2022年上海七寶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022年上海七寶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，公差，和是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A.－38 B.38 C.－17 D.17參考答案：A【分析】先用函數(shù)極值條件，來計(jì)算和，再根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)和求和公式算出.【詳解】由題，又因?yàn)楣?，所?,經(jīng)計(jì)算，,所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，還有等差數(shù)列求和公式，屬于綜合題，但難度不高,屬于中檔題.2.將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是()A．y＝sin(2x－)

B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin(x－)

D．y＝sin(x－)參考答案：C略3.若沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個(gè)三棱錐，則稱這樣的為“和諧三角形”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，則下列條件不能夠確定為“和諧三角形”的是A．；

B．

C.

D．參考答案：B4.已知是單位圓上三個(gè)互不相同的點(diǎn)，若，則的最小值是(

)A．0

B．

C．

D．參考答案：C5.已知函數(shù)是奇函數(shù)，那么a等于

（

）

A.1

B.2

C.

D.參考答案：A6.設(shè)x，y為正數(shù)，且則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知F為拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，＝2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)；基本不等式.H7E6【答案解析】B

解析：不妨設(shè)A，B，其中，由·＝2可得：，解得（舍去），故，由此可得△AFO與△BFO面積之和為,所以，故選B.【思路點(diǎn)撥】先利用已知條件得到，再結(jié)合基本不等式求出最小值即可.8.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則（

）A．2 B． C．1 D．參考答案：B因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，可得，,,故選B.

9.投擲兩枚骰子，則點(diǎn)數(shù)之和是6的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：利用乘法原理計(jì)算出所有情況數(shù)，列舉出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5種結(jié)果，再看點(diǎn)數(shù)之和為6的情況數(shù)，最后計(jì)算出所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的占所有情況數(shù)的多少即可．解答：解：由題意知，本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是同時(shí)擲兩枚骰子，共有6×6=36種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是6，列舉出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)古典概型及其概率計(jì)算公式，考查用列表法的方法解決概率問題；得到點(diǎn)數(shù)之和為6的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.已知集合，．則M∩N=（

）A.{0,1} B.{－1,0} C.{1,2} D.{－1,2}參考答案：C【分析】先解不等式求出，再求即可.【詳解】由，解得，則.又，所以.故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為____________.參考答案：1略12.已知點(diǎn)N在圓上，點(diǎn)M在直線上，則的最小值為______.參考答案：3【分析】根據(jù)直線和圓相離，即可得圓心到直線的距離減去半徑，即為所求.【詳解】因?yàn)閳A方程為，故圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離，則直線與圓相離.故的最小值為.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線上一點(diǎn)距離的最值問題，屬基礎(chǔ)題.15.造紙術(shù)是我國古代四大發(fā)明之一.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等標(biāo)記來表示紙張的幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張的幅寬（以x表示）和長度（以y表示）的比例關(guān)系為；②將A0紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為A1規(guī)格.A1紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為A2規(guī)格，…，如此對(duì)開至A8規(guī)格.現(xiàn)有A0、A1、A2、…、A8紙各一張.若A4紙的面積為，則這9張紙的面積之和等于______cm2.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求出紙張的長度和寬度，構(gòu)造紙張面積的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式，即可求得.【詳解】由題可設(shè)，紙的面積為，根據(jù)題意，紙張面積是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則容易知紙張的面積為，故可得，故紙張面積是一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故張紙的面積之和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際問題中等比數(shù)列的應(yīng)用，問題的關(guān)鍵是要構(gòu)造等比數(shù)列，屬中檔題.13.等差數(shù)列中前項(xiàng)和為，已知，，則

.參考答案：714.正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則等于______.參考答案：16在等比數(shù)列中，，所以由，得，即。15.一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)黑球和3個(gè)紅球，從中摸出兩個(gè)球，則恰有一個(gè)黑球的概率是

；若表示摸出黑球的個(gè)數(shù)，則

．參考答案：16.曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為

。參考答案：17.的展開式中的系數(shù)為

.(用數(shù)字作答)參考答案：80三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共13分）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為（）的有窮正整數(shù)數(shù)列,記（），即為中的最大值，稱數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如的“創(chuàng)新數(shù)列”為.（Ⅰ）若數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,2,3,4,4，寫出所有可能的數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿足（），求證：（）；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列中的項(xiàng)互不相等且所有項(xiàng)的和等于所有項(xiàng)的積，求出所有的數(shù)列.參考答案：解：（Ⅰ）所有可能的數(shù)列為；；；

…………3分（Ⅱ）由題意知數(shù)列中.

