2022年河南省新鄉(xiāng)市輝縣第三職業(yè)高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年河南省新鄉(xiāng)市輝縣第三職業(yè)高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列四式中不能化簡(jiǎn)為的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C2.（5分）（2015秋蒙城縣校級(jí)期末）使得函數(shù)f（x）=lnx+x﹣2有零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是（） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理． 【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】由題意可得函數(shù)的定義域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根據(jù)f（a）f（b）＜0，結(jié)合零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)在（a，b）上存在一個(gè)零點(diǎn)，可得結(jié)論． 【解答】解：由題意可得函數(shù)的定義域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2 ∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0 由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可知，函數(shù)y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一個(gè)零點(diǎn) 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題． 3.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A．y=與y=x B．y=x0與y=1C．y=2與y= D．y=x與y=（2參考答案：C【考點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．【分析】分別判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否一致，否則不是同一函數(shù)．【解答】解：A．y==|x|，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不一致，不是同一函數(shù)．B．y=x0的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致，不是同一函數(shù)．C．y=2==，y==，兩個(gè)函數(shù)的定義域都為（0，+∞），對(duì)應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)．D．y=（2=x，定義域?yàn)閇0，+∞），兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致，不是同一函數(shù)．故選：C4.若x＜，則等于(

)A．3x﹣1 B．1﹣3x C．（1﹣3x）2 D．非以上答案參考答案：B【考點(diǎn)】方根與根式及根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＜，∴1﹣3x＞0．∴==|1﹣3x|=1﹣3x．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根式的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.（12）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于

（A）（B）（C）（D）參考答案：D略6.三個(gè)數(shù)a=0.32，b=log20.3，c=20.3之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a參考答案：C【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】將a=0.32，c=20.3分別抽象為指數(shù)函數(shù)y=0.3x，y=2x之間所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，利用它們的圖象和性質(zhì)比較，將b=log20.3，抽象為對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x，利用其圖象可知小于零．最后三者得到結(jié)論．【解答】解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：b=log20.3＜0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要通過(guò)數(shù)的比較，來(lái)考查指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．7.（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），有下列結(jié)論：①f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1），②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，③f（x）在其定義域上是增函數(shù)，④對(duì)f（x）的定義域中任意x有f（）=2f（x）．其中正確的個(gè)數(shù)是（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4參考答案：C考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求出定義域，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明出函數(shù)為減函數(shù)，問(wèn)題得以解決解答： ∵函數(shù)f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），∴，解得﹣1＜x＜1，故f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1），故①正確，∵f（﹣x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）=﹣=﹣f（x），∴函數(shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，故②正確；設(shè)x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=ln（1﹣x1）﹣ln（1+x1）﹣ln（1﹣x2）+ln（1+x2）=ln，∵1﹣x1＞1﹣x2，1+x2＞1+x1，∴＞1，∴l(xiāng)n＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在其定義域上是減函數(shù)，故③錯(cuò)誤；∵f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=ln，∴f（）=ln=ln=2lnln=2f（x），故④正確．故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題以命題的真假判斷為載體，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性奇偶性，代入法求函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．8.冪函數(shù)y=xm，y=xn，y=xp的圖象如圖所示，以下結(jié)論正確的是(

)A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m參考答案：C【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的圖像．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】在區(qū)間（0，1）上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越靠近x軸；在區(qū)間（1，+∞）上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離x軸．在第一象限作出冪函數(shù)y=xm，y=xn，y=xp的圖象，數(shù)形結(jié)合能求出結(jié)果．【解答】解：在第一象限作出冪函數(shù)y=xm，y=xn，y=xp的圖象．在（0，1）內(nèi)取同一值x0，作直線x=x0，與各圖象有交點(diǎn)．則“點(diǎn)低指數(shù)大”，如圖，知0＜p＜1，﹣1＜m＜0，n＞1，∴n＞p＞m故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．9.己知函數(shù)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則的值為(

)A.

B．

C.

D.參考答案：C10.若loga2＜logb2＜0，則（）A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1D．b＞a＞1參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則_________．參考答案：2∵∴，∴故答案為：2

12.設(shè)函數(shù)f（x）=為奇函數(shù)，則a=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】一般由奇函數(shù)的定義應(yīng)得出f（x）+f（﹣x）=0，但對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，用此方程求參數(shù)的值運(yùn)算較繁，因?yàn)閒（x）+f（﹣x）=0是一個(gè)恒成立的關(guān)系故可以代入特值得到關(guān)于參數(shù)的方程求a的值．【解答】解：∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（1）+f（﹣1）=0，即2（1+a）+0=0，∴a=﹣1．故應(yīng)填﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，其特征是利用函數(shù)的奇偶性建立方程求參數(shù)，在本題中為了減少運(yùn)算量，沒(méi)有用通用的等式來(lái)求a而是取了其一個(gè)特值，這在恒成立的等式中，是一個(gè)常用的技巧．13.已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為:

