2012-2022十年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題13三角函數(shù)的綜合應(yīng)用(解析版)

+年高考等大教藕頸?l專(zhuān)題13三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

十年大數(shù)據(jù)*全景展示I年份題號(hào)考點(diǎn)考查內(nèi)容2013卷1理16文16三角函數(shù)最值與值域主要考查逆用兩角和與差公式、誘導(dǎo)公式、及簡(jiǎn)單三角函數(shù)的最值問(wèn)題2014卷1理6三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用主要考查利用三角函數(shù)的應(yīng)用及三角公式卷2理14文14三角函數(shù)最值與值域主要考查三角公式及三角函數(shù)最值卷2理16文12三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用主要考查圓的相關(guān)知識(shí)、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)2016卷1理12三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性及最值，考查運(yùn)算求解能力.卷2理7三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用主要考查三角函數(shù)圖像的平移變換與三角函數(shù)得到對(duì)稱(chēng)軸.卷2文11三角函數(shù)最值與值域主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式、換元法求最值2017卷2理14三角函數(shù)最值與值域主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、換元法求最值.卷2文13三角函數(shù)最值與值域主要考查輔助角公式及三角函數(shù)的最值.卷3文6三角函數(shù)最值與值域主要考查誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想.2018卷1理16三角函數(shù)最值與值域主要考查三角函數(shù)的二倍角公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.卷1文8三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用主要考查降冪公式、三角函數(shù)的周期與最大值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想與運(yùn)算求解能力2019卷1理11三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、最值等問(wèn)題.大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考考^出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測(cè)三角函數(shù)最值與值域7/132021年仍將重點(diǎn)考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的.綜合應(yīng)用及三角函數(shù)的最值與值域問(wèn)題，題型仍為選擇題或填空題，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用4/13三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2/13難度為中檔題或壓軸題.十年試題分類(lèi)*探求規(guī)律考點(diǎn)42三角函數(shù)最值與值域(2016全國(guó)新課標(biāo)卷2,文11)函數(shù)f(X)=cos2X+6cos(--X)的最大值為()45 (C)6(D)7【答案】B3 11【解析】因?yàn)閒(X)=1-2si∏2X+6sinX=-2(SinX-^”+—，而SlnXe[—LU，所以當(dāng)SinX=1時(shí)，f(X)取得最大值5,選B.(2017新課標(biāo)卷3,文6)函數(shù)fx)=1sin(X+-)+cos(X-F)的最大值為5 3 6A.5B.1c?5D.15【答案】A-(-?【解析】因?yàn)?-、cosX—-=cosI6)((-?=sinX+wV3)f(X)=1.( -1-sinX+—5V 3)(+sinX+V-1 6.( -1—=-sinX+—3) 5V 3)函數(shù)的最大值為6，故選A.52—X+I3)所以 --X-、 ..一....一、一一(2012山東)“函數(shù)y=2sin (0≤X≤9)的最大值與最小值-N和為V6 3)A.2-√3 B.0C.-1 D.-1-√3【答案】A--【解析】???0≤X≤V-3≤6X--/7-. √3/..- -、/[—≤—,..——≤sin(—X一—)≤1,3 6 2 6 3「?y=2,y =-%3?故選8.max min(2018?新課標(biāo)I,理16)已知函數(shù)f(X)=2sinX+sin2X，則f(x)的最小值是—.【答案】-延2【解析】由題意可得T=2-是f(x)=2sinx+sin2X的一個(gè)周期，故只需考慮f(x)=2sinX+sin2X在［0,2-)上的值域，先來(lái)求該函數(shù)在［0,2-)上的極值點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)可得f(x)=2cosX+2cos2X1 -=2cosX+2(2cos2X-1)=2(2cosX-1)(cosX+1),令f(x)=0可解得cosX=-或cosX=-1,可得此時(shí)X=—2 3?；蛏?，%f%),f(%)在在［。，2兀)上的變化情況如下表所示:%0(。，z3)—(1,-)—(兀,3兀)I—(|—,2兀)2—f'(%)+^0?^0+f(%)~0~/極大值√3極小值I√I/^o.5.(2017新課標(biāo)卷2,文13).函數(shù)f(X) cos%+sin%的最大值為二.y=2sin%+sin2%的最小值為一力?2.【答案】＜5【解析】因?yàn)?(%)=、；5Sin(X+φ),其中tanφ=2，所以f(x)的最大值■為、；56.(2017新課標(biāo)卷2,理14).函數(shù)f(%)=sin2%+√'3cos%一兀4(%∈。