拉格朗日中值定理-資料大全

羅爾定理柯西中值定理

微分中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理

泰勒中值定理羅爾（Rolle）定理

實(shí)際上,C點(diǎn)處的切線與弦AB平行.幾何解釋:把上圖做一旋轉(zhuǎn)，得到下圖：C

C點(diǎn)處的切線與弦線AB平行.C拉格朗日（Lagrange）中值定理

弦AB斜率切線斜率此條件太苛刻有限增量公式推論1證推論2(C為常數(shù))證拉格朗日中值定理函數(shù)單調(diào)性的判定法拉格朗日中值定理函數(shù)單調(diào)性的判定法引入新課新課講授小結(jié)與作業(yè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：y=f(x)0xy引入新課例題α引例.解：ABP0xy注：這個例題反映了一個一般事實(shí)，可以寫成下面的定理。返回(A)一.拉格朗日中值定理推論：如果y=(x)在區(qū)間（a、b)內(nèi)有f'(x)≡0則在此區(qū)間內(nèi)f(x)≡c(常數(shù)）。定理：如果函數(shù)y=(x)滿足，10.在（a、b)上連續(xù)

20.在（a、b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)成立。注：這個推論是常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零的逆定理。例題與練習(xí)新課講授(B)練習(xí)1：下列函數(shù)中在區(qū)間[-1、1]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的是______

(A)例1.求函數(shù)f(x)=x2+2x在區(qū)間[0、1]內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的ξ值。解：f(1)-f(0)=3∴2ξ+2=3∴ξ1)f(x)=ln(1+x)2)f(x)=|x|4)f(x)=arctanx下一頁二.函數(shù)單調(diào)性的判定法0xy0xyabABabAB幾何特征：定理：設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a、b]上連續(xù),在（a、b)內(nèi)可導(dǎo).1）若在(a、b)內(nèi)f’(x)>0，則y=f(x)在[a、b]上單調(diào)增加。2）若在(a、b)內(nèi)f’(x)<0，則y=f(x)在[a、b]上單調(diào)減少。y=f(x)y=f(x)證明f'(x)>0f'(x)<0證明在(a、b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1,x2且x1<x2.則在[x1、x2]上函數(shù)y=f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件?！鄁(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)ξ∈(x1、x2)若f’(x)>0,則f’(ξ)>0又x2-x1>0∴f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在[a、b]上單調(diào)增加同理可證：若f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在[a、b]上單調(diào)減少注：1）上述定理中間區(qū)間[a、b]若改為(a、b)或無限區(qū)間結(jié)論同樣成立。2）若f(x)在(a、b)內(nèi)的個別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零，其余的點(diǎn)都有f'(x)>0(或f'(x)<0)，則f(x)在(a、b)內(nèi)滿足單調(diào)增加(單調(diào)減少).例題(A)例1.判定y=x3的單調(diào)性y'=3x2當(dāng)x=0時y'=0當(dāng)x≠0時y'>0∴x∈(-∞,+∞)y單調(diào)增加0xy(A)例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性下一頁解：解：1）定義域?yàn)?-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞、1]∪[2、+∞）單調(diào)減區(qū)間為（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20(B)練習(xí)2：確定函數(shù)y=2x3+3x2-12x+1的單調(diào)區(qū)間。下一頁(C)例4：解：1）定義域?yàn)?-∞、-1)∪（-1、+∞).3)列表:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞、-2)∪(0、+∞)單調(diào)減區(qū)間為（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-返回三.小結(jié)與作業(yè)1.拉格朗日中值定理及推論。2.函數(shù)單調(diào)性的判定方法與步驟。3.作業(yè)：<教與學(xué)>P40:

(A)1.(1)

(B)3.(3)(4)(C)3.(6)小結(jié)與作業(yè)返回拉格朗日中值定理函數(shù)單調(diào)性的判定法引入新課新課講授小結(jié)與作業(yè)拉格朗日中值定理函數(shù)單調(diào)性的判定法拉格朗日中值定理幾何直觀教材分析教法分析教學(xué)目標(biāo)教學(xué)過程評價反思一.教材分析

（1）教材的地位和作用

（2）重點(diǎn)難點(diǎn)

（3）課時安排

一.教材分析微積分學(xué)是人類思維的偉大成果之一，是人類經(jīng)歷了2500多年震撼人心的智力奮斗的結(jié)果，它開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法。微分中值定理是微分學(xué)理論的重要組成部分，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁作用，也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶，在微分學(xué)中占有很重要的地位.拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)，如單調(diào)性、變化快慢和極值等性態(tài)，這是本章的關(guān)鍵內(nèi)容。（一）教材的地位和作用一.教材分析（二）重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：探求和理解拉格朗日中值定理。教學(xué)難點(diǎn)：探求拉格朗日中值定理的條件；運(yùn)用定理研究函數(shù)單調(diào)性。

一.教材分析拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性可安排兩課時。本節(jié)作為第一課時，重在探求拉格朗日中值定理，理解拉格朗日中值定理的幾何意義和定理的條件，體會該定理在研究函數(shù)性態(tài)應(yīng)用中的作用。（三）課時安排二.教法分析（一）學(xué)情分析

（二）教學(xué)方法

（三）學(xué)法分析

（四）具體措施

二.教法分析（一）學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，對微分的定義及運(yùn)算有了直觀的認(rèn)識和理解。通過體會導(dǎo)數(shù)的思想和實(shí)際背景，已經(jīng)具備一定的微分思想，但是發(fā)現(xiàn)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的概念；而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征；而函數(shù)反映在其定義域上的整體性態(tài)，如何建立兩者之間的聯(lián)系呢？多數(shù)同學(xué)對此有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。學(xué)生在學(xué)習(xí)時可能會遇到以下困難，發(fā)現(xiàn)連接曲線兩端點(diǎn)的直線段有時與曲線上某點(diǎn)的切線是平行的，但是又不知是否對所有曲線都滿足?

二.教法分析（二）教學(xué)方法

1、多媒體輔助教學(xué)

借助多媒體教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)存在某點(diǎn)的切線與連接兩端點(diǎn)的線段是平行的，使問題變得直觀，易于突破難點(diǎn)；利用多媒體向?qū)W生展示這一過程，體會逼近的思想方法。2、探究發(fā)現(xiàn)法教學(xué)讓學(xué)生通過動手操作課件，經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)、探索、論證、應(yīng)用”的過程，體驗(yàn)從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，通過學(xué)生“動手、動腦、討論、演練”增加學(xué)生的參與機(jī)會，增強(qiáng)參與意識，教給學(xué)生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學(xué)生真正成為教學(xué)主體。二.教法分析（三）學(xué)法分析自主、合作、探究借助多媒體技術(shù)創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，倡導(dǎo)學(xué)生采用自主、合作、探究的方式學(xué)習(xí)。引導(dǎo)學(xué)生動手操作課件，指導(dǎo)學(xué)生討論交流從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的習(xí)慣和意識以及勇于探索、勤于思考的精神，提高學(xué)生合作學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)交流的能力。

二.教法分析（四）具體措施

根據(jù)以上的分析，本節(jié)課采用教師引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合，交流與練習(xí)相穿插的活動課形式，以學(xué)生為主體，教師創(chuàng)設(shè)和諧、愉快的環(huán)境及輔以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。同時，利用多媒體形象動態(tài)的演示功能提高教學(xué)的直觀性和趣味性，以提高課堂效率。教學(xué)中注重?cái)?shù)形結(jié)合，從形的角度對概念理解和運(yùn)用。在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生討論交流的合作意識。

三.教學(xué)目標(biāo)通過實(shí)驗(yàn)探求拉格朗日中值定理?xiàng)l件，理解拉格朗日中值定理在研究函數(shù)性態(tài)中的作用，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等思維能力。掌握知識與技能三.教學(xué)目標(biāo)體會過程與方法

