高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專題81 排列組合-選擇合適的數(shù)學(xué)模型 (含解析)

PAGE微專題81排列組合——尋找合適的模型在排列組合問(wèn)題中，有一些問(wèn)題如果直接從題目入手，處理起來(lái)比較繁瑣。但若找到解決問(wèn)題的合適模型，或?qū)?wèn)題進(jìn)行等價(jià)的轉(zhuǎn)化。便可巧妙的解決問(wèn)題一、典型例題：例1：設(shè)集合SKIPIF1<0由SKIPIF1<0個(gè)元素構(gòu)成，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所有子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)______思路：可將組成子集的過(guò)程視為SKIPIF1<0中的元素一個(gè)個(gè)進(jìn)行選擇，要不要進(jìn)入到這個(gè)子集當(dāng)中，所以第一步從SKIPIF1<0開(kāi)始，有兩種選擇，同樣后面的SKIPIF1<0都有兩種選擇，所以總數(shù)SKIPIF1<0個(gè)答案：SKIPIF1<0例2：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0中有三個(gè)元素，若SKIPIF1<0中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的集合SKIPIF1<0共有（）個(gè)A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：設(shè)SKIPIF1<0中構(gòu)成等差數(shù)列的元素為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0應(yīng)該同奇同偶，而當(dāng)SKIPIF1<0同奇同偶時(shí)，則必存在中間項(xiàng)SKIPIF1<0，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橹恍柙赟KIPIF1<0中尋找同奇同偶數(shù)的情況。SKIPIF1<0同為奇數(shù)的可能的情況為SKIPIF1<0，同為偶數(shù)的可能的情況為SKIPIF1<0，所以一共有SKIPIF1<0種答案：C例3：設(shè)集合SKIPIF1<0，那么集合SKIPIF1<0中滿足條件“SKIPIF1<0”的元素個(gè)數(shù)為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：因?yàn)镾KIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中至少有一個(gè)SKIPIF1<0，且不多于SKIPIF1<0個(gè)。所以可根據(jù)SKIPIF1<0中含0的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論。①五個(gè)數(shù)中有2個(gè)0，則另外3個(gè)從SKIPIF1<0中取，共有方法數(shù)為SKIPIF1<0②五個(gè)數(shù)中有3個(gè)0，則另外2個(gè)從SKIPIF1<0中取，共有方法數(shù)為SKIPIF1<0③五個(gè)數(shù)中有4個(gè)0，則另外1個(gè)從SKIPIF1<0中取，共有方法數(shù)為SKIPIF1<0所以共有SKIPIF1<0種答案：D例4：設(shè)集合SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的三元素子集中，三個(gè)元素的和分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值思路：SKIPIF1<0的三元子集共有SKIPIF1<0個(gè)，若按照題目敘述一個(gè)個(gè)相加，則計(jì)算過(guò)于繁瑣。所以不妨換個(gè)思路，考慮將這些子集中的SKIPIF1<0各自加在一起，再進(jìn)行匯總。則需要統(tǒng)計(jì)這SKIPIF1<0個(gè)子集中共含有多少個(gè)SKIPIF1<0。以1為例，含SKIPIF1<0的子集可視為集合中有元素1，剩下兩個(gè)元素從9個(gè)數(shù)中任取，不同的選取構(gòu)成不同的含1的子集，共有SKIPIF1<0個(gè)，所以和為SKIPIF1<0，同理，含2的集合有SKIPIF1<0，其和為SKIPIF1<0……，含10的集合有SKIPIF1<0個(gè)，其和為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例5：身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每個(gè)人都比他同列的身后的個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)是多少思路：雖然表面上是排隊(duì)問(wèn)題，但分析實(shí)質(zhì)可發(fā)現(xiàn)，只需要將這六個(gè)人平均分成三組，并且進(jìn)行排列，即可完成任務(wù)。至于高矮問(wèn)題，在分組之后只需讓個(gè)子矮的站在前面即可。從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分組問(wèn)題。則SKIPIF1<0（種）答案：90例6：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，則由這10點(diǎn)構(gòu)成的直線中，有（）對(duì)異面直線A.450B.441C.432D.423思路：首先要了解一個(gè)結(jié)論，就是在一個(gè)三棱錐中存在3對(duì)異面直線，而不共面的四個(gè)點(diǎn)便可構(gòu)成一個(gè)三棱錐，尋找不共面的四點(diǎn)只需用總數(shù)減去共面的四點(diǎn)即可。所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找這10個(gè)點(diǎn)中共面四點(diǎn)的情況。