第2章組合邏輯電路課件

2023/10/81習題完成第2章練習9,23,24,30,34,38,39.第2章組合邏輯電路（續(xù)）2023/10/81習題第2章組合邏輯電路（續(xù)）2023/10/822.1二值邏輯和邏輯門2023/10/822.1二值邏輯和邏輯門2023/10/832.2布爾（邏輯）代數(shù)

邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)是一個由邏輯變量集K，常量0和1以及“與”、“或”、“非”3種基本運算構(gòu)成的一個封閉的代數(shù)系統(tǒng)，記為L={K,+,?,-,0,1}。這個系統(tǒng)滿足下列公理。

（A1）如果X≠1，則X＝0；（A1'）如果X≠0，則X＝1。（開關變量X的取值特性）（A2）如果X＝0，則X'＝1；（A2'）如果X＝1，則X'＝0。（反相器的功能特性）“與”和“或”操作的特性

（A3）0·0＝0；（A3'）1＋1＝1

（A4）1·1＝1；（A4'）0＋0＝0

（A5）0·1＝1·0＝0；（A5'）1＋0＝0＋1＝1布爾1854<<思維規(guī)律的研究-邏輯與概率的數(shù)學理論基礎>><<邏輯的數(shù)學分析>>2023/10/832.2布爾（邏輯）代數(shù)邏輯代數(shù)（A2023/10/842.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）布爾函數(shù)的舉例-電動車窗一鍵開窗下降鍵機械開關2023/10/842.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）布爾函數(shù)的2023/10/85

邏輯變量僅取值0或取值1的變量。0和1無大小之分，代表著矛盾的雙方。例如開關的接通與斷開，信號的有和無，電燈的亮和滅等等。2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）

基本邏輯運算“與”運算--如果決定某一事件發(fā)生的多個條件必須同時具備，事件才能發(fā)生，這種因果關系稱為“與”邏輯?！芭c”邏輯關系用“與”運算描述?！芭c”運算又稱邏輯乘，其運算符“”或“”。兩變量的“與”運算可表示為F＝AB或者F=AB，讀作“F等于A與B”。數(shù)字系統(tǒng)中實現(xiàn)“與”運算的邏輯電路稱為“與門”。ABF000010100111“與"運算表UABF2023/10/85邏輯變量2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/86

基本邏輯運算“或”運算--如果決定某一事件發(fā)生的多個條件，只要有一個或一個以上的條件成立，事件便可發(fā)生，這種因果關系稱之為“或”邏輯?！盎颉边壿嬯P系用“或”運算描述?！盎颉边\算又稱邏輯加，其運算符為“+”或“

”。兩個變量的“或”運算可表示為:F=A+B或者F=A

B，讀作“F等于A或B”。數(shù)字系統(tǒng)中實現(xiàn)“或”運算的邏輯電路稱為“或門”。ABF000011101111"或"運算表AUBF2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/86基本邏輯運算ABF"2023/10/87

基本邏輯運算“非”運算--如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，則這種因果關系稱為“非”邏輯?！胺恰边壿嬘谩胺恰边\算描述。“非”運算又稱求反運算，運算符為“－”或“′”。“非”運算可表示為，讀作“F等于A非”。數(shù)字系統(tǒng)中實現(xiàn)“非”運算的邏輯電路稱為“非門”。“非"運算表AF0110UAF

邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯函數(shù)--設電路的輸入邏輯變量為A1,A2,…,An,輸出邏輯變量為F。如果當A1,A2,…,An的值確定后，F(xiàn)的值就唯一地被定下來，則F稱為A1,A2,…,An,的邏輯函數(shù)，記為F=f(A1,A2,…,An)。2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/87基本邏輯運算“非"運算表A2023/10/88

邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯電路的功能可由相應的邏輯函數(shù)完全描述。

邏輯函數(shù)的相等--設有兩個邏輯函數(shù)

F1=f1(A1,A2,…,An),F2=f2(A1,A2,…,An)