又，所以

…………4分所以，即（）

…………8分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由得，又所以，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由題意知數(shù)列中，又當(dāng)時(shí)此時(shí)，而，所以等式成立；當(dāng)時(shí)此時(shí)，而，所以等式成立；當(dāng)，得，此時(shí)數(shù)列為.

當(dāng)時(shí)，，而，所以不存在滿足題意的數(shù)列.綜上數(shù)列依次為.

…………13分

19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象如圖所示·(1)求f（x)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，求的值．參考答案：(Ⅰ)由圖象知，，故，，即，于是由，解得．∵，且，解得．∴．…………………4分由≤≤，，解得≤x≤，，即在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為．………………6分(Ⅱ)由條件得：，即．∵且在上是增函數(shù)，

>0，>0，在上是減函數(shù)，∴，∴，………9分∴，…………………10分∴．…………12分20.已知橢圓Ω：(a＞b＞0)，過點(diǎn)Q(，1)作圓x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為S，T．直線ST恰好經(jīng)過Ω的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．（1）求橢圓Ω的方程；（2）如圖，過橢圓Ω的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD．①設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)；②若直線AB，CD的斜率均存在時(shí)，求由A，C，B，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，可求出直線ST的方程，則直線ST恰好經(jīng)過Ω的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，求出a，b的值，問題得以解決利用橢圓的離心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求橢圓的方程；（2）①若直線AB，CD斜率均存在，設(shè)直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，以及韋達(dá)定理，即可求出k的值，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．②當(dāng)當(dāng)直線AB，CD的斜率均存在且不為0時(shí)，由①可知，將直線AB的方程代入橢圓方程中，利用韋達(dá)定理以及弦長公式，求出AB，CD即可求解面積的表達(dá)式，通過基本不等式求出面積的最值．【解答】解：（1）過作圓x2+y2=1的切線，一條切線為直線y=1，切點(diǎn)S（0，1）．設(shè)另一條切線為，即．因?yàn)橹本€與圓x2+y2=1相切，則．解得．所以切線方程為．由，解得，直線ST的方程為，即．令x=0，則y=1所以上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），所以b=1；令y=0，則，所以右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以橢圓Ω的方程為．（2）①若直線AB，CD斜率均存在，設(shè)直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），則中點(diǎn)．先考慮k≠0的情形．由得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由直線AB過點(diǎn)F（1，0），可知判別式△＞0恒成立．由韋達(dá)定理，得，故，將上式中的k換成，則同理可得．若，得k=±1，則直線MN斜率不存在．此時(shí)直線MN過點(diǎn)．②當(dāng)直線AB，CD的斜率均存在且不為0時(shí)，由①可知，將直線AB的方程代入橢圓方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以=．同理，，則，=，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)，所以，即．所以，由A，C，B，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍為．21.為了解學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)是否與性別有關(guān)，對(duì)50個(gè)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：

喜歡數(shù)學(xué)不喜歡數(shù)學(xué)合計(jì)男生

5

女生10

合計(jì)

50已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生的概率為。

(Ⅰ）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程)；（Ⅱ）是否有99.5％的把握認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)與性別有關(guān)？說明你的理由；（Ⅲ）現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜歡數(shù)學(xué)的女生人數(shù)為，求的分布列與期望。下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：，其中)參考答案：解：(Ⅰ)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：

喜愛數(shù)學(xué)不喜數(shù)學(xué)合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)302050（Ⅱ）

∴有99.5％的把握認(rèn)為喜愛數(shù)學(xué)與性別有關(guān)

（Ⅲ）喜愛數(shù)學(xué)的女生人數(shù)的可能取值為。其概率分別為,,故的分布列為:的期望值為:22.

已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常數(shù))是奇函數(shù)，且滿足f(1)＝，f(2)＝．(1)求a、b、c的值；(2)試判斷函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)性并說明理由；(3)試求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最小值．參考答案：(1)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝0.即