，I)的最大值是.2【答案】1【解析】3 1f(%)=1一cos2%+√3cos%-4=-cos2%+√3cos%+4√3、2+1%∈0,ι2，那么cos%∈b,1］，當(dāng)cos%=W時(shí)，函數(shù)取得最大值1.(2014新課標(biāo)II理14)函數(shù)f(%)=sin(%+2φ)—2sinφcos(%+φ)的最大值為【答案】1【解析】丁f(%)=sin(%+2φ)-2sinφcos(X+φ)=sin[φ+(X+φ)]-2sinφcos(X+φ)=sinφcos(%+φ)+cosφsin(%+φ)-2sinφcos(%+φ) =cosφsin(%+φ)一sinφcos(%+φ)=sin%.??f(%)的最大值為1(2013新課標(biāo)I,理15)設(shè)當(dāng)%=θ時(shí)，函數(shù)X)=sin%—2cos%取得最大值，則cosθ=2J5【答案】一-5-?C9八：5? 2√5 、一√5【解析】?「f(%)=sin%一2cos%=√5(—sin%——^―cos%),令cosφ=-?C 2,：5 ￡,、Sinφ=一-5一,]則f(%)=√5(sin%cosφ+sinφcos%)=?√5sin(%+φ)，當(dāng)%+φ=2k兀+—^2兀一，,k∈z,即%=2k兀+—一φ,k∈z時(shí)，21=cos%—?I2),,,.f(x)取最大值，此時(shí)θ=2kπ+y-φ,k∈Z.?.cosθ=cos(2kπ+π-φ)=sinφ=5(2013江西)設(shè)f(X)=√3sin3X+cos3X,若對(duì)任意實(shí)數(shù)X都有f(X)≤a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】αN2[解析]f(X)=√3sin3X+cos3X=2sin(3X+φ)得1f(x)l≤2故a≥2(2019浙江18)設(shè)函數(shù)f(X)=sinX,X∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函數(shù)f(X+θ)是偶函數(shù)，求θ的值；π 兀、_(2)求函數(shù))=[f(X+—)]2+[f(X+-)]2的值域.JL乙 iι【解析】(1)因?yàn)閒(X+θ)=sin(X+θ)是偶函數(shù)，所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)X都有sin(X+θ)=sin(-x+θ)即sinXcosθ+cosXsinθ=-sinXcosθ+cosXsinθ故2sinxcosθ=0所以cosθ=0C 八 、3又θ∈[0,2)，因此θ=5或7、12( 、12、((2))=fx+12JL乙=sin2X+一+sin2X+—1-cos2X+—1-cos2x+—cos2X-3sin2X=1-√3^2^cos2X+-.7、l__62+2+fx+47I12JI 4)、l 2J2=1-2[S2、√l 3J因此，函數(shù)的值域是［1-43,1+.考點(diǎn)43三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用(2019?新課標(biāo)I,理11)關(guān)于函數(shù)f(X)=sinlXl+lsinXl有下述四個(gè)結(jié)論:①f(X)是偶函數(shù)②f(X)在區(qū)間號(hào)，π)單調(diào)遞增③f(X)在[-π,π]有4個(gè)零點(diǎn)④f(X)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】?二f(一%)=sinl-%1+1sin(一%)I=sinI%1+1sin%I=f(%),，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故①正確;當(dāng)XG(―,兀)時(shí)，sinIXI=sinX,IsinXI=sinX,則f(x)=sinX+sinX=2sinX為減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；2當(dāng)。<x<—時(shí)，f(X)=sinIXI+1sinXI=sinX+sinX=2sinX,由f(x)=0得2sinX=0得X=0或X=―,由f(X)是偶函數(shù)，得在［――，)上還有一個(gè)零點(diǎn)X=-—，即函數(shù)f(X)在［-―，―］有3個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤，當(dāng)sinIXI=1，IsinXI=1時(shí)，f(X)取得最大值2,故④正確，故正確是①④，故選C(2018?新課標(biāo)1.，文8)已知函數(shù)/(%)=2cos2%-siιu%+2,貝∣J( )f(X)的最小正周期為―，最大值為3f(X)的最小正周期為―，最大值為4f(X)的最小正周期為2—,最大值為3f(X)的最小正周期為2—，最大值為4【答案】B【解析】函數(shù)f(X)=2cos2X一sin2X+2=2cos2X一sin2X+2sin2X+2cos2X=4cos2X+sin2X=3cos2X+1=3?cos2X+1+1=3cos2x+5，故函數(shù)的最小正周期為—,函數(shù)的最大值為-+5=4，故選B2 2 2 22、,c,,—— —(2016新課標(biāo)卷1,理12)12.已知函數(shù)f(X)=sm(3x+φ)(ω>0,φ∣≤-),X=--為f(X)的零點(diǎn)，X=-乙 I I 一 (—5—\為y=f(X)圖像的對(duì)稱(chēng)軸，且f(X)在—,-單調(diào)，則ω的最大值為()11836)(A)11 (B)9 (C)7 (D)5【答案】B.一11兀 兀，r 9— — —3=11 ——+φ=^π+-左∈Zφ=上—一一,左∈Z,因?yàn)镮φI≤—，所以φ=-4 4 4 4 4所以f(x)=Sindh-》當(dāng)A<x<-6時(shí)，11x-―4G嗡芳K因?yàn)閥=sinX啜蕓)不八 9— — 7— —單調(diào)，故A錯(cuò)；當(dāng)ω=9時(shí)，由,——+φ=k—+-,kgZ,.?.φ=k—-——,kgZ，因?yàn)镮φI≤—，所以4 2 4 4φ[,所以f(x)=sin”X+—4),當(dāng)―<x<-6時(shí)，9x+―；G耳,3—)，因?yàn)椋?sinX (3―,3—)單調(diào)，故選B.(2016?新課標(biāo)∏,理7)若將函數(shù)y=2sin2X的圖象向左平移專(zhuān)個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為()A.X=把一—(kGZ)