若對應于A1,A2,…,An的任何一組取值，F(xiàn)1和F2的值都相同，則稱函數(shù)F1和函數(shù)F2相等，記作F1=F2。2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/88邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯函數(shù)的2023/10/89

公理（5條）基本公式

（A1）如果X≠1，則X＝0；（A1'）如果X≠0，則X＝1。（開關變量X的取值特性）（A2）如果X＝0，則X'＝1；（A2'）如果X＝1，則X'＝0。（反相器的功能特性）“與”和“或”操作的特性

（A3）0·0＝0；（A3'）1＋1＝1

（A4）1·1＝1；（A4'）0＋0＝0

（A5）0·1＝1·0＝0；（A5'）1＋0＝0＋1＝12.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/89公理（5條）基本公式（A1）如果X≠2023/10/810

單變量定理

可用完備歸納法證明基本公式2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/810單變量定理可用完備歸納法證明基本公2023/10/811

二變量和三變量定理

運算優(yōu)先順序分配律定理T9和T10廣泛地用來簡化邏輯函數(shù)?；竟?.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/811二變量和三變量定理運算優(yōu)先順序基本2023/10/812

n變量定理

可用有限歸納法證明例：證明X＋X＋

···＋X＝X

1、當n＝2時，X+X=X（T3）

2、設當n＝i時，X+X+···+X=X3、則當n＝i+1時，X+X+X+···+X=X+(X+X+···+X)（T7）=X+X=X基本公式2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/812n變量定理可用有限歸納法證明3、則2023/10/813

代入規(guī)則--任何一個含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。

例如：給定邏輯等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，則該等式仍然成立，即：

(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C

同理，因為X+X=1，所以有：

f(A1,A2,

…,An)+f(A1,A2,…,An)=1重要規(guī)則2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/813代入規(guī)則--任何一個含有變量A的邏輯2023/10/814

反演規(guī)則--如果將邏輯函數(shù)F中所有的“

”變成“+”,“+”變成“

”,“0”變成“1”,“1”變成“0”,原變量變成反變量，反變量變成原變量，所得到的新函數(shù)是原函數(shù)的反函數(shù)F。（德·摩根定理T13、T14）

例如：已知F=AB+CD，根據(jù)反演規(guī)則可得到：

F=(A+B)(C+D)

+01原變量反變量F

+01原變量反變量F'重要規(guī)則2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/814反演規(guī)則--如果將邏輯函數(shù)F中所有的2023/10/815使用德·摩根定理時，要保持原邏輯表示式中運算符號的優(yōu)先順序不變。重要規(guī)則2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/815使用德·摩根定理時，要保持原邏輯表示式2023/10/8162023/10/816由對偶性原理，如將邏輯函數(shù)F中所有的“

”變成“+”,“+”變成“

”,“0”變成“1”,“1”變成“0”,邏輯變量保持不變，則得到邏輯函數(shù)F的對偶式FD。如果FD是F的對偶式，則F也是FD的對偶式，即F與FD互為對偶式。

++0011

FFDFD(X1,X2,···,Xn,＋,·,')＝F(X1,X2,···,Xn,·,＋,')[F(X1,X2,···,Xn)]'＝FD(X1',X2',···,Xn')重要規(guī)則2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）

對偶規(guī)則（對偶性原理）2023/10/8162023/10/816由對偶性原理，如2023/10/817

對偶規(guī)則（對偶性原理）對開關代數(shù)的任何定理或恒等式，若交換所有的0和1以及“＋”和“·”，結(jié)果仍正確。

它使要學的東西減了一半！重要規(guī)則2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/817對偶規(guī)則（對偶性原理）它使要學的東2023/10/818求某一函數(shù)F的對偶式時，同樣要注意保持原函數(shù)的運算順序不變。對偶規(guī)則：若兩個邏輯函數(shù)F和G相等，則其對偶式FD

和GD

也相等。如：則：重要規(guī)則2.2布爾（邏輯）代數(shù)（續(xù)）2023/10/818求某一函數(shù)F的對偶式時，同樣要注意保2023/10/8191、真值表2.3標準形式

