江西省贛州市大余縣衡水實驗學校2023-2024學年九年級上學期9月初賽數(shù)學試卷（B卷）（含解析）

江西省贛州市大余縣衡水實驗學校2023-2024學年九年級上學期9月初賽數(shù)學試卷（B卷）一、單選題1．在277，355，544，633這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．277 B．355 C．544 D．6332．計算：的結果為（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．若關于x的方程的解為正數(shù)，且a使得關于y的不等式組恰有兩個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．34．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，把x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分．已知，a是t的小數(shù)部分，b是﹣t的小數(shù)部分，則＝（）A． B． C．1 D．5．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，，CD＝1，對角線的交點為M，則DM＝（）A． B． C． D．6．一個紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍紫的順序重復排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個數(shù)可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013二、填空題7．已知（x2﹣x﹣1）x+2＝1，則x＝．8．古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯把“數(shù)”當作“形”來研究，他稱下面一些數(shù)為“三角形數(shù)”（如圖），第1個“三角形數(shù)”是1，第2個是3，第3個是6，第4個是10，按照這個規(guī)律，第50個“三角形數(shù)”是．9．已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561…，請你推測320的個位數(shù)是．10．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，下列4個結論．①abc＜0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k（ka+b）（k為常數(shù)，且k≠1）．其中正確的結論有（填寫序號）．三、解答題11．化簡：（1）（2）．12．先化簡，再求值：÷，其中a＝﹣1．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數(shù)．14．如圖，已知直線l1：y＝2x+1、直線l2：y＝﹣x+7，直線l1、l2分別交x軸于B、C兩點，l1、l2相交于點A．（1）求A、B、C三點坐標；（2）求△ABC的面積．15．如果有理數(shù)a，b滿足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，試求的值．16．如圖，在△ABC外分別以AB，AC為邊作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，AM是△ABC中BC邊上的中線，延長MA交EG于點H，求證：（1）AM＝EG；（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．17．設不全相等的非零實數(shù)a，b，c滿足++＝1，求a+b+c的值．18．回答下列問題：（1）如圖1，AB＝BC，當∠ABC＝90°時，將△PAB繞B點順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形．（2）在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大?。?）如圖2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，則△APC面積是．（4）如圖3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，點P在△ABC內(nèi)，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面積．

參考答案一、單選題1．在277，355，544，633這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．277 B．355 C．544 D．633【分析】分別把277，355，544，633這四個數(shù)變?yōu)椋?7）11，（35）11，（54）11，（63）11，比較它們的底數(shù)的大小即可求解．解：∵277，355，544，633這四個數(shù)變?yōu)椋?7）11，（35）11，（54）11，（63）11，而27＝128，35＝243，54＝625，63＝216，∴最大的數(shù)是544．故選：C．【點評】此題主要考查了冪的乘方與積的乘方，解題的關鍵是會利用法則變形才能解決問題．2．計算：的結果為（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】先根據(jù)二次根式成立的條件得到＞0，則a﹣1＜0，所以原式變形為﹣，然后利用二次根式的性質(zhì)得到﹣×，再利用二次根式的乘法得到﹣，再約分即可．解：∵＞0，則a﹣1＜0，∴＝﹣＝﹣×＝﹣＝﹣，故選：A．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：＝|a|．也考查了二次根式的成立的條件以及二次根式的乘法．3．若關于x的方程的解為正數(shù)，且a使得關于y的不等式組恰有兩個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)方程的解為正數(shù)，且a使得關于y的不等式組恰有兩個整數(shù)解，可以求得a的取值范圍，然后即可寫出滿足條件的整數(shù)a的值，再將它們相加即可．