，根據(jù)x的取值范圍求x的值．【詳解】解：（1）由題意得：（2）．∵，對(duì)稱軸為直線．又∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值為192元，∴當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)為192元；（3）當(dāng)元時(shí)，有：，解得：，．∵，∴當(dāng)時(shí)，，又∵，∴當(dāng)時(shí)，日獲利不低于102元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)表示出總利潤(rùn)與x的關(guān)系是解題關(guān)鍵．22．（1）；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）或．【分析】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接AE，由正方形的性質(zhì)得出AD=DC=4，AC=4，由勾股定理求出AE，即可得出答案．【詳解】解：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)：∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=CF，CE⊥GF，∴AB∥EF，∴，∴AE=BF；故答案為：AE=BF；類比探究：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接CE，如圖2所示：∵∠FCE=∠BCA=45°，∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF，在Rt△CEG和Rt△CBA中，CE=CF，CA=CB，∴，∴△ACE∽△BCF，∴，∴AE=BF；拓展延伸：分兩種情況：①如圖3所示：連接AE∵四邊形ABCD和四邊形CFEG是正方形，∴AD=DC=4，EG=GC=∴EC=2∴DE=2在Rt△ADE中，AE=；②如圖4所示：連接AE，同①得AD=DC=4，CF=FE=∴AC=4，AF=AC+CF