邏輯函數(shù)的表示法真值表邏輯表達式圖形真值表是一種由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格。ABCF000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0例如：函數(shù)的真值表如下：2023/10/8191、真值表2.3標準形式邏輯函數(shù)的2023/10/820文字：變量或變量的補，如X、Y、X'、Y'；乘積項：單個變量或2個或2個以上變量的邏輯積，如Z'，W·X·Y；“積之和”表達式：乘積項的邏輯和，如Z'＋W·X·Y；求和項：單個變量或2個或2個以上變量的邏輯和，如Z'，W＋X＋Y；“和之積”表達式：求和項的邏輯積，如Z'·(W＋X＋Y)；標準項：一個具有n個變量的函數(shù)的乘積項或求和項，如果包含全部n個

變量,每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn),且僅出現(xiàn)一次，如

W·X·Y'，W＋X'＋Y；非標準項：不是標準項的乘積項或求和項，如W·X·X·Y'；2、邏輯表達式2.3標準形式2023/10/820文字：變量或變量的補，如X、Y、X'、2023/10/821最小項：一個具有n個變量的函數(shù)的“積”項，如果包含全部n個變量,每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn),且僅出現(xiàn)一次。“最小項之和”表達式：完全由最小項所組成的邏輯和,該函數(shù)表達式，也稱為標準“積之和”表達式。2.3標準形式=m5+m4+m3+m1例如：最小項=m(1,3,4,5)2023/10/821最小項：一個具有n個變量的函數(shù)的“積2023/10/8221.原變量取“1”，反變量取“0”

2.變量順序確定后，二進制數(shù)對應的十進制即為最小項的下標i

編號mi的計算方法：變量的各組取值對應的最小項及其編號ABC最小項編號000m0001m1010m2011m3100m4101m5110m6111m7三變量函數(shù)的最小項2.3標準形式2023/10/8221.原變量取“1”，反變量取2023/10/823=m5+m4+m3+m1注意：這些最小項不在F(A,B,C)中，就在F(A,B,C)'中。=m(1,3,4,5)所以注意：變量順序因此2.3標準形式2023/10/823=m5+m4+m3+m1注意：這2023/10/8241.2.mimj=0(ij)3.n個變量的每一個最小項有n個相鄰項(其余項相同,有一項互補)

最小項的性質(zhì)

的相鄰項有：2.3標準形式2023/10/8241.最小項的性質(zhì)的相鄰項有：2.2023/10/825“最大項之積”表達式（即標準積式）求和項：單個變量或2個或2個以上變量的邏輯和。例如：Z'，W+X+Y，X+Y'+Z，W'+Y'+Z?！昂椭e”表達式：求和項的邏輯積。例如：Z'·(W＋X＋Y)·(X＋Y'＋Z)·(W'＋Y'＋Z)最大項：一個具有n個變量的函數(shù)的“和”項，如果包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn),且僅出現(xiàn)一次?！白畲箜椫e”表達式：完全由最大項所組成的邏輯積,

該函數(shù)表達式也稱為標準“和之積”表達式。最大項例如：2.3標準形式2023/10/825“最大項之積”表達式（即標準積式）2023/10/826注意：變量順序。1.原變量取“0”，反變量取“1”

2.變量順序確定后，按變量排列順序組成的“二進制數(shù)”所對應的十進制即為最大項的下標i

編號Mi的計算方法：如：2.3標準形式2023/10/826注意：變量順序。1.原變量2023/10/827變量的各組取值ABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1對應的最小項及其編號對應的最大項及其編號最小項編號最大項編號n個變量有2n個最小項，2n個最大項。2.3標準形式2023/10/827變量的各組取值ABC02023/10/8281.2.Mi+Mj=1(ij)3.n個變量的每一個最大項有n個相鄰項(其余項相同,有一項互補)如:

相鄰項

最大項的性質(zhì)與最小項類似，有4.且有5.一個函數(shù)表達式中,i個最小項之和等于2n-i個最大項之積2.3標準形式2023/10/8281.最大項的性質(zhì)與最小項類似，有42023/10/8292.4邏輯電路化簡