2 6B.x=kGZ)k兀兀 kπιπC.%=(kGZ) D.%=1(kGZ)2 12 2 12【答案】B【解析】將函數(shù)y=2sin2%的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=2sin2(%+?)=2sin(2%+、由2%+-=kπ+-(kGZ)得：％=紅+巴(kGZ)，即平移后的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為%=把+巴(kGZ)，故選B6 2 2 6 2 65.(2016山東)函數(shù)/(%)=(、/3sin%+cos%)(√3cos%-sin%)的最小正周期是A.— B.π C.—— D.2π2 2【答案】B【解析】由題意得f(%)=2sin(%+-)×2cos(%+-)=2sin(2%+-),故該函數(shù)的最小正周期6 6 3E 2-T=——=-.故選B.26.(2014安徽)若將函數(shù)f(%)=sin2%+cos2%的圖象向右平移中個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則中的最小正值是-A.一8-B.一43-

C.—83-

D.—

4【答案】C【解析】f(%)=<2sin(2%+》將函數(shù)f(%)的圖象向右平移3個(gè)單位得- - -f(%)=√2sin(2%+--2φ),由該函數(shù)為偶函數(shù)可知2φ--=k-+-,kgZ4 4 2k-3- 3-即φ=--T-+-Γ-，所以φ的最小正值是為《^,28 87.(2014福建)將函數(shù)y=sin%的圖象向左平移-個(gè)單位，得到函數(shù)y=f(%)的函數(shù)圖象，則下列說(shuō)法正確的是a.y=f(%)是奇函數(shù) b.y=f(%)的周期是-C.y=f(%)的圖象關(guān)于直線(xiàn)%=-對(duì)稱(chēng)d.y=f(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)|--,0、2 I2)【答案】D【解析】函數(shù)y=sin%的圖象向左平移-個(gè)單位，得到函數(shù)f(%)=sin(%+-)=cos%的圖象，JJf(X)=cosX為偶函數(shù)，排除A；f(X)=cosX的周期為2π，排除B；因?yàn)閒(-)=cos-=0，所以Jf(X)=cosX不關(guān)于直線(xiàn)X=-對(duì)稱(chēng)，排除C；故選D.8.(2014遼寧)將函數(shù)y=3sin(2X+；)的圖象向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)J7JA.在區(qū)間［――,——］上單調(diào)遞減1212J7JB.在區(qū)間［二,=］上單調(diào)遞增

1212JJC.在區(qū)間［--,-］上單調(diào)遞減

63JJD.在區(qū)間［--,-］上單調(diào)遞增

63【答案】B【解析】將y=3sin(2X+J)的圖象向有右移π個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=3sin［2(X-J)+J］，即2πy=3sin(2X--)的圖象，令-巴+2k?！?X一生≤三+2k兀32,k∈Z,化簡(jiǎn)可得2π 7πX∈[—+kπ,—+kπ],k∈Z12 122J J 7J即函數(shù)y=3sin(2X--—)的單調(diào)遞增區(qū)間為［得+k兀,—-+k兀］J JL乙 JL乙k∈Z,令k=0.可得2J J7Jy=3sin(2x-——)在區(qū)間[,——]上單調(diào)遞增，故選B.3 12129.(2013山東)將函數(shù)y=sin(2X+φ)的圖像沿X軸向左平移?個(gè)單位后8得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則中的一個(gè)可能取值為，，3JA- 4C．0πD-4JB4【答案】BπX門(mén))的圖像沿X軸向左平移?，個(gè)單位，得到函數(shù)O‘?E,因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，所以“c-二 /,即8 4 4 2算T-A二A/，所以選B.410.(2018北京)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(Cosθ,sinθ)到直線(xiàn)X-my-2=0的距離，當(dāng)θ,m變化時(shí)，d的最大值為A.1B.2C.3D.4【答案】CjIcosθ-mSinθ-21ImSinθ-Cosθ+21【解析】由題意可得d= = = Ym2+1 mm2+1IVm2+1sin(θ-φ)+21Ym2+1m1(其中CoSφ- z,Sinφ= ),V-1≤sin(θ-φ)≤1Jm2+1 √m2+1I2-、.m2+11 -2+Jm2+1——: —≤d≤-√m2+1 Jm2+12+\m22+11 2—: -1+√m2+1 Jm2+1???當(dāng)m-0時(shí)，d取得最大值3,故選C(2016年浙江)設(shè)函數(shù)f(X)-sin2X+bSinX+C，則f(X)的最小正周期A.與b有關(guān)，且與C有關(guān) B.與b有關(guān)，但與C無(wú)關(guān)C.與b無(wú)關(guān)，且與C無(wú)關(guān) D.與b無(wú)關(guān)，但與C有關(guān)【答案】B【解析】由于f(X)-Sin2X+bSinX+C-1-coS2X +bSmX+c2當(dāng)b-0時(shí)，f(X)的最小正周期為兀當(dāng)bW0時(shí)，f(X)的最小正周期2πc的變化會(huì)引起f(X)的圖象的上下平移，不會(huì)影響其最小正周期.故選B.(2015浙江)函數(shù)f(X)-Sin2X+SinXCoSX+1的最小正周期是，單調(diào)遞減區(qū)間是.3π 7π【答案】π、[丁+kπF+kπ](keZ)88c,、 22 兀、3 3π[ 7π【解析】f(X)--Sin(2X-)+-，故最小正周期為π，單調(diào)遞減區(qū)間為[丁+kπ，-+kπ](kWZ).2 42 8 8- 3 √3.C(2014山東)函數(shù)y---Sin2X+CoS2X的最小正周期為.【答案】πJ3.一 v/3.. 1 _ 1 .一π1【解析】>-——Sin2X+coS2X=y-——Sin2X+CoS2X+-Sin(2X+一)+ ,所以其最小正周期為2 2 2 2 622π——-π2.14.(2014安徽)若將函數(shù)f(X)=一(一π\(zhòng)Sin2X+-V47的圖象向右平移φ個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則φ的最小正值是.3?！敬鸢浮俊?兀^ 兀 兀 兀【解析】 f(X-①)=sιn[2(X-φ)+一]= sιn(2X+—-2φ) , /. 一一2φ=-+k兀(k∈Z)4 4 4 2兀 k兀 3兀φ=----τ~(k∈Z)，當(dāng)k=-1時(shí)φ =——8 2 min8(2016年浙江)已知2cos2X+sin2X=Asin(ωX+φ)+b(A>0),則A=__,b=__.【答案】√2 1【解析】2cos2X+sin2X=√2sin(2X+—)+1,所以A=√2,b=1.4(2014陜西)設(shè)0<9<―，向量α=(sin2θ,cosθ),b=(COSθ,1)，若a〃b,2貝Utanθ=【答案】1—【解析】?二〃〃b,，sin2θ=cos2θ,.?.2sinθcosθ=cos2θ,?.?θ∈(0,—)2.?.tanθ=2(2017江蘇)已知向量a=(cosX,sinX),b=(3,-√3),X∈[0,—].(1)若a〃b,求X的值；(2)記f(X)=a?b,求f(X)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的X的值.【解析】(1)因?yàn)閍=(cosX,sinX),b=(3,-%/3),a〃b所以一?.?,3cosX=3sinX若cosX=0,則sinX=0,與sin2X+cos2X=1矛盾，故cosX≠0√,3于是tanX=--5—又x∈[0,—],所以x=——.6(2)f(X)=a?b=(cosx,sinX)?(3,-*/3)=3cosX-√3sinX=2V3cos(X+—)