解：由方程可得，x＝，∵方程的解為正數(shù)，∴＞0，∴a＜，由y+3＞1得y＞﹣2，由3y﹣a＜1得y＜，∵a使得關于y的不等式組恰有兩個整數(shù)解，∴這兩個整數(shù)解為﹣1，0，∴0＜≤1，解得﹣1＜a≤2，由上可得﹣1＜a＜，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為0，1，∵0+1＝1，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值和為1，故選：B．【點評】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解、解一元一次方程，解答本題的關鍵是求出a的取值范圍．4．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，把x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分．已知，a是t的小數(shù)部分，b是﹣t的小數(shù)部分，則＝（）A． B． C．1 D．【分析】結合定義求出[t]和[﹣t]，由a是t的小數(shù)部分，b是﹣t的小數(shù)部分，表示出a、b代入即可得出結論．解：∵t＝＝＝2+，∴[t]＝3，[﹣t]＝﹣4．∵a是t的小數(shù)部分，b是﹣t的小數(shù)部分，∴a＝2+﹣3＝﹣1，b＝﹣（2+）﹣（﹣4）＝2﹣．∴﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝．故選：A．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關鍵是求出a、b．本題屬于基礎題，難度不大，但在運算過程中用到了平方差公式將分母有理化，此處需要注意別出現(xiàn)差錯．5．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，，CD＝1，對角線的交點為M，則DM＝（）A． B． C． D．【分析】過點A作AH⊥BD于點H，利用有兩個角相等的三角形相似判定△AMH∽△CMD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得比例式，設AM＝x，用含x的式子分別表示出CM、AH、BM，再由面積法得出AH的第二種表示方法，從而得關于x的方程，解得x的值，則CM的值可得，然后用勾股定理求得DM即可．解：如圖，過點A作AH⊥BD于點H，∵∠AHM＝∠CDM＝90°，∠AMH＝∠CMD∴△AMH∽△CMD，∴，∵CD＝1，∴，設AM＝x，由于AC＝，故，∴在Rt△ABM中，AB＝由勾股定理得：，則∴，顯然x≠0，化簡整理得解得，（不符合題意，舍去），故，在Rt△CDM中，，故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理在計算中的應用、面積法及方程思想在幾何計算中的應用，本題具有一定的難度．6．一個紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍紫的順序重復排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個數(shù)可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】該紙鏈是5的倍數(shù)，剩下部分有12個，12＝5×2+2，所以中間截去的是3+5n，從選項中數(shù)減3為5的倍數(shù)即得到答案．解：由題意，可知中間截去的是5n+3（n為正整數(shù)），由5n+3＝2013，解得n＝402，其余選項求出的n不為正整數(shù)，則選項D正確．故選：D．【點評】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從整體是5個不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù)，截去部分去3后為5的倍數(shù)，從而得到答案．二、填空題7．已知（x2﹣x﹣1）x+2＝1，則x＝﹣2或﹣1或0或2．【分析】要使結果為1，可分為三種情況：①當指數(shù)是0時，②當?shù)讛?shù)為1時，③當?shù)讛?shù)為（﹣1）時，分別求出x即可得出答案．解：①當x+2＝0，即x＝﹣2時，x2﹣x﹣1≠0，∴x＝﹣2，成立；②當x2﹣x﹣1＝1時，解得：x＝2或﹣1，∴x＝2或﹣1，成立；③當x2﹣x﹣1＝﹣1時，解得：x＝0或1，當x＝0時，（﹣1）2＝1，成立，當x＝1時，（﹣1）3＝﹣1，不成立，故答案為：﹣2或﹣1或0或2．【點評】本題考查了零指數(shù)冪和有理數(shù)的乘方，掌握零指數(shù)冪的意義，有理數(shù)乘方的意義是解決問題的關鍵．8．古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯把“數(shù)”當作“形”來研究，他稱下面一些數(shù)為“三角形數(shù)”（如圖），第1個“三角形數(shù)”是1，第2個是3，第3個是6，第4個是10，按照這個規(guī)律，第50個“三角形數(shù)”是1275．【分析】研究圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律“第n個“三角形數(shù)”是1+2+…+n＝”，代入n＝50即可得出結論．解：觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第1個“三角形數(shù)”是1，第2個是1+2＝3，第3個是1+2+3＝6，第4個是1+2+3+4＝10，…由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個“三角形數(shù)”是1+2+…+n＝．第50個“三角形數(shù)”是1+2+…+49+50＝＝1275．故答案為：1275．【點評】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解題關鍵是找出“第n個“三角形數(shù)”是1+2+…+n＝”這一規(guī)律．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，分析圖形得出規(guī)律是關鍵．9．已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561…，請你推測320的個位數(shù)是1．