一般來說，邏輯函數(shù)表達式越簡單，設計出來的電路也就越簡單，成本越低。例：化簡解：

代數(shù)化簡法：運用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對邏輯函數(shù)進行推導、變換而進行化簡。沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對公理、定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運用的程度。有時很難判定結(jié)果是否為最簡。7個門3個門2個門2023/10/8292.4邏輯電路化簡一般來說，邏輯函2023/10/830

最簡“與或”式應滿足的兩個條件：表達式中“與項”的個數(shù)最少；在滿足上面要求的前提下,“與項”中的變量總數(shù)最少。

最簡“或與”式應滿足的兩個條件：表達式中“或項”的個數(shù)最少；在滿足上面要求的前提下,“或項”中的變量總數(shù)最少?？ㄖZ圖化簡法：該方法簡單、直觀、容易掌握，當變量個數(shù)小于等于6時非常有效，在邏輯設計中得到廣泛應用?？ㄖZ圖的構(gòu)成：n個變量的卡諾圖是一種由2n個方格構(gòu)成的圖形，每一個方格表示邏輯函數(shù)的一個最小項，所有的最小項巧妙地排列成一種能清楚地反映它們相鄰關系的方格陣列。一個函數(shù)可用圖形中若干方格構(gòu)成的區(qū)域來表示。2.5卡諾圖化簡2023/10/830最簡“與或”式應滿足的兩個條件：最2023/10/831mo

m2m1

m30101ABAB0101二變量卡諾圖mo

m2m6

m4m1

m3m7

m50001111001ABC0001111001ABC三變量卡諾圖04

1281

5

1393715112614100001111000011110ABCD0001111000011110ABCD四變量卡諾圖2023/10/831mom201012023/10/832

相鄰最小項（與項）：彼此只有一個變量不同，且這個不同變量互為反變量的兩個最小項（與項）稱為相鄰最小項（相鄰與項），如ABC和ABC'。

相鄰最小項在卡諾圖中有幾何相鄰、相對相鄰或重疊相鄰三種特征。04

1281

5

1393715112614100001111000011110ABCD0001111000011110ABCD04

1281

5

1393715112614100001111000011110ABCDE1620

282417

21

292519233127182230260001111000011110ABCDE2.5卡諾圖化簡2023/10/832相鄰最小項（與項）：彼此只有一個變2023/10/833

邏輯函數(shù)的卡諾圖表示：將邏輯函數(shù)所對應的最小項在卡諾圖的相應方格中標以1，剩余方格標以0或不標。

其它形式的函數(shù)要轉(zhuǎn)換成“與或”式后，再在卡諾圖上表示?？ㄖZ圖的性質(zhì)：根據(jù)定理AB+AB‘=A，它表明兩個相鄰“與項”或相鄰"最小項"可以合并為一項，這一項由兩個"與項"中相同的變量組成，可以消去兩個"與項"中不同的變量。0001111001ABC11111例如：可表示為：“與或”式的卡諾圖表示：直接將表達式的“與項”或“最小項”所對應的方格標以1。2.5卡諾圖化簡2023/10/833邏輯函數(shù)的卡諾圖表示：將邏輯函數(shù)所對2023/10/834

卡諾圈：在卡諾圖上把相鄰最小項所對應的小方格"圈"在一起可進行合并，以達到用一個簡單"與項"代替若干最小項的目的。0101AB110101AB110101AB111二變量卡諾圖合并的典型情況0001111001ABC1111AB0001111001C1111111101ABC00011110三變量卡諾圖合并的典型情況2.5卡諾圖化簡2023/10/834卡諾圈：在卡諾圖上把相鄰最小項所對應2023/10/835

一個卡諾圈中的小方格滿足以下規(guī)律：卡諾圈中的小方格的數(shù)目為2m，m為整數(shù)且m

n；

2m個小方格含有m個不同變量和(n-m)個相同變量；

2m個小方格可用(n-m)個變量的“與項”表示，該“與項”由這些最小項中的相同變量構(gòu)成；當m=n時，卡諾圈包圍整個卡諾圖，可用1表示，即n個變量的全部最小項之和為1。100011110ABCD1111111四變量卡諾圖合并的典型情況000111102.5卡諾圖化簡2023/10/835一個卡諾圈中的小方格滿足以下規(guī)律：12023/10/8362.5卡諾圖化簡F（A，B）=（0，1，3）