6因?yàn)閤∈[0,—],所以χ+—∈[~,-]6 66從而-1≤cos(X+?)≤ .□口于是,當(dāng)χ+%=-，即X=0時(shí)，f(X)取到最大值3；口 5∏當(dāng)X+7―兀，即X—k時(shí)，f(x)取到最小值-2χ,36 6(2017山東)設(shè)函數(shù)f(X)=sin(3X-三)+sin(3X-—),其中0<3<3.62已知=0.(I)求3;(II)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移兀 兀3兀/單位,得到函數(shù)尸g(X)的圖象,求g(X)在［-"7上的最小值?【解析】(I)因?yàn)閒(X)=sin(3X-B)+sin(3X-?)6 2所以f(X)=?sin3X-2cos3X-cos3X=且Sin3X-3cos3X2 2=√3(2-sin3X-*os3X)=√3(sin3X-^3)由題設(shè)知=03——所以---=k—,k∈Z63故3=6k+2,k∈Z,又0<3<3所以3=2(II)由(I)得f(X)=√,3sin(2X一勺所以g(X)=√3sin(X+?-^-)=√3sin(X一3)IJ JL乙「兀3兀r因?yàn)閄∈［一，;T44=F年高考十大數(shù)抵頻測(cè)—r—2—r所以X-T2^∈[-T，F(xiàn)-1— —當(dāng)X——―--，12 3— 3即X=-時(shí)，g(X)取得最小值-X4 219*(2016年天津)已知函數(shù)f(X)=4tanXcosXcos(X-―)-√3*^3(I)求f(X)的定義域與最小正周期;八/、 ——(II)討論f(X)在區(qū)間［--，4］上的單調(diào)性.，， — 、【解析】(I)f(X)的定義域?yàn)閧XIX≠-+k—,k∈Z}乙f(X)=4tanXcosXcos(X-—)-√3^3—4sinXcos(X-—3)-√3=4sinX(2cosX+-?-sinX)-√3=2sinXcosX+2√3sin2X-V3=sin2X+√3(1-cos2X)-√3=sin2X-√3cos2X=2sin(2X-—3)2—所以f(x)的最小正周期T=——乙(II)令Z=2X——,函數(shù)y=2sinZ的單調(diào)遞增區(qū)間是一— ——+2k—,—+2k—,k∈Z.2 2— — —^, — 5—由一一+2k—≤2X——≤—+2k—,得一—+k—≤X≤—+k—,k∈Z.2 32 12 12——八 —7 5— 777一,一,B=<X-——+k—≤X≤——+k—,k∈Z'

