本科數(shù)學(xué)畢業(yè)論文有限域上莫比烏斯變換

本科數(shù)學(xué)畢業(yè)論文有限域上莫比烏斯變換有限域上莫比烏斯變換摘要：莫比烏斯變換是一種常用于數(shù)字信號(hào)處理和離散數(shù)學(xué)中的變換方法。在本文中，我們將介紹有限域上的莫比烏斯變換。首先，我們將介紹有限域的概念和性質(zhì)，并給出有限域上莫比烏斯變換的定義。然后，我們將討論有限域上莫比烏斯變換的性質(zhì)和應(yīng)用，包括有限域上的卷積和多項(xiàng)式求逆。最后，我們將給出一個(gè)例子來(lái)展示有限域上莫比烏斯變換的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：有限域，莫比烏斯變換，卷積，多項(xiàng)式求逆。1.介紹莫比烏斯變換是一種常用于數(shù)字信號(hào)處理和離散數(shù)學(xué)中的變換方法。它可以將一個(gè)序列變換為另一個(gè)序列，并且在一些情況下，可以極大地簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程。有限域是群論和代數(shù)幾何中的重要概念。它是一個(gè)有限個(gè)元素的集合，并且滿(mǎn)足一定的性質(zhì)。在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常使用有限域GF(q)，其中q是一個(gè)素?cái)?shù)冪，例如2的冪。在本文中，我們將介紹有限域上的莫比烏斯變換。首先，我們將介紹有限域的概念和性質(zhì)，并給出有限域上莫比烏斯變換的定義。然后，我們將討論有限域上莫比烏斯變換的性質(zhì)和應(yīng)用，包括有限域上的卷積和多項(xiàng)式求逆。最后，我們將給出一個(gè)例子來(lái)展示有限域上莫比烏斯變換的應(yīng)用。2.有限域與莫比烏斯變換有限域GF(q)是一個(gè)有限個(gè)元素的集合，并且滿(mǎn)足以下四個(gè)性質(zhì)：1)加法公理：對(duì)于任意的a,b∈GF(q)，都有a+b∈GF(q)。2)乘法公理：對(duì)于任意的a,b∈GF(q)，都有a×b∈GF(q)。3)左分配律：對(duì)于任意的a,b,c∈GF(q)，都有a×(b+c)=(a×b)+(a×c)。4)左乘逆元：對(duì)于任意的a∈GF(q)，存在一個(gè)元素a'∈GF(q)使得a×a'=1，其中1是GF(q)中的單位元素。有限域GF(q)的元素通常使用0,1,2,…,q-1來(lái)表示。例如，在2的冪次方有限域GF(2^3)中，元素可以表示為0,1,2,…,7。有限域上的莫比烏斯變換定義如下：對(duì)于GF(q)上的元素a∈GF(q)，設(shè)μ(a)表示a的莫比烏斯函數(shù)值，即μ(a)={0,當(dāng)a有平方因子時(shí)；(-1)^k,當(dāng)a是k個(gè)不同質(zhì)因子的乘積時(shí)。}有限域上的莫比烏斯變換可以表示為F(μ)=[F(f)]k，其中F(f)表示GF(q)上f的離散傅里葉變換，k是集合{a∈GF(q)|μ(a)≠0}中元素的個(gè)數(shù)。3.有限域上莫比烏斯變換的性質(zhì)有限域上的莫比烏斯變換具有以下性質(zhì)：1)線性性：對(duì)于GF(q)上的任意兩個(gè)序列f和g，有F(f+g)=F(f)+F(g)。這意味著有限域上的莫比烏斯變換是線性變換。2)對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于GF(q)上的任意一個(gè)序列f，有F(F(f))=qf。這意味著有限域上的莫比烏斯變換是幺正的和自逆的。3)卷積定理：對(duì)于GF(q)上的任意兩個(gè)序列f和g，有F(f×g)=F(f)×F(g)。這意味著有限域上的莫比烏斯變換可以用于計(jì)算GF(q)上的卷積。4)多項(xiàng)式求逆：對(duì)于GF(q)上的任意一個(gè)多項(xiàng)式f(x)，如果它的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)不為0，則存在一個(gè)GF(q)上的多項(xiàng)式g(x)使得f(x)×g(x)=1。這個(gè)g(x)可以用有限域上的莫比烏斯變換來(lái)計(jì)算。4.例子考慮GF(2^3)上的兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)=x^2+1和g(x)=x+1。它們的乘積可以表示為f(x)×g(x)=x^3+x^2+x+1我們可以使用有限域上的莫比烏斯變換來(lái)計(jì)算g(x)的逆，即f(x)×g(x)=1G(F(f))×G(F(g))=1G(F(g))=G(F(f))^-1其中，G(f)表示GF(2^3)上f的莫比烏斯變換。根據(jù)GF(2^3)上的莫比烏斯函數(shù)值表格，我們可以計(jì)算出μ(1)=1、μ(2)=μ(4)=0、μ(3)=μ(5)=μ(6)=-1。因此，有限域上f(x)的莫比烏斯變換為F(f)=(1,0,-1,0,-1,0,1,0)同樣地，有限域上f(x)×g(x)的莫比烏斯變換為F(f×g)=(1,1,1,-1,-1,-1,1,1)由卷積定理，有限域上g(x)的莫比烏斯變換可以表示為F(g)=F(f×g)×F(f)^-1=(1,1,1,-1,-1,-1,1,1)×(1,0,1,0,1,0,-1,0)=(1,1,0,1,0,1,1,0)因此，GF(2^3)上g(x)的系數(shù)為1101。這意味著g(x)=x^3+x+1是f(x)=x^2+1在GF(2^3)上的逆。結(jié)論本文介紹了有限域上的莫比烏斯變換，并討