首先4個(gè)面上共面的情況共有SKIPIF1<0，每條棱與對(duì)棱中點(diǎn)共面情況共有6種，連結(jié)中點(diǎn)所成的中位線中有3對(duì)平行關(guān)系，所以共面，所以四點(diǎn)共面的情況共有SKIPIF1<0種，所以四點(diǎn)不共面的情況有SKIPIF1<0種，從而異面直線的對(duì)數(shù)為SKIPIF1<0種答案：D小煉有話說(shuō)：要熟悉異面直線問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：即異面→三棱錐→四點(diǎn)不共面→四點(diǎn)共面，從而將所考慮的問(wèn)題簡(jiǎn)單化例7：設(shè)SKIPIF1<0是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，那么稱SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的一個(gè)“孤立元”，給定SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合個(gè)數(shù)是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：首先要理解“SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”，意味著“獨(dú)立元”不含相鄰的數(shù)，元素均為獨(dú)立元，則說(shuō)明3個(gè)元素彼此不相鄰，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不相鄰取元素問(wèn)題，利用插空法可得：SKIPIF1<0種答案：C例8：圓周上有20個(gè)點(diǎn)，過(guò)任意兩點(diǎn)連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè)思路：本題可從另一個(gè)角度考慮交點(diǎn)的來(lái)源，一個(gè)交點(diǎn)由兩條弦構(gòu)成，也就用去圓上4個(gè)點(diǎn)，而這四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)四邊形，在這個(gè)四邊形中，只有對(duì)角線的交點(diǎn)是在圓內(nèi)，其余均在圓上，所以有多少個(gè)四邊形就會(huì)有多少個(gè)對(duì)角線的交點(diǎn)，從而把交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形的問(wèn)題，所以共有SKIPIF1<0個(gè)答案：SKIPIF1<0個(gè)例9：一個(gè)含有10項(xiàng)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則符合這樣條件的數(shù)列SKIPIF1<0有（）個(gè)A.30B.35C.36D.40思路：以SKIPIF1<0為入手點(diǎn)可得：SKIPIF1<0，即可視為在數(shù)軸上，SKIPIF1<0向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位即可得到SKIPIF1<0，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從SKIPIF1<0開(kāi)始，點(diǎn)向左或向右移動(dòng)，總共9次達(dá)到SKIPIF1<0，所以在這9步中，有且只有2步向左移動(dòng)1個(gè)單位，7步向右移動(dòng)1個(gè)單位。所以不同的走法共有SKIPIF1<0種，即構(gòu)成36種不同的數(shù)列答案：36種例10：方程SKIPIF1<0的正整數(shù)解有多少組？非負(fù)整數(shù)解有多少組？思路：本題可將10理解為10個(gè)1相加，而SKIPIF1<0相當(dāng)于四個(gè)盒子，每個(gè)盒子里裝入了多少個(gè)1，則這個(gè)變量的值就為多少。從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相同元素分組的模型，可以使用擋板法得：SKIPIF1<0種；非負(fù)整數(shù)解相當(dāng)于允許盒子里為空，而擋板法適用于盒子非空的情況，所以考慮進(jìn)行化歸：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0這四個(gè)盒子非空即可。所以使用擋板法得：SKIPIF1<0種答案：正整數(shù)解有84種，非負(fù)整數(shù)解有286種二、歷年好題精選1、在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則在該實(shí)驗(yàn)中程序順序的編排方法共有（）A．144種B．96種C．48種D．34種2、現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數(shù)為（）A.232B.252C.472D.4843、在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字所組成的允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其各個(gè)數(shù)字之和為9的三位數(shù)共有（）A.16個(gè)B.18個(gè)C.19個(gè)D.21個(gè)4、把座位號(hào)為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為（）A．96B．240C．48D．405、某班組織文藝晚會(huì)，準(zhǔn)備從SKIPIF1<0等8個(gè)節(jié)目中選出4個(gè)節(jié)目演出，要求：SKIPIF1<0兩個(gè)節(jié)目至少有一個(gè)選中，且SKIPIF1<0同時(shí)選中時(shí)，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的和數(shù)為（）A．1860B．1320C．1140D．10206、某班一天中有SKIPIF1<0節(jié)課，上午SKIPIF1<0節(jié)課，下午SKIPIF1<0節(jié)課，要排出此班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、體育、藝術(shù)SKIPIF1<0堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，藝術(shù)課排在下午，不同排法種數(shù)為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07、用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．48B．36C．28D．128、某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A、B不能住同一房間，則不同的安排方法有（）種A．24B．48C．96D．1149、（2014重慶八中一月考，2）要從SKIPIF1<0名男生和SKIPIF1<0名女生中選出SKIPIF1<0人組成啦啦隊(duì)，若按性別分層抽樣且甲男生擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，則不同的抽樣方法數(shù)是 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010、（2015，廣東文），若集合：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示集合SKIPIF1<0中的元素個(gè)數(shù)，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<011、（2014，浙江）在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng)．將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有________種12、（2014，安徽）從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有()A．24對(duì)B．30對(duì)C．48對(duì)D．60對(duì)13、（2014，重慶）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144D．16814、（2014，廣東）設(shè)集合SKIPIF1<0，那么集合SKIPIF1<0中滿足條件“SKIPIF1<0”的元素個(gè)數(shù)為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<015、（2016，哈爾濱六中上學(xué)期期末考試）高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現(xiàn)在從中任選人，要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，且在三班至多選人，不同的選取法的種數(shù)為()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<016、集合SKIPIF1<0的4元子集SKIPIF1<0中，任意兩個(gè)元素差的絕對(duì)值都不為1，這樣的4元子集SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)有_____個(gè)習(xí)題答案：1、答案：B解析：SKIPIF1<0相鄰則考慮使用整體法，程序SKIPIF1<0有要求所以先確定SKIPIF1<0的位置，共有2種選法，然后排剩下的元素SKIPIF1<0，再排SKIPIF1<0間的順序SKIPIF1<0，所以總數(shù)為SKIPIF1<02、答案：C解析：考慮使用間接法，16張卡片任取3張共有SKIPIF1<0種，然后三張卡片同色則不符合要求，共有SKIPIF1<0種，然后若紅色卡片有2張則不符合要求，共有SKIPIF1<0種，所以不同的取法種數(shù)為：SKIPIF1<03、答案：A解析：可按重復(fù)數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，若沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，則數(shù)字只能是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，三位數(shù)共有SKIPIF1<0個(gè)；若有兩個(gè)重復(fù)數(shù)字，則數(shù)字為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，三位數(shù)有SKIPIF1<0個(gè)；若三個(gè)數(shù)字相同，則只有333，所以SKIPIF1<04、答案：A解析：5張票分給4個(gè)人，則必有一人拿兩張票，所以先確定哪個(gè)人有兩張票，共SKIPIF1<0種選擇，然后確定給哪兩張連號(hào)的票，共4種情況，剩下的票分給3人即可。所以SKIPIF1<05、答案：C解析：由題可知可分為兩類：第一類SKIPIF1<0只有一個(gè)選中，則還需從剩下6個(gè)里選出3個(gè)節(jié)目，然后全排列，所以不同的演出順序有SKIPIF1<0；第二類，SKIPIF1<0同時(shí)選中，則還需從剩下6個(gè)里選出2個(gè)，然后SKIPIF1<0不相鄰則進(jìn)行插空，所以不同演出順序有SKIPIF1<0。綜上SKIPIF1<06、答案：B解析：先排數(shù)學(xué)與藝術(shù)各有3種共9種，其余的4個(gè)科目全排列有SKIPIF1<0種，所以SKIPIF1<07、答案：C解析：根據(jù)題意，在0，1，2，3，4中有3個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)，可以分3種情況討論：（1）0被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù)1、3的順序，有2種情況；再將1、0、3看成一個(gè)整體，與2、4全排列，有SKIPIF1<0種情況；故0被奇數(shù)夾在中間時(shí)，有SKIPIF1<0種情況；（2）2被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù)1、3的順序，有2種情況；再將1、2、3看成一個(gè)整體，與0、4全排列，有SKIPIF1<0種情況，其中0在首位的有2種情況，則有SKIPIF1<0種排法；故2被奇數(shù)夾在中間時(shí)，有SKIPIF1<0種情況；（3）4被奇數(shù)夾在中間時(shí)，同2被奇數(shù)夾在中間的情況，有8種情況，則這樣的五位數(shù)共有12+8+8=28種.8、答案：D解析：由題可知，5個(gè)人住三個(gè)房間，每個(gè)房間至少住一人，則有（3,1,1）和（2,2,1）兩種，當(dāng)為（3,1,1）時(shí)，有SKIPIF1<0種，A、B住同一房間有SKIPIF1<0種，故有SKIPIF1<0種，當(dāng)為（2,2,1）時(shí)，有SKIPIF1<0種，A、B住同一房間有SKIPIF1<0種，故有SKIPIF1<0種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有SKIPIF1<0種9、答案：A解析：由分層抽樣可得男生需要4名，女生需要2名，甲男生擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，則還需要出3名男生，所以SKIPIF1<010、答案：D解析：分別統(tǒng)計(jì)SKIPIF1<0中元素的個(gè)數(shù)，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0可取的值由SKIPIF1<0的值決定，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0分別可選SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0種，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0種；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0種；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)；同理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0種，所以共計(jì)SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，可知SKIPIF1<0一組，SKIPIF1<0一組，按照SKIPIF1<0的計(jì)算方式可得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的選擇各