44 12 121212易知ArlB——12所以，4時(shí),f(X)在區(qū)間-:—上單調(diào)遞增,在區(qū)間--12上單調(diào)遞減*設(shè)A=-—4*兀5兀、,當(dāng)X∈-4兀4— ——,4(2015北京)已知函數(shù)f(X)=/2SinxCoSx-?、,2sin2x2 2 2(口)求f(x)的最小正周期；(口)求f(x)在區(qū)間［-∏,0］上的最小值.【解析】(I)因?yàn)閒(X)=2y-sinX- (1-CoSX)=sin(X+—)--2 4 2所以f(X)的最小正周期為2兀— ——(II)因?yàn)橐弧躕≤0，所以-——≤X+-≤-4 44—當(dāng)X+—=4—3萬(wàn)，即X=-4兀時(shí),f(X)取得最小值.所以f(X)在區(qū)間L兀,。］上的最小值為f(-3—)=-1-2ytι 乙(2015湖北)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(X)=Asin(ωX+φ)(3>0,lφk2)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：ωX+φ0Uπ3∏2∏Xπ5∏Asin(ωX+φ)05-50(I)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(X)的解，析式；(□)將y=f(X)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g(X)的圖象.若y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(52-,0)，求θ的最小值.【解析】(□)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=5,ω=2,φ=--.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:6ωX+φ0ππ3∏2∏X∏四12見(jiàn)12Asin(ωX+φ)050-50且函數(shù)表達(dá)式為f(x)=5sin(2x-6)(口)由(□)知f(x)=5sin(2x-\)，得g(X)=5sin(2X+2θ-?)因?yàn)閥=sin%的對(duì)稱(chēng)中心為(k,0),kGZ一 k 一令2%+2θ=k,解得％= 1 θ,kGZ6 212由于函數(shù)y=g(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(―,0)成中心對(duì)稱(chēng)，令—+—-θ=—12 212 12解得θ=k——，kGZ.由θ>0可知，當(dāng)k=1時(shí)，θ取得最小值一.23 6(2014福建)已知函數(shù)f(%)=2cos%(sin%+cos%).~5兀、，(I)求f(彳)的值；(II)求函數(shù)f(%)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.“5兀、C5兀/.5兀 5兀、【解析】解法一一：(I)f(——)=2cosf-(SinF-+cos——)4 4 4。兀 兀 兀、。=-2cos—(-Sin--cos—)=24 4 4兀(II)因?yàn)閒(%)=2sin%cos%+2cos2%=Sin2%+cos2%+1=√2sin(2%+—)+14E2兀所以T=——=兀兀 兀 兀由2k兀-≤2%+—≤2k兀+—,kGZ2 4 2,一3兀,一兀，得k兀一——≤%≤k兀+—,kGZ8 83兀 兀所以f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k兀-,k兀+-],kGZ8 8解法二：因?yàn)閒(%)=2sin%cos%+2cos2%=sin2%+cos2%+1=√2sin(2%+：)+15兀 11兀 兀f(——)=%2sin+1=√2sm—+1=24 4 4T=—=兀2兀 兀 兀由2k兀--≤2%+—≤2k兀+—,kGZ24 2,一3兀,一兀，得k兀一——≤%≤k兀+—,kGZ8 83兀 兀所以f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k兀-,k兀+-],k∈Z8 823.(2014福建)已知函數(shù)f(x)=cosX(sinX+cosX)--.2,兀?~J2 .,(I)若0<α< 且sina=2_，求f(α)的值;(II)求函數(shù)f(%)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】解法一一：(I)因?yàn)椤?lt;α<—,sinα=-?-,所以cosα=-?-.所以f(α)=E(S+遮)-12 2 2 2“、? II?C(II)因?yàn)閒(X)=SmXcosX+cos2X--=—sin2X+1+cos2X111=—sin2X+—cos2X=SSin(2X4所以T=生=兀.由2k兀一23兀 兀,k∈Z,得k兀一——≤X≤k兀+—,k∈Z8 83兀 兀所以f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k兀-,k兀+-],k∈Z88“、. 11?C解法二：f(X)=SmXcosX+cos2X--=-Sm2X+1+cos2X11?C1C=—sin2%+—cos2X=sin(2X+三)2 4八兀. √2 兀(I)因?yàn)?<a<一,sina=—,所以a二一22 4E2兀(II)T=—=兀2sιn(2α+一)=「從而f(a)=22兀12兀?！?%+—≤2k兀+一242222222由2k兀-兀兀?！?%+—≤2k兀+一兀,k∈Z,得k兀一—≤X≤k兀+二，k∈Z