參考答案：14.函數(shù)的定義域是

.參考答案：15.已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，則M∩N=．參考答案：【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】集合M為二次函數(shù)的值域，集合N可看作以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，分別求出，再求交集即可．【解答】解：M={y|y=x2}={y|y≥0}，N={y|x2+y2=2}={y|}，故M∩N={y|}故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的概念和運(yùn)算，屬基本題，正確認(rèn)識(shí)集合所表達(dá)的含義是解決本題的關(guān)鍵．16.化簡(jiǎn)求值：

參考答案：1017.若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則常數(shù)=

.參考答案：5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，a2=4（a3﹣a4），數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=3﹣2log2an．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）若λ＞0，求對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的取值范圍．參考答案：【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)a1=2，a2=4（a3﹣a4），可得a2=4a2（q﹣q2），化簡(jiǎn)解得q．可得an．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得bn．（2）cn===．利用錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．（3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n?（2n﹣1），令dn=22﹣2n?（2n﹣1），通過(guò)作差可得：dn+1＜dn，即數(shù)列{dn}單調(diào)遞減，因此n=1時(shí)dn取得最大值d1=1．根據(jù)對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，可得2λ2﹣kλ+2＞1，根據(jù)λ＞0．可得k＜2，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），∴a2=4a2（q﹣q2），化為：4q2﹣4q+1=0，解得q=．∴an==22﹣n．∴bn=3﹣2log2an=3﹣2（2﹣n）=2n﹣1．（2）cn===．∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn=[2+3?22+5×23+…+（2n﹣1）?2n]，∴2Sn=[22+3?23+…+（2n﹣3）?2n+（2n﹣1）?2n+1]，∴﹣Sn==，可得：Sn=．（3）不等式2λ2﹣kλ+2＞a2nbn，即2λ2﹣kλ+2＞22﹣2n?（2n﹣1），令dn=22﹣2n?（2n﹣1），則dn+1﹣dn=﹣==＜0，因此dn+1＜dn，即數(shù)列{dn}單調(diào)遞減，因此n=1時(shí)dn取得最大值d1=1．∵對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立，∴2λ2﹣kλ+2＞1，∵λ＞0．∴k＜2，∵2≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí)取等號(hào)．∴．即k的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19.

參考答案：略20.定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的遞增函數(shù)（1）求f（1），f（﹣1）的值；（2）求證：f（﹣x）=f（x）；（3）解關(guān)于x的不等式：．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1），令x=y=﹣1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（﹣1）（2）令y=﹣1，代入f（xy）=f（x）+f（y），結(jié)合（1）的結(jié)論即可證得f（﹣x）=f（x）（3）利用恒等式變?yōu)閒（2x﹣1）≤f（﹣1），由（2）的結(jié)論知函數(shù)是一偶函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的遞增函數(shù)，即可得到關(guān)于x的不等式．【解答】解：（1）令，則f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0令x=y=﹣1，則f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）∴f（﹣1）=0

（2）令y=﹣1，則f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x）∴f（﹣x）=f（x）

（3）據(jù)題意可知，f（2）+f（x﹣）=f（2x﹣1）≤0∴﹣1≤2x﹣1＜0或0＜2x﹣1≤1∴0≤x＜或＜x≤1【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其運(yùn)用，考查用賦值的方法求值與證明，以及由函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，別忘記定義域這一限制條件．21.（本題滿(mǎn)分15分）已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線相切．(Ⅰ)求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN垂直于x軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足(其中m為非零常數(shù))，試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；(Ⅲ)在(Ⅱ)的結(jié)論下，當(dāng)m＝時(shí)，得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C，與l1垂直的直線l與曲線C交于B，D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

參考答案：（Ⅰ）設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線l1的距離為d，則d＝＝2.………....…………..…………..…………..……………..…..2分因?yàn)閞＝d＝2，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以圓C1的方程為x2＋y2＝4.

.………..…………………..…..4分（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)，∵AN⊥x軸于點(diǎn)N，∴N(x0,0)，由題意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，解得即…..………..…..7分將點(diǎn)A代入圓C1的方程x2＋y2＝4，得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為..……..…..9分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b，直線l與橢圓交點(diǎn)B(x1，y1)，D(x2，y2)，聯(lián)立方程得7x2－8bx＋4b2－12＝0.因?yàn)棣ぃ?8(7－b2)>0，解得b2<7，且x1＋x2＝，x1x2＝.……………..…..11分又因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離，|BD|＝.所以S△OBD＝………..……..……………..…..13分，當(dāng)且僅當(dāng)b2＝7－b2，即b2＝<7時(shí)取到最大值．所