浙教版二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

第頁碼頁/第頁碼頁/總頁數(shù)二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中占有重要位置，特別是在中考的最終一道大題，算是數(shù)學(xué)大題中的壓軸題，接下來我為你整理了，一起來看看吧。I.定義與定義表達(dá)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a0，且a打算函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,IaI還可以打算開口大小,IaI越大開口就越小,IaIyx二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a0)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]交點(diǎn)式：y=a(x-x)(x-x)[僅限于與xA(x，0)和B(x，0)的拋物線]注：在3種形式的相互轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。拋物線的性質(zhì)拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋yx=0)P，坐標(biāo)為：P-b/2a，(4ac-b^2)/4a-b/2a=0時(shí)，Pyb^2-4ac=0Px二次項(xiàng)系數(shù)a打算拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同打算對(duì)稱軸的位置。ab同號(hào)時(shí)(即ab>0yab異號(hào)時(shí)(即ab<0y5cy拋物線與y(0，c)6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)=b^2-4ac>0x2=b^2-4ac=0x1b^2-4ac<0xX(x=-bb^2-4aci，2a)二次函數(shù)與一元二次方程特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的圖象外形一樣，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：h>0，y=a(x-h)^2y=ax^2h位得到，h<0|h|個(gè)單位得到.h>0,k>0y=ax^2hky=a(x-h)^2+kh>0,k<0y=ax^2h|k|y=a(x-h)^2+k當(dāng)h0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單y=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c(a0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象供給了便利.拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，當(dāng)a<0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).y=ax^2+bx+c(a0a>0x-b/2ayxx-b/2ayxa<0，當(dāng)x-b/2ayxx-b/2a，yx拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：(1y(0，c);(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2ax^2+bx+c=0(a0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x-x|當(dāng)△=0.x當(dāng)△0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0;當(dāng)a<0時(shí)，xxy<0.y=ax^2+bx+ca>0(a<0x=-b/2ay最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式當(dāng)題給條件為圖象經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)或xy的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：y=ax^2+bx+c(a0).當(dāng)題給條件為圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k(a0).當(dāng)題給條件為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩求證“兩線段相等“的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來;然后看兩線段的長(zhǎng)度是什么距離(即是“點(diǎn)點(diǎn)“距離，還是“點(diǎn)軸距離“，還是“點(diǎn)線距離“，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式或點(diǎn)到x軸(y軸)的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式，分別把兩條線段的長(zhǎng)度表示出來，把它們進(jìn)展化簡(jiǎn)，即可證得兩線段相等。y由于平行于y軸的線段上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等(常設(shè)為t)，借助于兩個(gè)端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個(gè)端點(diǎn)的凹凸?fàn)顩r，運(yùn)用平行于y軸的線段長(zhǎng)度計(jì)算公式y(tǒng)上-y下，把動(dòng)線段的長(zhǎng)度就表示成為一個(gè)自變量為t，且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動(dòng)線段長(zhǎng)度的最大值及端點(diǎn)坐標(biāo)。“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大“的問題：(方法1)先求出定直線的斜率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式(留意該直線與定直線的斜率相等，由于平行直線斜率(k)相等)，再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個(gè)關(guān)于x的的一元二次方程，由題有△=0(由于該直線與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，所以△=0)從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算該切點(diǎn)到定直線的距離，即為最大距離。(方法2)該問題等價(jià)于相應(yīng)動(dòng)三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求出其最大距離。常數(shù)問題：點(diǎn)到直線的距離中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離等于一個(gè)固定常數(shù)“的問題：先借助于拋物線的解析式，把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立一個(gè)方程，解此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線解析式，求出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。三角形面積中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之與定線段構(gòu)成的動(dòng)三角形的面積等于一個(gè)定常數(shù)“的問題：先求出定線段的長(zhǎng)度，再表示出動(dòng)點(diǎn)(其坐標(biāo)需用一個(gè)字母表示)到定直線的距離，再運(yùn)用三角形的面積公式建立方程，解此方從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。幾條線段的齊次冪的商為常數(shù)的問題：用K點(diǎn)法設(shè)出直線方程，求出與拋物線(或其它直線)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系，把問題中的全部線段表示出來，并化解即可?！霸诙ㄖ本€(常為拋物線的對(duì)稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線)上是