8 83兀 兀所以f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k兀-,k兀+-],k∈Z8824.(2014北京)函數(shù)f(X)=3sinf2X+。6的部分圖象如圖所示.242?(1)寫(xiě)出f(χ)的最小正周期及圖中χ0、y0的值;(II)求fG)在區(qū)間2'12上的最大值和最小值.X0X【解析工⑴fG)的最小正周期為兀,『一，y0二3(II)因?yàn)閄∈[-—,一],所以2X+ ∈[2 12 6當(dāng)2X+--0，即X=一 時(shí)6 12,f(X)取得最大值0；C兀 兀 兀當(dāng)2X+-=--，即X=F時(shí)，f(X)取得最小值一36 2 325*(2014天津)已知函數(shù)f(X).(兀)二cosX?SmX+—√3cos2X+(□)求f(X)的最小正周期;(口)求f(X)在閉區(qū)間-1,?上的最大值和最小值.44…1.【解析】(口)由已知，f(X)=-SmXcosX-ECOS2X+企=1sin2X-且cos2X兀兀兀兀兀兀5^,0］，于是6兀k2—3J44'Q,X∈R4*4所以f(X)的最小正周期T=--=π(□)?！躕≤一4 4兀6兀?！躷=2X--≤-36=b隼高考十大皴據(jù)頻測(cè)π、1由y=Sint的圖像知，-1≤sin(2X-—)≤-一2≤f(X”4兀兀11???函數(shù)f(X)在閉區(qū)間--,-上的最大值為：，最小值為一大.44 4 24226.(2014重慶)已知函數(shù)fQ)=√3sin(3X+φ)CπJπ3>0,-一≤φ<一2 2π的圖像關(guān)于直線(xiàn)X=W對(duì)稱(chēng)，且J圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為兀.(I)求3和φ的值;π(cλ?(II)若f-=I2J2π?3π?—<α<—，求cosa+-的值.6 3JT2J【解析】：(I)因f(%)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π,所以f(x)的最小正周期T二π,從而3=~t~=2.又因f(χ)的圖象關(guān)于直線(xiàn)χ=—對(duì)稱(chēng)，一π一π一 一ππ所以2?-+φ=kπ+k=0,±1,±2,…，因一≤φ<得k=0所以φ=--乙π 2π π-?(II)由(I)得f—=V3乙sin(2?-2-?J=昱

一彳~.?( π，所以Sin---I 63 6JJ14π 2π π π由一<α<—得0<α——< ,6 3 6 2一(π?所以cos^——I6J一(π\(zhòng)in2α--I6J、√15

~T~142二J(3π

因此cosα+--I2.(π)=Sin〔"不Jπ)π+—6=sinα=sin「彳JJπ(π、cos—+cosα一—πSin—66I6J1=—×4√3√151 √3+115—+ ×—= ■2 4 2827.(2013山東)設(shè)函數(shù)f(X)=E-√3sin23X-sin3Xcos3X(3>0)，且y=f(X)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)兀中心到最近的對(duì)稱(chēng)軸的距離為-.(I)求3的值;(II)求f(X)在區(qū)間［兀,—］上的最大值和最小值.33 √3【解析】(1)f(X)= -?3sin2ωx—sinωxcosωx21;-石?1-cos23X1.C 一一Sm23X2 2=-??cos2ωx—?sin2ωx=2 2.(一 π?-SIn123X-3Jπ因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到最近的對(duì)稱(chēng)軸的距離為-2π π又ω>0,所以--=4×—.因此ω=1.23 4(2)由(1)知f(X)=(一 π\(zhòng)一sin2X--?V 3J當(dāng)π≤X≤3π時(shí)，5π≤2X-π≤8π.所以一乎≤Sin[2X-πJ≤1,2 3 3 3 2V 3J因此一1≤f(X)≤故f(X)在區(qū)間π,3π上的最大值和最小值分別為B,—1.28.(2013天津)已知函數(shù)f(X)=一、2兀sin2X+—+6sinXcosX-2cos2X+1,X∈R.V4J(I)求fx)的最小正周期;(II)求fx)在區(qū)間0,?上的最大值和最小值.乙- = π?=一一π【解析】(1)f(X)=-\?2sin2X?cos -%,2cos2X?Sm +3sin2X—cos2X4 4亙2=2sin2x—2cos2x=L" π)2√2sin2X--.V 4J2π所以，f(X)的最小正周期T=--=π.- 3π(2)因?yàn)閒(X)在區(qū)間0,--8上是增函數(shù)，在區(qū)間3π,π上是減函數(shù).82D /3又<0)=—2,f—\8L(-