在尋找存在某直線與連接曲線兩端點(diǎn)的線段平行的過程中，使學(xué)生通過認(rèn)識用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)形態(tài)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，數(shù)學(xué)知識的融會貫通；通過數(shù)形結(jié)合的思想的具體運(yùn)用來探討定理的條件，使學(xué)生思維達(dá)到嚴(yán)謹(jǐn)，了解科學(xué)的思維方法。

三.教學(xué)目標(biāo)培養(yǎng)情感態(tài)度與價值觀在拉格朗日中值定理的探討過程中，滲透逼近和數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生了解近似與精確間的辨證關(guān)系，激發(fā)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神；通過討論、交流、合作、實(shí)驗(yàn)操作等活動激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)交流的能力。

四.教學(xué)過程

（一）教學(xué)流程圖

（二）教學(xué)過程與設(shè)計(jì)思路

（一）教學(xué)流程圖類似“卡通形象”的教學(xué)流程圖以“模塊”為基本單元，從新課引入到概念建構(gòu)，從技能演練到小結(jié)作業(yè)。層層展開，逐層突破。

情景引入復(fù)習(xí)引入幾何意義具體應(yīng)用小結(jié)概念建構(gòu)作業(yè)演練教學(xué)程序及設(shè)計(jì)意圖

（一）創(chuàng)設(shè)情景

引入新課提出問題：1、將連接曲線兩端點(diǎn)的線段平行的移動是否發(fā)現(xiàn)有某點(diǎn)處的切線與其平行？

提出問題，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，那么如何在兩者之間架起橋梁呢？讓學(xué)生感受到進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)的重要性。教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖2、可從特殊來引導(dǎo)一般，假如曲線兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等，將會有什么結(jié)果？設(shè)問引起學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的求知欲，教學(xué)中讓學(xué)生就此探究進(jìn)行思考展開討論。利用認(rèn)知遷移規(guī)律，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識嘗試解決問題，在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上進(jìn)行新概念的建構(gòu)。教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖（二）動手操作探索求知1、課件操作：學(xué)生動手拖動點(diǎn)，觀察過曲線端點(diǎn)的直線是否能成為某點(diǎn)處的切線，引導(dǎo)給出特殊情況下定理的內(nèi)容。2、學(xué)生自主合作學(xué)習(xí)：學(xué)生分組討論交流，計(jì)算過曲線兩端點(diǎn)的直線的斜率和函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，自主合作探求直線的斜率和某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，教師在自主合作之后看學(xué)生得出的結(jié)論。通過逼近方法，知道在曲線上存在某點(diǎn)處的切線平行與過曲線端點(diǎn)的直線適用于處處有不垂直于x軸的切線的曲線，這一定理將函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)建立起聯(lián)系。

借助多媒體教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的幾何意義，使問題變得直觀，易于突破難點(diǎn)；學(xué)生在過程中，可以體會逼近的思想方法。最后的證明環(huán)節(jié)，能夠同時從數(shù)與形兩個角度強(qiáng)化學(xué)生對拉格朗日中值定理的理解。教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖（三）靈活運(yùn)用透析內(nèi)涵求函數(shù)在[0,2]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的？解：，由拉格朗日中值定理得：這是學(xué)生思維上升的又一個層次，設(shè)計(jì)該題目的在于加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)單調(diào)性的理解，通過它及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，及時糾正，能對學(xué)生情況給予及時評價。教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖（四）鞏固知識，提升思維

已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則有：（1）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)減少；

設(shè)計(jì)這個問題的目的有三個：第一，讓學(xué)生描述在一點(diǎn)附近曲線的變化情況，體會以直代曲的思想方法；第二，讓學(xué)生深刻理解拉格朗日中值定理架起函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的橋梁；第三，讓學(xué)生觀察、探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系。教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖，

)(xf（五）自主小結(jié)整體把握（六）布置作業(yè)拓展提高(1)閱讀作業(yè)：收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料(2)書面作業(yè)：1．2.(3)拓展作業(yè)：3.