【分析】根據(jù)所給的式子，觀察發(fā)現(xiàn)：3n的個位數(shù)字是3，9，7，1四個一循環(huán)，而20÷4＝5，則320的個位數(shù)字與34的個位數(shù)字相同，即是1．解：∵3n的個位數(shù)字是3，9，7，1四個一循環(huán)，∴20÷4＝5，∴320的個位數(shù)字與34的個位數(shù)字相同，即是1．故答案為1．【點評】此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，是一道尋找規(guī)律的題目，考查了學生分析數(shù)據(jù)、歸納及應用規(guī)律的能力．解題關鍵是知道個位數(shù)字為3，9，7，1順次循環(huán)．10．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，下列4個結論．①abc＜0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k（ka+b）（k為常數(shù)，且k≠1）．其中正確的結論有①③（填寫序號）．【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．解：①由圖象可知：a＜0，c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正確；②當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴b＞a+c故b＜a+c，故②錯誤；③當x＝3時函數(shù)值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得c＜b，∵b＞0，∴c＜4b，故③正確；④當x＝1時，y的值最大．此時，y＝a+b+c，而當x＝k時，y＝ak2+bk+c，所以a+b+c＞ak2+bk+c，故a+b＞ak2+bk，即a+b＞k（ak+b），故④錯誤．故①③正確．故答案為：①③．【點評】此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題11．化簡：（1）（2）．【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；（2）根據(jù)零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算．解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝2﹣+1+3﹣4＝2﹣．【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．12．先化簡，再求值：÷，其中a＝﹣1．【分析】將括號內(nèi)的部分通分后相減，再將除法轉化為乘法后代入求值．解：原式＝[﹣]?＝?＝?＝．當a＝﹣1時，原式＝＝1．【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟悉通分、約分及因式分解是解題的關鍵．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數(shù)．【分析】（1）求出EC＝DB，∠B＝∠C，根據(jù)SAS推出△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE＝EF即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B＝∠C＝70°，根據(jù)全等得出∠BDE＝∠FEC，求出∠DEB+∠FEC＝110°，即可得出答案；【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，∴BD＝EC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝＝70°，∴∠BDE+∠DEB＝110°，又∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠FEC，∴∠FEC+∠DEB＝110°，∴∠DEF＝70°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，能靈活運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．14．如圖，已知直線l1：y＝2x+1、直線l2：y＝﹣x+7，直線l1、l2分別交x軸于B、C兩點，l1、l2相交于點A．（1）求A、B、C三點坐標；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）聯(lián)立兩直線解析式，解方程即可得到點A的坐標，兩直線的解析式令y＝0，求出x的值，即可得到點A、B的坐標；（2）根據(jù)三點的坐標求出BC的長度以及點A到BC的距離，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可求解．解：（1）直線l1：y＝2x+1、直線l2：y＝﹣x+7聯(lián)立得，，解得，∴交點為A（2，5），令y＝0，則2x+1＝0，﹣x+7＝0，解得x＝﹣0.5，x＝7，∴點B、C的坐標分別是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；（2）BC＝7﹣（﹣0.5）＝7.5，∴S△ABC＝×7.5×5＝．【點評】本題考查了兩直線的相交問題，聯(lián)立兩直線的解析式，解方程即可得到交點的坐標，求直線與x軸的交點坐標，令y＝0即可，求直線與y軸的交點坐標，令x＝0求解．15．如果有理數(shù)a，b滿足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，試求的值．【分析】由絕對值和完全平方式的結果為非負數(shù)，且兩非負數(shù)之和為0可得絕對值和完全平方式同時為0，可得ab＝2且b＝1，把b＝1代入ab＝2可求出a的值為2，把求出的a與b代入所求的式子中，利用＝﹣把所求式子的各項拆項后，去括號合并即可求出值．解：∵|ab﹣2|≥0，（1﹣b）2≥0，且|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，∴ab﹣2＝0，且1﹣b＝0，解得ab＝2，且b＝1，把b＝1代入ab＝2中，解得a＝2，則＝+++…+＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，要求學生掌握兩非負數(shù)之和為0時，兩非負數(shù)必須同時為0，本題若直接按照運算順序解題，運算量非常大，需利用計算技巧簡化運算，根據(jù)所求式子各項的特點，利用拆項法進行化簡，使拆開的一部分分數(shù)互相抵消，達到簡化運算的目的．熟練運用＝﹣是解本題的關鍵．16．如圖，在△ABC外分別以AB，AC為邊作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，AM是△ABC中BC邊上的中線，延長MA交EG于點H，求證：（1）AM＝EG；（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．【分析】（1）延長AM到點N，使MN＝MA，連接BN，先證得△MBN≌△MCA，得到∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，從而得到BN∥AC，NB＝AG，進一步得到∠NBA＝∠GAE，根據(jù)SAS證得△NBA≌△GAE，即可證得結論；（2）由△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，進一步求得∠HAE+∠AEH＝90°，即可證得∠AHE＝90°，得到AH⊥EG；（3）連接CE、BG，易證△ACE≌△ABG，得出CE⊥BG，根據(jù)勾股定理得到EG2+BC2＝CG2+BE2，從而得到2（AB2+AC2）．【解答】（1）證明：延長AM到點N，使MN＝MA，連接BN，∵AM是△ABC中BC邊上的中線，∴CM＝BM，在△MBN和△MCA中∴△MBN≌△MCA（SAS），∴∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，∴BN∥AC，NB＝AG，∴∠NBA+∠BAC＝180°，∵∠GAE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠NBA＝∠GAE，在△NBA和△GAE中∴△NBA≌△GAE（SAS），∴AN＝EG，∴AM＝EG；（2）證明：由（1）△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，∵∠HAE+∠BAN＝180°﹣90°＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝90°，∴∠AHE＝90°，即AH⊥EG；（3）證明：連接CE、BG，易證△ACE≌△ABG∴CE⊥BG，∴EG2+BC2＝CG2+BE2，∴EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用等，作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．17．設不全相等的非零實數(shù)a，b，c滿足++＝1，求a+b+c的值．【分析】根據(jù)不全相等的非零實數(shù)a，b，c滿足++＝1，靈活變化，進行化簡，分解因式，即可求得問題的答案．解：∵++＝1，∴，，，c?（2a2+bc）（2b2+ac）＝（2c2+ab）（b3+abc+a3），化簡，得a3+b3+c3﹣3abc＝0，即（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）＝0，∵a，b，c是不全相等的非零實數(shù)，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc≠0，∴a+b+c＝0．即a+b+c的值是0．【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是化簡后再因式分解，然后根據(jù)題目中的信息進行討論．18．回答下列問題：（1）如圖1，AB＝BC，當∠ABC＝90°時，將△PAB繞B點順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形．（2）在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大?。?）如圖2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，則△APC面積是．（4）如圖3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，點P在△ABC內(nèi)，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面積．【分析】（1）由AB＝BC，∠ABC＝90°可知點A旋轉到點C，在BC的下方過點B作BP的垂線，并且在垂線上截取BP′＝BP，則P′為點P繞B點順時針旋轉90°以后的對應點，△P′CB即為所求；（2）連接PP′，求出△PBP′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PP′＝4，∠BP′P＝45°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P＝90°，然后計算即可得解；（3）將△PAB繞A點逆時針旋轉60°得到△P1AC，連接PP1，得出S△ABP+S△APC＝S四邊形APCP1＝+6；同理求出△ABP和△BPC的面積的和，△APC和△BPC的面積的和，從而求出△ABC的面積，然后根據(jù)△BPC的面積＝△ABC的面積﹣△APB與△APC的面積的和計算即可得解；（4）首先作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ與△ACP相似比為2，繼而可得△APQ與△BPQ是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求得△ABC的面積．解：（1）如圖1所示，△P′CB即為所求；（2）如圖2，連接PP′．∵將△PAB繞B點順時針旋轉90°，與△P′CB重合，∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，∴△PBP′是等腰直角三角形，∴PP′＝PB＝4，∠BP′P＝45°．在△CPP′中，∵PP′＝4，CP′＝2，PC＝6，∴PP′2+CP′2＝PC