=2√2,f-\2=2))故函數(shù)f(X)在區(qū)間0,-上的最大值為2√2，最小值為一2.(2013湖南)已知函數(shù)f(X)(—?=cosXcos卜-3J21/2兀、一(1)求f(—)的值;…1(2)求使f(X)<4成立的X的取值集合.【解析】(1)f(X)=cosX?(cosX?cos—+sinX?sin工)=?(sin2X-??+cos2X??)+—3 3 2, 2, 2, ^41 兀、1 ,f兀、1.3兀 1 1 2兀、=—sin(2X+一)+—nf(——)=sin—+—=--.所以f(——)2 6 4 3 2 2 4 4 31.4==(2)由(1)知，八，、 1 .一兀、1 1 .S兀、CS兀、f(X)=sιn(2X+一)+<—=sιn(2X+一)<0n(2X+一)∈(2k兀一兀,2k兀)2 6 44 6 6\o"CurrentDocument"7— — 7— —nX∈(k—-——,k—-),k∈Z.所以不等式的解集是：(k—-——,k—- ),k∈Z.12 12 12 12(2012安徽)設(shè)函數(shù)f(X)=-^y-cos(2X+―)+sin2X乙 tι(I)求函數(shù)f(X)的最小正周期;— —(II)設(shè)函數(shù)g(X)對(duì)任意X∈R，有g(shù)(X+—)=g(X),且當(dāng)X∈[0,—]時(shí)，，、1g(X)=--f(X);求g(X)在［—兀,0］上的解析式.?L ? ? ?【解析】f(X)=Jcos(2X+?)+sin2X=cos2X-sin2X+(1-cos2X)2 4 2 2 211=———sin2X22(I)函數(shù)f(X)的最小正周期T=U=兀.”兀r /、 1 、 1.-(II)當(dāng)X∈[0,—]時(shí)，g(X)=--f(X)=-sin2X—c, —、C— ,、 , —、 1.~ —、 1.?當(dāng)x∈[-—,0]時(shí)，(X+―)∈[0,—],g(x)=g(x+萬(wàn))=—sin2(x+5)=—-sin2x當(dāng)X∈[—兀,-—)時(shí)，(X+π)∈[0,—),g(X)=g(X+π)=?sin2(X+—)=Lsin2X2< 2< 2< 2<得：函數(shù)g(X)在［-—,0］上的解析式為g(X)=<1.-,兀一一?--sin2X(—一≤X≤0)2 2?sin2X(一兀≤X<—)[2 2.(2012陜西)函數(shù)f(X)=Asin(ωX-—)+1(A>0,3>0)的最大值為3,其圖像相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸6—之間的距離為-.(1)求函數(shù)f(X)的解析式；(2)設(shè)α∈(0,—■)，則f(T)=2，求α的值.【解析】(I)：函數(shù)f(X)的最大值是3,.??A+1=3，即A=2—???函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為-,???最小正周期T=—,???ω=2故函數(shù)f(X)的解析式為f(X)=2sin(2X-—)+16(II)：f(：)=2sin(a-—)+1=2,即sin(α-―)=12 6 6 2八 —:0<α<一2— — —.?.———<α———<一6 6 3——?α--=一一6 6—故α=—(2015山東)設(shè)f(X)=sinXcosX-cos2(x+—)4.(I)求f(X)的單調(diào)區(qū)間;A(II)在銳角△ABC中，角A,B,C，的對(duì)邊分別為a,b,c，若f(-)=0,a=1，求△ABC面積的最大值.r C—] 1+cos(2x+一) 1 1 1【解析】(□)由題意f(x)=sin2X -=-sin2X-+-sin2X2 2 2 22=sin2X-12— ——+2k—≤2X≤—+由-22— —2k—(k∈Z),可得一—+k—≤X≤—+k—(k∈Z)；兀 3兀 兀 3兀由一+2k?！?X≤一+2k兀(k∈Z),得+k?！躕≤一+k兀(k∈Z)；2 2 44\o"CurrentDocument"兀 兀所以fx)的單調(diào)遞增區(qū)間是［-1+k兀,4+k兀］(k∈Z)；\o"CurrentDocument"兀 3兀單調(diào)遞減區(qū)間是［7+k兀,—+k兀］(k∈Z).44A 1 1(II)?.?f(_)=SinA——=0,.?.SinA=—21 ^2 ^2由題意A是銳角，所以cosA二13．由余弦定理：a2=b2+C2—2bccosA可得1+3bCc=b2+c2≥2bc, 1一二，.?.bc≤ ==2+-%：3,且當(dāng)C=c時(shí)成立.2—v3.?.CcSinA≤2十%^3..?.ΔABC面積最大值為2+"344, 兀33.(2013福建)已知函數(shù)f(X)=sm(3x+φ)(3>0,0<φ<π)的周期為兀，圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(-,0),兀將函數(shù)f(X)圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，在將所得圖像向右平移了個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(X)的圖像.(1)求函數(shù)f(X)與g(X)的解析式；(2)是否存在X∈(π,π)，使得f(X),g(X),f(X)g(X)按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定0 64 0 0 0 0X的個(gè)數(shù)；若不存在,說(shuō)明理由.0(3)求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n，使得F(X)=f(X)+ag(X)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn).【解析】(I)由函數(shù)f(X)=sin(3X+φ)的周期為π,3>0，得3=2π又曲線(xiàn)y=f(X)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(-,0),φ∈(0,π)ππ π故f()=Sin(2×-+φ)=0，得φ=-，所以f(X)=cos2XI I 乙將函數(shù)f(X)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得y=cosX的圖象，再將πy=COSX的圖象向右平移-個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(X)=SinX(II)當(dāng)X∈(—6,：)時(shí)，2<sinX<W,0<cos2X<2所以SinX>cos2X>SinXcos2XCC ? .? C /兀兀、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2X=SinX+SinXcos2X在一(,)勺是否有解64設(shè)G(X)=SinX+Sinχcos2χ-2cos2χ χ∈(—,—)64貝UG'(X)=cosX+cosxcos2X+2sin2X(2-sinX)—— ——因?yàn)閄∈(-,-)，所以G(X)>0，G(χ)在(6,7)內(nèi)單調(diào)遞增兀1又G(X)=-4<0G(Z)=當(dāng)>0，兀兀且函數(shù)G(χ)的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù)G(X)在(6，W)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0，/兀兀、即存在唯一的X0∈(歲了)滿(mǎn)足題意.(III)依題意，F(xiàn)(X)=asinX+cos2X，令F(X)=asinX+cos2X=0當(dāng)sinX=0,即X=k兀(k∈Z)時(shí)，cos2X=1,從而X=k兀(k∈Z)不是方程F(x)=0的解，所以方程cos2XF(X)=0等價(jià)于關(guān)于X的方程a=——,XWk—(k∈Z)sinX現(xiàn)研究X∈(0,兀)U(兀,2兀)時(shí)方程解的情況cos2χ令h(x)=-———,x∈(0,—)∪(π,2—)sinx則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)y=h(X)在X∈(0，兀)U(兀,2兀)白^交點(diǎn)情況h'(x)=cosX(2sin2X+1)sin2X— 3—，令h(X)=0，得X=—或X=-2-當(dāng)X變化時(shí)，h(X)和h'(x)變化情況如下表XQ—π(ππ)(-,3—)3π(3t,2π)h'(χ)^0-^0""+h(X)-71"\^?~-L--7當(dāng)X>0且X趨近于0時(shí)，h(X)趨向于一∞當(dāng)X<兀且X趨近于兀時(shí)，h(X)趨向于一∞當(dāng)X>π且光趨近于兀時(shí)，h(X)趨向于+∞當(dāng)X<2π且X趨近于2π時(shí)，h(X)趨向于+∞故當(dāng)a>1時(shí)，直線(xiàn)y二a與曲線(xiàn)y=h(X)在(0,π)內(nèi)有無(wú)交點(diǎn)，在(π,2π)內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a<-1時(shí)，直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)y=h(X)在(0,π)內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在(π,2π)內(nèi)無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)-1<a<1時(shí)，直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)y=h(X)在(0,π)內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，在(π,2π)內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)由函數(shù)h(X)的周期性，可知當(dāng)a≠±1時(shí)，直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn))=h(X)在(0,nπ)內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)n，使得直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)y=h(X)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a=±1時(shí)，直線(xiàn)y=a與曲線(xiàn)y=h(X)在(0,π)U(π,2兀)內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)，由周期性，2013=3X671，所以n=671X2=1342綜上，當(dāng)a=±1，n=1342時(shí)，函數(shù)F(X)=f(X)+ag(X)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)考點(diǎn)44三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.(2014新課標(biāo)I,理6)如圖，圓O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角X的始邊為射線(xiàn)OA，終邊為射線(xiàn)OP，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)OA的垂線(xiàn)，垂足為M，將點(diǎn)M到直線(xiàn)OP的距離表示為X的函數(shù)f(X)，則y=f(X)在［0,π］上的圖像大致為()【答案】B【解析】如圖：過(guò)M作MD⊥OP于D,則PM=SinX,OM=CosX，在RtAOMP中，MD=OM?PM ∣cοsx∣?∣sinXOP=IcosXsinX=一sin2x∣,.?.f(X)=2sin2x∣(0≤x≤π),選B.1122.(2015陜西)如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)πy=3sin(-χ+φ)+k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為6【答案】C【解析】由圖象知：y=2min因?yàn)閥min所以-3+k=2，解得：k=5所以這段時(shí)間水深的最大值是y=3+k=3+5=8，故選C.max3.（2014新課標(biāo)11,理⑹設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓。：X2+丁2=1上存在點(diǎn)N使得∠OMN=45°,則X的取值范圍是0【答案】—1≤X≤10【解析】由圖可知點(diǎn)M所在直線(xiàn)y=1與圓O相切，又ON=1由正弦定理得：ONOMOMSin/OMN Sin/ONM√2sin/ONM?，即：OM=√'2sin/ONM，又;0≤∕ONM≤π，=-3+k，，，．1，???OM≤√2，即、,：x2+1≤√2，解之：—1≤X≤1`0 0（2014湖北）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：℃）隨時(shí)間t（單位：h）的變化近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系:f(t)=10—J3cos?t—Sin?t,tG[0,24).