啟發(fā)學(xué)生自主小結(jié)，知識性內(nèi)容的小結(jié)，可把課堂所學(xué)知識盡快化為學(xué)生的素質(zhì)；數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)，可使學(xué)生更清晰地梳理數(shù)學(xué)思想方法，并且逐漸養(yǎng)成科學(xué)的思維習(xí)慣。針對學(xué)生素質(zhì)的差異進(jìn)行分層訓(xùn)練，既注重“雙基”，又兼顧提高，為學(xué)生指明課后繼續(xù)學(xué)習(xí)的方向，同時為以后的學(xué)習(xí)留下懸念，激發(fā)學(xué)生探索的興趣。教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖1、知識技能小結(jié)2、思想方法小結(jié)小結(jié)提高拉格朗日中值定理直觀理解內(nèi)涵理解知識運(yùn)用核心概念數(shù)學(xué)思想知識技能?思想方法五.評價與反思（一）設(shè)計(jì)說明

（二）過程反思

1、板書設(shè)計(jì)：

課題概念理解運(yùn)用例題小結(jié)……投影屏幕五.說明和反思2、時間安排：新課引入約10分鐘，探索求知約10分鐘，靈活運(yùn)用約20分鐘，小結(jié)提高約5分鐘。五.說明和反思情景引入復(fù)習(xí)引入幾何意義具體運(yùn)用小結(jié)概念建構(gòu)作業(yè)演練本節(jié)課設(shè)計(jì)為一節(jié)“科學(xué)探究—合作學(xué)習(xí)”的活動課，在整個教學(xué)過程中學(xué)生以探索者的身份學(xué)習(xí)，在問題解決過程中，通過自身的體驗(yàn)對知識的認(rèn)識從模糊到清晰，從直觀感悟到精確掌握。

力求使學(xué)生體會微積分的基本思想，感受近似與精確的統(tǒng)一，運(yùn)動和靜止的統(tǒng)一，感受量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。希望利用這節(jié)課滲透辨證法的思想精髓。教師在這個過程中始終扮演學(xué)生學(xué)習(xí)的協(xié)作者和指導(dǎo)者。學(xué)生通過自身的情感體驗(yàn)，能夠很快的形成知識結(jié)構(gòu)，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力。過程反思請各位老師提出寶貴意見謝謝一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一節(jié)微分中值定理四、泰勒(Taylor)中值定理1費(fèi)馬（Fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理幾何解釋:證明:幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理證由費(fèi)馬引理可知，注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.例如,XY-110例12）唯一性矛盾,由零點(diǎn)定理即為方程的正實(shí)根.證：1）存在性二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外的表達(dá)方式：例2證由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)例3證分析:結(jié)論可變形為1問題的提出四、泰勒(Taylor)中值定理不足問題1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì)。分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交3泰勒(Taylor)中值定理證明:定理1（帶lagrange余項(xiàng)的泰勒定理）如果f(x)在點(diǎn)鄰域內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，則拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)定理2（帶peano余項(xiàng)的泰勒定理）如果f(x)在點(diǎn)鄰域內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，則幾點(diǎn)說明：（3）（麥克勞林公式）4常用n階泰勒公式及其簡單應(yīng)用解解其它函數(shù)的麥克勞林公式誤差傳遞公式:微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:★★CA例8.設(shè)由方程確定函數(shù)求正確解法:2.

設(shè)其中在因故正確解法:時,下列做法是否正確?在求處連續(xù),例8.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t

求導(dǎo),得故0.1函數(shù)的極值0.2函數(shù)的最值0.3費(fèi)馬定理問題：是不是所有的極值點(diǎn)都是駐點(diǎn)？0.3費(fèi)馬定理例如,一、羅爾定理幾何解釋:如何從理論上證明？證注意:1、若羅爾定理的三個條件i、閉區(qū)間上連續(xù)；ii、開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；iii、兩端點(diǎn)函數(shù)值相等是定理成立充分條件；結(jié)論是存在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的存在的時候，可能這三個條件都不成立注意:2、若羅爾定理的三個條件缺一不可：

即：其中任何一個不成立，均有可能使結(jié)果不成立例1證由零點(diǎn)定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:分析:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.證畢注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.令則拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).例2證例3證由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:要證證:作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:柯西