2023/10/8362.5卡諾圖化簡F（A，B）=（0，2023/10/837

蘊涵項（如何畫圈）蘊涵項：“與或”式中的每一個“與項”稱為函數(shù)的蘊涵項。主蘊涵項：不被其它蘊涵項所包含的蘊涵項。質(zhì)主蘊涵項：主蘊涵項中至少有一個最小項不被其它主蘊涵項所包含。2.5卡諾圖化簡2023/10/837蘊涵項（如何畫圈）2.5卡諾圖化簡2023/10/838

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟：第一步：作出函數(shù)的卡諾圖；第二步：在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部主蘊涵項（畫最大的卡諾圖）；第三步：從全部主蘊涵項中找出所有質(zhì)主蘊涵項；第四步：若全部質(zhì)主蘊涵項尚不能覆蓋所有的1方格，則需從剩余的主蘊涵項中找出最簡的所需主蘊涵項，使它們和質(zhì)主蘊涵項一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋（把它們?nèi)俊盎颉逼饋恚?.5卡諾圖化簡2023/10/838用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟：2.2023/10/839例：用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為“與或”表達式

F(A,B,C,D)=

m(0,3,5,6,7,10,11,13,15)解：10001111000011110ABCD11111111110001111000011110ABCD11111111*1*0001111000011110ABCD11*1*1*111*2.5卡諾圖化簡2023/10/839例：用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為“與或2023/10/840例：用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為“與或”表達式

F(A,B,C,D)=

m(2,3,6,7,8,10,12)解：10001111000011110ABCD11111110001111000011110ABCD1*1*1*1*11110001111000011110ABCD1*1*1*1*1110001111000011110ABCD1*1*1*1*12.5卡諾圖化簡2023/10/840例：用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為“與或2023/10/841例：用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為“或與”表達式

F(A,B,C,D)=

M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)

解：CD10001111000011110AB0010010110010012.5卡諾圖化簡2023/10/841例：用卡諾圖將下列邏輯函數(shù)簡化為“或與2023/10/842

沒有質(zhì)主蘊涵項的情況2.5卡諾圖化簡2023/10/842沒有質(zhì)主蘊涵項的情況2.5卡諾圖化2023/10/843例：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)F(A,B,C,D)=m(2,3,4,5,6,7,11,13,15)解：CD0001111000011110AB111111111CD00001111000011110AB000000

化簡后得到的表達式一般為兩級“與或式”或“或與式”，可分別由兩級“與非門”或“或非門”來實現(xiàn)，但實際上受扇入系數(shù)的影響，電路的級數(shù)會增加，影響電路的速度。為不降低速度，人們設計出更復雜的門來取代簡單門完成更復雜的運算。2.5卡諾圖化簡2023/10/843例：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)F(A,B,2023/10/844

包含無關最小項的邏輯函數(shù)的化簡

一般來說，邏輯函數(shù)與輸入的每一種取值組合均有關系。對于某些組合（某些最小項）函數(shù)的值為0，而對另外一些組合（另外一些最小項）函數(shù)取值為1。無關最小項：一個邏輯函數(shù),如果它的某些輸入取值組合因受特殊原因制約而不會再現(xiàn)，或者雖然每種輸入取值組合都可能出現(xiàn)，但此時函數(shù)取值為1還是為0無關緊要，那么這些輸入取值組合所對應的最小項稱為無關最小項。無關最小項可以隨意地加到函數(shù)表達式中，或者不加到函數(shù)表達式中，并不影響函數(shù)所對應邏輯電路的實際邏輯功能。2.5卡諾圖化簡2023/10/844包含無關最小項的邏輯函數(shù)的化簡一般2023/10/845例：給定某電路的真值表如下，求F的最簡"與或"式。10001111000011110ABCD111111100011110