12 12（口）求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度;（口）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差.【解析】(□)f(8)=10-√3cos(?X8)—Sin(?X8)=10—v3cos——sin—121233=10—33x()—^-=102 2故實(shí)驗(yàn)室上午8時(shí)的溫度為10℃．(□)因?yàn)閒(t)=10—2(^?cos?t+?sin?t)=10—2sin(?t+?)2 12 2 12 12 3π π π 7π π π又0≤t<24，所以一≤—t+—< — ,—1 ≤sin(—t +一) ≤13 12 3 3 12 3當(dāng)t=2時(shí)，sin(—t+—)=1；當(dāng)t=14時(shí)，sin(—t+—)=—112 3 12 3于是f(t)在［0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃．(2018江蘇)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線(xiàn)段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚∏內(nèi)的地塊形狀為^CDP，要求A,B均在線(xiàn)段MN上，C,D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和^CDP的面積，并確定Sinθ的取值范圍；(2)若大棚I內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚∏內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4：3.求當(dāng)θ為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.【解析】(1)連結(jié)PO并延長(zhǎng)交MN于H,則PH⊥MN，所以O(shè)H=10.PGBNMA過(guò)O作OE⊥BC于E,則OE〃MN，所以ZCOE=θ故OE=40cosθ,EC=40sinθ貝汁矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθCoSθ+CoSθ)1ACDP的面積為一×2×40cosθ(40一40sinθ)=1600(cosθ—sinθcosθ)2過(guò)N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G和K,則GK=KN=101C 兀令ZGOK=θ,貝”inθ=,θ∈(0,—)0 04 0 6兀當(dāng)θ∈［%』時(shí),才能作出滿(mǎn)足條件的矩形abcd1所以Sinθ的取值范圍是［4,D答:矩形ABCD的面積為800(4sinθCoSθ+CoSθ)平方米，ACDP的面積為11600(cosθ-smθcosθ),Slnθ的取值范圍是[,1)4(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4：3,設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4人，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0)則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcosθ